D1915. Méli-mélo de sinus et de cosinus
On considère la variable x définie sur l’intervalle [0,2 ]
Q1 : quel est le plus grand des deux termes sin(cos(x)) ou cos(sin(x)) ?
Q2 : l’équation cos(cos(cos(cos(x)))) = sin(sin(sin(sin(x))) a-t-elle des solutions?
•
Q1 : quel est le plus grand des deux termes sin(cos(x)) ou cos(sin(x)) ?
On pose f = − , = =
= − = −
2 − = 2 − 2 +
2 + 2 −
2 = 2 − 4 + +
2 4 + −
2
= 0 ⇒
!"
!# −4 + +
2 = $ 1
&
4 + −
2 =
2 + $ 2 '
o (1)
− 4 + +
2 = $ ⇒ + =
2 ⇒ −2 − 4 + −
2 − 4 + +
2 = −2 − 4
4 − = √2
4 − = 2
4 − =
2√2> 1 ⇒ pas de racine réelle o (2)
4 + − 2 =
2 + $ ⇒ − =
2 ⇒ 2 − 4 + +
2 4 + −
2 = 2 −
4 +
4 = √2 −
4 + = 2 −
4 + =
2√2> 1 ⇒ pas de racine réelle
n'a donc pas de racine réelle, et est du signe de 0 = 0 − 0 = 1 − 0 = 0.841 − 1 < 0 <
Plus simplement, on trace le graphe de : le résultat est immédiat :
f(x) = sin(cos(x)) - cos(sin(x))
1 2 3 4 5 6
-1.5 -1.0 -0.5
•
Q2 : l’équation cos(cos(cos(cos(x)))) = sin(sin(sin(sin(x))) a-t-elle des solutions?
On pose f = , 8 = , = =
− 8 = − = −
2 − = 2 − 2 +
2 + 2 −
2 = 2 − 4 + +
2 4 + −
2 On reprend Q1 à l'identique pour montrer que : ∀, − 8 = 0 n'a pas racines, et que comme 0 − 80 = 0 − 1 < 0, on a
∀, < , donc :; − 8:; < 0, de même que :8; − 8:8; < 0 On étudie les variations de f = : < = cos . cos et le tableau suivant
− − 2> 0 >2 < = cos . cos - 0 + 1 + 0 -
f = 0 ↘ −0.841 ↗ 0 ↗ 0.841 ↘ 0 On constate que dans l'intervalle :− 2> , 2> ; , est croissante et que sur :−, − 2> ; ∪ : 2> , ; elle est négative.
o Intervalle :− 2> , 2> ; On a montré que ∀, < 8
D'autre part, || et |8| sont strictement inférieurs 1 (ce sont des sinus et des cosinus), donc ∀, 8 ∈ :− 2> , 2> ; Sur :− 2> , 2> ;, est croissante
'Sur G− 2> , 2> H, est croissante 8 ∈ G− 2> , 2> H
∀, < 8
I ⇒ :; < :8; < 8:8;
∀ ∈ G− 2> , 2> H, :; − 8:8; = sin sin sinsinx − cos cos coscosx < 0 o Intervalle :−, − 2> ; ∪ : 2> , ;
∀, |cos | ≤ 1 ⇒ coscosx = cos|cos| est compris entre 0 et 1, donc positif ou nul Il en de même pour tous les cosinus obtenus en cascade, notamment 8:8; = cos cos coscosx
D'autre part, on a montré que sur ce même intervalle, = est strictement négatif donc il en est de même pour
et pour sin sin sinsinx = :;
Donc :; − 8:8; = sin sin sinsinx − cos cos coscosx < 0
En conséquence, sur l'intervalle :−, ;, :; − 8:8; = sin sin sinsinx − cos cos coscosx est strictement négatif et l'équation proposée n'admet pas de racines.
les fonctions 8 étant périodique (période = 2), elle n'a pas plus de solution sur ℝ. Ouf.
sin(sin(sin(sin(x)))) - cos(cos(cos(cos(x))))
1 2 3 4 5 6
-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2
