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Academic year: 2022

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Analyse complexe

L3 Mathématiques générales et applications 2015–2016 Plan des cours

6 Cours du 23 mars 2016 3 Fonctions analytiques

1. Principe des zéros isolés (preuve).

2. Fonctions de la forme f(z) := ˆ

C(a,r)

ϕ(ζ)

ζ−zdζ, avecϕcontinue.

a) DansD(a,r), f(z)= X

n≥0

an(z−a)n, avecan= ˆ

C(a,r)

ϕ(ζ) (ζ−a)−n−1dζ.

b) DansC\D(a,r), f(z)= X

n<0

an(z−a)n, avecan= − ˆ

C(a,r)

ϕ(ζ) (ζ−a)−n−1dζ.

4 Singularités simples

1. Formule de représentation de Cauchy pour une fonction holomorphe dans un anneau.

2. Singularités artificielles.

3. Pôles.

5 Résidus et indices

1. Développement en série de Laurent.

2. Formule de calcul des coefficients de Laurent :an= 1 2ıπ

ˆ

C(a,r)

(z−a)−n−1f(z)d z.

3. Unicité des coefficients (énoncé).

4. Résidu Res (f,a).

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