TD d’analyse 3 : analyse complexe

Sorbonne Universit´e Pr´epa agreg 2020-21

TD d’analyse 3 : analyse complexe

Exercice 1. Soient des r´eels A et B tels que 0 < A < B. Soit une suite complexe (a_n) telle que pour p → +∞ : a_2p ∼ A^2p et a_2p+1 ∼ B^2p+1. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere associ´ee `a la suite (a_n) ?

Exercice 2. Notons H₀ = 0 et, pour n ∈ N^∗, H_n =

n

X

k=1

1

k. Quel est le rayon de convergence de la s´erie enti`ere associ´ee `a la suite (H_n) ? Calculer explicitement sa somme, dans le disque de convergence.

Exercice 3.

(a) Soit ϕune fonction holomorphe sur un ouvert U deC. On peut la voir comme une application deU ⊂R²versR². Montrer que son d´eterminant jacobien au point z vaut |ϕ⁰(z)|².

(b) Soit D={z ∈C/|z|<1}. V´erifier que la formuleϕ(z) = 2z−i

iz+ 2 d´efinit une bijection holomorphe de D sur D.

(c) En d´eduire la valeur de l’int´egrale double I = Z Z

D

dxdy (x²+ (y−2)²)².

Exercice 4.

(a) Soient R > >0 et γ un lacet qui param`etre naturellement le bord de l’ouvert Ω ={z ∈C/ <|z|< R et Im(z)>0}.Montrer que l’int´egrale Z

γ

e^iz

z dz est nulle.

(b) En d´eduire la formule classique Z +∞

0

sint

t dt= π 2. Exercice 5.

(a) Soit Log la d´etermination principale du logarithme, surC\R⁻. Montrer qu’il existe une fonction g, holomorphe sur le disque unit´e, telle que, si

|z|<1, Log(1 +z) = z+z²g(z).

(b) Pour n ∈ N^∗ et z ∈ C, on pose f_n(z) = (1 +z/n)ⁿ. Montrer que la suite de fonctions (f_n) converge uniform´ement vers l’exponentielle sur les compacts de C.

1

2

Exercice 6. Soit Ω = {x+iy/x, y ∈R et|xy|<1}. Montrer que, si f est une fonction holomorphe qui ne s’annule pas sur Ω, il existe une fonction holomorpheg sur Ω telle que g² =f.

Exercice 7.

(a) Soit f une fonction enti`ere telle que f(z + 1) = f(z +i) = f(z) pour tout z ∈C. Montrer que f est constante.

(b) Soit f une fonction enti`ere telle que |f(z)|=O(|z|^α) quand|z| →+∞, pour un certain r´eel α. Montrer que f est une fonction polynˆomiale.

(c) D´eterminer les fonctions enti`eres f telle que lim

|z|→+∞|f(z)| = +∞. (On pourra ´etudier la singularit´e def(1/z)en z = 0 afin de contrˆolerf pr`es de l’infini.)

Exercice 8.

(a) Montrer que la formule f(z) = Z +∞

−∞

e^−t

2

2e^−itzdt d´efinit une fonction enti`ere.

(b) Calculer f(iy) pour tout y ∈R.

(c) En d´eduire la transform´ee de Fourier de la gaussienne.

Exercice 9.

(a) Soit (u_n) une suite de fonctions holomorphes sur un ouvert Ω de C, telle que la s´erie X

u_n converge normalement sur tout compact de Ω.

Montrer que la formule f(z) = lim

N→+∞P_N(z), avec P_N =

N

Y

n=0

(1 + u_n), d´efinit une fonction holomorphe f sur Ω.

Indication :∀n≥1,|P_n−Pn−1| ≤ |u_n|e^S, o`u S est la somme deX

|u_n|.

(b) Calculer f dans le cas o`u Ω =D(0,1) et u_n(z) = z²ⁿ.

Exercice 10.

(a) D´eterminer l’ensembleA des nombres complexes z tels que cosz = 0.

(b) Justifier l’existence de nombres r´eels b_n tels que pour|z| assez petit, sin(z) + 1

cos(z) =

+∞

X

n=0

b_n n!zⁿ. (c) Pour z ∈ C\A, on pose H(z) = sin(z) + 1

cos(z) + 4

2z−π. Montrer que H poss`ede un prolongement holomorphe sur le disque{z ∈C/|z|<3π/2}.

3

(d) En d´eduire l’´equivalent : b_n∼ 2ⁿ⁺²n!

πⁿ⁺¹ . (e) Pour n≥1, ´etablir la relation 2b_n+1 =

n

X

k=0

n k

b_kbn−k.

Exercice 11. Calculer Z 2π

0

dt 2 + sint.

Exercice 12. Soit Ω ={z ∈C/Re(z)>0}. Pourz ∈Ω, on note Γ(z) =

Z +∞

0

t^z−1e^−tdt.

(a) Prouver que Γ est une fonction holomorphe sur Ω, v´erifiant

∀z ∈Ω, Γ(z+ 1) =zΓ(z).

(b) Montrer que la fonction Γ s’´etend en une fonction m´eromorphe sur C, avec seulement des pˆoles simples de r´esidus (−1)ⁿ/n! aux entiers−n≤0.

(c) Montrer que, pour tout entier k ≥2, Γ(1/k)Γ(1−1/k) =k

Z +∞

0

dx 1 +x^k. (d) Soit un entier k ≥2. D´emontrer la formule

Z +∞

0

dx

1 +x^k = π ksin ^π_k. Indication : pour R > 0, utiliser le th´eor`eme des r´esidus le long du bord de l’ouvert Ω ={z ∈C/|z|< R et 0<Arg(z)<2π/k}.

(e) En d´eduire la formule des compl´ements :

∀z ∈C\Z, Γ(z)Γ(1−z) = π sinπz.

Exercice 13. On se place sur l’ouvert Ω = {z ∈ C/Re(z) > 1} et on consid`ere ζ(z) =

∞

X

n=1

1

n^z , pour z ∈Ω.

(a) Montrer que ζ est holomorphe sur Ω.

(b) D´emontrer la formule suivante, pour z ∈Ω : ζ(z)Γ(z) = Z ∞

0

x^z−1dx e^x−1. (c) Montrer que F :z 7→

Z ∞

1

x^z−1dx

e^x−1 est une fonction enti`ere.

(d) Montrer qu’il existe (a_n)∈R^N telle que :

∀x∈[0,2π[, x e^x−1 =

∞

X

n=0

a_nxⁿ.

4

(e) En d´eduire que, pourz ∈Ω, on a Z 1

0

x^z−1dx e^x−1 =

∞

X

n=0

a_n z+n−1.

(f) En d´eduire que ζ s’´etend en une fonction holomorphe sur C\{1}, avec un pˆole simple en 1, de r´esidu 1.

Exercice 14. Dans cet exercice, on note chz = e^z +e^−z

2 .

(a) Etant donn´e R >0, soitγ_Run lacet param´etrant naturellement le bord de Ω_R = {z ∈ C/|Re(z)| < R et 0 < Im(z) < π}, dans le sens direct.

Pour tout r´eel t, calculer l’int´egrale Z

γR

e^−itzdz (chz)².

(b) En d´eduire la transform´ee de Fourier de x7→1/(chx)². Exercice 15. Soit un r´eel a ∈]−1,0[.

(a) Soit L la d´etermination holomorphe du logarithme sur C\R+ dont la partie imaginaire est donn´ee par l’argument pris dans ]0,2π[. Pour z ∈ C\R⁺, on note pa(z) = exp(aL(z)). Etant donn´e x > 0, d´eterminer la limite de pa(x+iδ) et pa(x−iδ) quand δ →0⁺.

(b) Soient R >1> > δ > 0. On consid`ere un chemin γ, ferm´e et C<sup>1</sup> par morceaux, qui param`etre naturellement le bord de Ω =A_,R\B_δ, o`u A,R ={z ∈C/ <|z|< R}etBδ={z ∈C/Re(z)≥0 et |Im(z)| ≤δ}.

Calculer l’int´egrale Z

γ

pa(z) z+ 1dz.

(c) En d´eduire la valeur de Z +∞

0

x^a 1 +xdx.

Exercice 16. (Lemme de Schwarz) SoientD={z ∈C/|z|<1}etf :D→ Cune fonction holomorphe telle quef(0) = 0 et|f(z)| ≤1 pour toutz ∈D.

(a) Montrer que |f(z)| ≤ |z| pour tout z ∈D;

(b) Montrer que |f⁰(0)| ≤1 avec ´egalit´e si et seulement s’il existe θ ∈Rtel que, pour tout z ∈D, f(z) = e^iθz.