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A30565. Pas premier Soient

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Academic year: 2022

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A30565. Pas premier

Soient a, b, c, d, e, f six entiers positifs dont la somme s est un diviseur de l’expressionbc+ca+ab−ef−f d−de, ainsi que de l’expressionabc+def. Prouver quesest un nombre composé.

Solution

Formons le polynôme

P(x) = (x+a)(x+b)(x+c)−(x−d)(x−e)(x−f).

Par les conditions de l’énoncé,P(x) se développe en sx2+stx+su avec t etu entiers. Alorssdivise

s(d2+td+u) =P(d) = (d+a)(d+b)(d+c).

Si s était un nombre premier, il diviserait un de ces 3 facteurs, mais tous sont des entiers positifs strictement inférieurs às, d’où contradiction.

Références

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