L2 UCBL 2016–2017 Maths 4
Feuille 7 de TD. Analyse complexe (I)
1.
1. Mettre les nombres complexes suivants sous forme trigonométrique : (1+ı)10,−1+ ıp
3, 10.
2. Décrire les ensembles {z∈C;|z−z| =2}, {z∈C;|z−2| =1},
½ z+1
z;|z| =1
¾ . 3. Donner l’expression de la rotation de centre 1 et d’angleπ/4.
2.Quelles sont les fonctions holomorphes parmi : sinz, 1 z, x
x2+y2?
3.
1. Si f est holomorphe surU etγ⊂Uest un lacet, montrer que Z
γf0(z)d z=0.
2. Montrer que si f est holomorphe surUet si exp(f)=Id, alors f0(z)=1 z. 3. Peut-on avoirU=Cdans la question précédente ?
4. Prendre comme lacet le cercle unité et montrer qu’on ne peut pas avoir non plus U=C\ {0}.
4.Calculer 1.
Z 1
0
z d z.
2.
Z
C znd z, avecn∈ZetC le cercle unité.
3.
Z
C ez3e−z
2
d z.
1
