Analyse Complexe

Analyse Complexe

Philippe Charpentier Université Bordeaux I

Septembre 2010

UNIVERSITÉBORDEAUXI

LABORATOIRE DE MATHÉMATIQUESPURES

351, COURS DE LALIBÉRATION, 33405 TALENCE

Adresse électronique:[email protected]

Préface

J

Les exercices en fin de chapitre correspondent aux listes d’exercices distribuées par A. Yger au cours de l’année universi- taire 2010-2011.

Table des matières

Préface iii

CHAPITRE I. Formes différentielles, homotopie 1

I.1. Définitions générales. . . 1

I.2. Intégration des1-formes différentielles . . . 4

I.2.1. Définitions générales et formule de Stokes . . . 5

I.2.2. Indice d’un lacet par rapport à un point . . . 7

I.3. Homotopie . . . 8

I.4. Deux applications . . . 10

I.4.1. Logarithme complexe . . . 10

I.4.2. Quelque propriétés de l’indice . . . 11

Exercices. . . 11

CHAPITRE II. Fonctions holomorphes 21 II.1. Définition et propriétés fondamentales . . . 21

II.2. Premières propriétés des fonctions holomorphes . . . 24

II.3. Séries de Laurent et Théorème de l’application ouverte. . . 27

II.4. Le Théorème de Phragmen-Lindelöf . . . 31

Exercices. . . 32

CHAPITRE III. Fonctions harmoniques 41 III.1. La formule de Green . . . 41

III.2. Fonctions harmoniques et sous-harmoniques et propriété de la moyenne . . . 42

III.3. Le problème de Dirichlet classique dans une boule . . . 45

III.4. Cas particulier de la dimension2, liens avec les fonctions holomorphes . . . 49

III.4.1. Noyaux de Green et de Poisson du disque unité et fonctions harmoniques . . . 50

III.4.2. Fonctions sous-harmoniques. . . 52

III.4.3. Intégrale de Poisson et fonctions holomorphes . . . 53

Exercices. . . 53

CHAPITRE IV. Théorème de Runge, équations de Cauchy-Riemann et Théorème de Weierstrass 59 IV.1. Théorème de Runge et enveloppes d’holomorphie . . . 59

IV.2. RésolutionC^∞des équations de Cauchy-Riemann . . . 62

IV.3. Le Théorème de Weierstrass . . . 64

IV.3.1. Première démonstration du Théorème de Weierstrass. . . 65

IV.3.2. Produits infinis de fonctions holomorphes . . . 65

IV.3.3. Les facteurs élémentaires de Weierstrass . . . 67

IV.3.4. La sphère de Riemann . . . 68

IV.3.5. Seconde démonstration du Théorème de Weierstrass . . . 69

Exercices. . . 70

CHAPITRE V. Transformations biholomorphes, Théorème de Riemann 75 V.1. Généralités . . . 75

V.2. Exemples de groupes d’automorphismes. . . 76

V.2.1. Le groupe des automorphismes deC . . . 76

V.2.2. Le groupe des automorphismes de la sphère de Riemann . . . 76

V.2.3. Le groupe des automorphismes du disque unitéD . . . 77

V.3. Le Théorème de Riemann . . . 77

V.4. Régularité au bord des transformations conformes . . . 79

Exercices. . . 81

VI.1. Le cas des séries entières . . . 85

VI.2. Le Théorème de Monodromie . . . 86

VI.3. Fonctions modulaires. . . 87

VI.4. Le Théorème de Picard . . . 90

VI.4.1. Un Théorème de Landau et un Thèorème de Bloch . . . 90

VI.4.2. Un Théorème de Schottky. . . 91

VI.4.3. Démonstration du Grand Théorème de Picard . . . 92

Exercices. . . 93

Annexe 97

A.2. Intégration en polaires . . . 98

CHAPITRE B. Mesure euclidienne sur une sous-variété différentiable. Intégration par « tranches » 101 B.1. Cas des sous-variétés paramétrées . . . 101

B.2. Cas général . . . 102

Index 104

Bibliographie 107

C ^HAPITRE I

Formes différentielles homotopie

I.1

Définitions générales

DÉFINITIONI.1.1.

SoitUun ouvert deRⁿ. On appelleforme différentielle de degré1(ou1-forme différentielle) surUune application f de U dans l’espace des formes linéaires surRⁿ. Précisément, sia∈R^netx∈U, on ahf(x),ai=∑ⁿ_i=1f_i(x)a_i. En d’autres termes, si on note(dx_i)_ila base canonique de formes linéaires surR^n(i.e.hdx_i,ai=a_i), on af(x) =∑ⁿ_i=1f_i(x)dx_i, et on note doncf =∑ⁿ_i=1f dx_i. On dit que fest de classeC^k,k∈N∪ {∞}, si les fonctionsf_isont de classeC^k.

DÉFINITIONI.1.2.

SoitUun ouvert deRⁿ. On appellechamp de vecteurssurUune applicationX= (Xi)ⁿ_i=1deUdansRⁿ. On dit queXest de classeC^k,k∈N∪ {∞}, si les fonctionsX_i(deUdansR) sont de classeC^k.

Les1-formes différentiellesf =∑ⁿi=1f dx_iet les champs de vecteursX= (Xi)ⁿ_i=1sont mis en dualité par la formule hf,Xi(x) =

∑

i=1

f_i(x)X_i(x).

Exemple I.1.1 (Exemple fondamental). SoitUun ouvert deR^{net soit} f :U→Rune fonction de classeC¹. Pour toutx∈U, soitd f(x)la différentielle de fau pointx. Alors l’applicationx7→d f(x)est une1-forme différentielle appelée ladifférentielle extérieurede f.

DÉFINITIONI.1.3.

SoientUun ouvert deR^petVun ouvert deR^{n. Soit}ϕ= (ϕ_i)_i :U→Vune fonction de classeC^{1. Soit}ω=∑ω_idx_iune 1-forme différentielle surV. On appelleimage réciproquedeωparϕla1-forme différentielleϕ^∗ωdéfinie surUpar

ϕ^∗ω=

∑

i

(ω_i◦ϕ)dϕ_i

oùdϕ_iest le différentielle extérieure deϕi. En particulier, siω=dgest la différentielle extérieure d’une fonctiongalors ϕ^∗ω=d(g◦ϕ)(i.e.ϕ^∗◦ωest la différentielle extérieure deg◦ϕ).

Avant de définir lesp-formes différentielles, nous faisons quelque rappels sur les formesp-multilinéaires alternées. Nous notonsΛ^p(Rⁿ)l’espace de ces formes surR^{n. Si}T ∈Λ^p(Rⁿ)et siv_i,1≤i≤p, sont des vecteurs deRⁿ, on a donc

T(v₁, . . . ,v_p) =sign(σ)T v_σ(1), . . . ,v_σ(p) ,

pour toute permutationσde{1, . . . ,p}^.

SiS∈Λ^p(Rⁿ)etT ∈Λ^q(Rⁿ), on appelleproduit extérieurdeSparT, notéS∧T, la formep+q-multilinéaires alternée définie par : si(v1, . . . ,v_p,v_p+1, . . . ,v_p+q)∈R^p+q,

S∧T(v₁, . . . ,vp+q) =

∑

σ

sign(σ)S v_σ(1), . . . ,v_σ(p)

T v_σ(p+1), . . . ,v_σ(p+q ,

où la somme est étendue à toutes les permutationsσ de{1, . . . ,p+q} ^{telles que}σ(1)< . . . <σ(p)etσ(p+1)< . . . <

σ(p+q). On vérifie facilement que l’on a aussi S∧T(v1, . . . ,vp+q) = 1

p!q!

∑

σ

sign(σ)S v_σ(1), . . . ,v_σ(p)

T v_σ(p+1), . . . ,v_σ(p+q ,

où, cette fois-ci, la somme est étendue à toutes les permutations. De même, la vérification des propriétés citées dans la Proposition qui suit ne pose pas de difficulté :

PROPOSITIONI.1.1.

SoientS∈Λ^p(Rⁿ),T ∈Λ^q(Rⁿ)etR∈Λ^r(Rⁿ). 1. S∧T = (−1)^pqT∧S.

2. (S∧T)∧R=S∧(T∧R). 3. S∈Λ^p(Rⁿ),S∧S=0.

4. Sifi,1≤i≤p, sont des formes linéaires surRⁿ, alors, pourvi∈Rⁿ f₁∧. . .∧f_p(v1, . . . ,v_p) =

∑

σ

sign(σ)f₁ v_σ(1)

. . .f_p v_σ(p) ,

c’est-à-dire f₁∧. . .∧f_p(v1, . . . ,v_p) =det(f_i(vj)). 5. Toute formeS∈Λ^p(Rⁿ)s’écrit, de manière unique,

S=

∑

1≤i₁<...<ip≤n

c_i1...ipdx_i1∧. . .∧dx_ip,

ce qui signifie que lesp-formes alternéesdx_i1∧. . .∧dx_ip,i₁<i₂< . . . <i_p, forment une base de l’espace vectoriel Λ^p(Rⁿ). On les notedx^IoùI= (i1, . . . ,i_p).

Pour simplifier les notation, la somme∑1≤i₁<...<ip≤nsera généralement notée

∑

DÉFINITIONI.1.4.

On appelle formedifférentielle de degrép(oup-forme différentielle) sur un ouvertUdeRⁿune applicationωdeUdans Λ^p(Rⁿ). Elle s’écrit donc de manière unique

x7→ω(x) =

∑

I

ωI(x)dx^I.

On dit queωest de classeC^ksi les fonctionsωIsont classeC^k. Nous noteronsA^p(U)l’espace desp-formes diffé- rentielles surUetA^p_k(U)l’espace de celles qui sont de classeC^k.

Lesp-formes différentielles sont mises en dualité avec lesp-champs de vecteurs : siωest unep-forme etX= (X₁, . . . ,X_p) unp-tuple de champs de vecteurs, la relation de dualité est

hω,Xi(x) =ω(X1, . . . ,Xp)(x) =ω(x)(X1(x), . . . ,Xp(x)) =

∑

I

ωI(x)(X(x))^I.

DÉFINITIONI.1.5.

SoientUun ouvert deR^petV un ouvert deR^{n. Soit}ϕ= (ϕ_i)_i :U→V une fonction de classeC^{1. Soit}ω=

∑

ϕ^∗ω=

∑

I

(ωI◦ϕ)(dϕ)^I,

où(dϕ)^I=dϕi₁∧. . .∧dϕipsiI= (i1, . . . ,ip).

I.1. DÉFINITIONS GÉNÉRALES

DÉFINITIONI.1.6.

Soitω =

∑

dω=

∑

I

dω_I∧dx^I.

On remarquera que cette Définition prolonge celle donnée pour les fonctions (ExempleI.1.1).

PROPOSITIONI.1.2.

La différentiation extérieuredvérifie les propriétés suivantes : 1. dest linéaire.

2. Sifest une fonction de classeC^2surU, on ad(d f) =d²f =0.

3. Siω1∈A₁^p(U)etω2∈A^q₁(U), alorsd(ω1∧ω2) =dω₁∧ω2+ (−1)^pω1∧dω₂.

Démonstration. Vérifions 2. : la Définition donne aussitôtd²f=∑ ^∂

2f

∂xi∂xjdx_i∧dx_j, et commedx_j∧dx_i=−dx_i∧dx_j, la conclu- sion résulte du Théorème de Schwarz. Montrons maintenant le 3. Par linéarité, il suffit de le faire lorsqueω1=adx^I et ω2=bdx^J:

d(ω₁∧ω₂) = d(ab)dx^I∧dx^J

= (bda+adb)∧dx^I∧dx^J

= da∧dx^I

∧bdx^J+adb∧dx^T∧dx^J

= da∧dx^I

∧bdx^J+ (−1)^padx^I∧bdx^J

= dω₁∧ω₂+ (−1)^pω₁∧dω₂, puisqued dx^I=d dx^J=0par définition de la différentielle extérieure.

PROPOSITIONI.1.3.

Le carré de la différentielle extérieure est nul :d²=0.

Démonstration. En effet, siω=

∑

∑

∑

I

d(dωI)∧dx^I+dω_I∧d dx^I

=0,

puisque la Proposition précédente impliqued²ω_I=0(et qued dx^I

=0).

PROPOSITIONI.1.4.

SoientUun ouvert deR^petVun ouvert deR^{n. Soit}ϕ= (ϕi)_i :U→Vune fonction de classeC^{1. Soit}ω=

∑

Démonstration. En effet, la définition deϕ^∗ωmontre queω7→ϕ^∗ωest un homomorphisme d’algèbre lorsque l’on munit l’espace des formes du produit extérieur. Il suffit dons de vérifier la formule pour les fonctions (ce qui a été remarqué à la DéfinitionI.1.3) et pour les1-formes ce qui se fait aisément.

DÉFINITIONI.1.7.

SoitUun ouvert deRⁿ. Une formeω∈A₁^p(U)est diteferméesidω=0. Une formeω∈A^p(U),p≥1, est diteexacte sur Us’il existe une formeu∈A^p−1(U)telle quedu=ω. Une formeω∈A^p(U),p≥1, est ditelocalement exacte surUsi, pour tout pointxdeU, il existe un voisinageV(x)dexdansUtel que la restriction deωàV(x)est exacte.

Commed²=0toute formede classeC¹localement exacte est fermée (noter que cette affirmation n’a pas de sens pour une forme localement exacte seulementcontinue!). Nous allons voir tout de suite que la réciproque est vraie. Par contre, en général, une forme fermée n’est pas toujours exacte surU: ceci dépend de la topologie deU. Nous caractériserons un peu plus loin les ouverts deR²pour lesquels cette propriété est vraie (l’étude générale dansRⁿfait partie d’un cours de topologie algébrique, nous ne l’aborderons pas ici). Dans le cas général, nous nous contentons de donner une formule classique simple qui permet de construire une solution de l’équationdu=ωlorsque l’ouvertUest étoilé.

Rappelons que l’on dit qu’un ouvertUdeR^nestétoilé par rapport à un de ses pointsasi, pour toutx∈U, le segment[a,x]

est contenu dansU. Par exemple un ouvert convexe est étoilé par rapport à chacun de ses points.

PROPOSITIONI.1.5.

SoitU un ouvert deRⁿétoilé par rapport à un de ses pointsa. Alors toute p-forme, p≥1, de classeC^{1fermée sur}U est exacte surU. Plus précisément, en supposanta=0pour simplifier les notations, si, pour toute formeω∈A₁^p(U), on définit la(p−1)-formek(ω)par

k(ω)(x),(ξ1, . . . ,ξp−1)=^{Z 1}

0

t^p−1ω(tx),(x,ξ1, . . . ,ξp−1) dt, on a :

1. siω=d f,f∈C¹(U),k(d f) =f−f(0),

2. en général,d(k(ω)) +k(dω)=ω, et, en particulier,d(k(ω)) =ωsiωest fermée.

En particulier, toute forme fermée sur un ouvert quelconque deRⁿest localement exacte (une boule euclidienne étant convexe donc étoilée).

Démonstration. La vérification du 1. est immédiate : k(d f)(x) = ^{Z 1}

0 hd f(tx),xidt

= ^{Z 1}

0

∑

i

(tx)x_idt=f(x)−f(0).

Nous démontrons maintenant le 2. uniquement pour les1-formes pour simplifier les calculs (c’est le seul cas que nous utiliserons pour la théorie des fonctions holomorphes). Par linéarité, il suffit de les formes s’écrivantω(x) =a(x)dx₁. Alors dω=∑_j≥2∂^∂_x^a

jdx_j∧dx₁et il vient

d(k(ω)) =

∑

j≥1

Z ₁ 0

∂a

∂x_j(tx)tx1dt

dxj+Z ₁ 0

a(tx)dt

dx1,

hk(d(ω)),ξi = ^{Z 1}

0

t

∑

j≥2

∂a

∂xj

(tx)

dx_j∧dx₁,(x,ξ) dt

= ^{Z 1}

0

t

∑

j≥2

∂a

∂xj

(tx) x_jξ¹−ξ^jx₁ dt,

donc

k(dω)(x) =^{Z 1}

0

t

∑

j≥2

∂a

∂x_j(tx)(xjdx1−x1dxj)dt, ce qui donne

d(k(ω)) +k(dω) = ^{Z 1}

0

∑

j≥2

∂a

∂x_j(tx)txjdx₁+ ∂a

∂x₁(tx)tx1dx₁

! dt+

_{Z 1}

0 a(tx)dt

dx₁

= ^{Z 1}

0

∂(ta(tx))

∂t dt

dx₁=a(x)dx₁=ω.

I.2

Intégration des 1 -formes différentielles

I.2.1 Définitions générales et formule de Stokes

I.2. INTÉGRATION DES1-FORMES DIFFÉRENTIELLES

Rappelons tout d’abord que l’on appellechemin(orienté)C^k par morceaux dans un ouvertU deRⁿune application continueγd’un segment[a,b]dansUtelle qu’il existe une subdivisiont_k,0≤k≤m, de[a,b]telle que la restriction deγà tout segment[t_k,tk+1]soit de classeC^k. De plus, siϕ :[a⁰,b⁰]→[a,b]est unC¹difféomorphisme, on dit queλ=γ◦ϕest un autre paramétrage du cheminγ,ϕétant le changement de paramètre. Un changement de paramètreϕest ditadmissiblesi ϕ⁰>0(ce qui signifie, géométriquement, qu’il ne change pas l’orientation deγ).

Un chemin est ditfermésiγ(a) =γ(b). Un chemin fermé est aussi appelé unlacet.

DÉFINITIONI.2.1.

Soitγun chemin (orienté)C¹par morceaux dans un ouvertUdeR^n. 1. On appellelongueurdeγle nombreL(γ) =^R_a^bkγ⁰(t)kdt=∑k

Rt_k+1

t_k ∑ⁿ_i=1γ_i⁰(t)²¹/2

dt. 2. Soitωune1-forme continue surU. On appelleintégrale deωle long deγle nombre

Z γ

ω=^{Z b}

a

γ^∗ω=

∑

k Z _tk+1

t_k n i=1

∑

ωi(γ(t))γ_i⁰(t)

! dt.

De plus siϕest un changement de paramètres deγetλ=γ◦ϕ, on aR

λω=^R_γωsiϕest admissible,R

λω=−^Rγωsinon.

Par exemple, pourω=d f, on aR

γω=f(γ(b))−f(γ(a)).

T

I.2.1.

SoitUun ouvertconnexedeR^{n. Soit}ωune1-forme différentiellecontinuedansU. Les conditions suivantes sont équi- valentes :

1. Siγ1etγ2sont deux cheminsC¹par morceaux dansUayant même origine et même extrémité alorsR

γ₁ω=^R_γ

2ω; 2. Siγest un chemin ferméC¹par morceaux dansUalorsR

γω=0; 3. ωest exacte dansU.

Démonstration. En effet, tout d’abord, en mettant « bout-à-bout »γ1etγ2, on voit aussitôt que 1. et 2. sont équivalents, ensuite, il est clair que 3. implique 1. et 2. Montrons donc que 2. implique 3. Soitx₀un point quelconque deU. CommeUest supposé connexe, il est connexe par arc, pour toutx∈Uun existe un chemin continuγxde classeC^{1, dans}U, joignantx₀à x. On pose alors

f(x) =^Z

γ_x

ω

après avoir remarqué que, compte tenu de l’hypothèse 1., cette intégrale est indépendante du cheminγ_x, contenu dans U et joignantx₀àxchoisit, et ainsi la fonction f est bien définie. Soit alorsh∈R^n,khksuffisamment petit de sorte que la boule fermée de centrexet de rayonkhksoit contenue dansU, et soitγ_h(t) =x+thle segment joignantxàx+h. En mettant « bout-à-bout »γxetγh, il vient aussitôt f(x+h)−f(x) =^R_γ

hω =^R₀¹(∑_ih_iωi(x+th))dt. Commeω est supposée continue,∀ε>0, il existeη>0tel que|ω_i(x+th)−ω(x)| ≤εpourkhk ≤η. Par suite l’inégalité de Cauchy-Schwarz donne

|f(x+h)−f(x)− hω(x),hi|=^R0¹(∑_ih_i(ωi(x+th)−ωi(x)))dt≤εkhk^{, pour}khk ≤η, ce qui montre qued f(x) =ω(x).

T

I.2.2.

SoientΩun ouvert deR^2etωune1-forme différentiellecontinuesurΩ. Les conditions suivantes sont équivalentes : 1. Pour tout triangle fermé∆contenu dansΩon aR

∂∆ω=0; 2. Pour tout rectangle fermé∆contenu dansΩon aR

∂∆ω=0; 3. ωest localement exacte dansΩ.

Démonstration. Il est clair que 1. implique 2. en découpant un rectangle en deux triangles avec une diagonale. D’autre part, si∆est un triangle fermé contenu dansΩ, on peut découper∆en quatre triangles en utilisant les milieux des cotés de∆. En répétant cette opération un certain nombre de fois, pour toutε>0, on découpe∆en triangles∆_i, d’intérieurs deux à deux disjoints qui sont chacun contenu dans un disque centré en un point de∆et de rayonε. Par compacité, sous l’hypothèse 3., on peut choisirε>0tel que sur chacun de ces disquesω admet une primitive. Alors, pour chaquei,R

∂∆iω =0, et comme R

∂∆ω=∑_i^R_∂∆iωon aR

∂∆ω=0, ce qui montre que 3. implique 1.

Reste à voir que 2. implique 3. SoitD x⁰,r

un disque ouvert contenu dansΩ. Pour chaque pointx= (x₁,x₂)contenu dans D x⁰,r

considérons le cheminγxréunion des segments

x⁰, x₁,x⁰₂ et

x₁,x⁰₁ ,x

et posonsf(x) =^R_γxω. Six+h∈D x⁰,r , soitγ_hla juxtaposition des segments[x,(x₁+h₁,x2)]et[(x₁+h₁,x₂),x+h]. L’hypothèse 2. implique alors que f(x+h) =

f(x) +^R_γ

hω, soit (en notantω=ω₁dx₁+ω₂dx₂), puisqueωest continue f(x+h)−f(x) = ^{Z 1}

0

ω1(x1+th₁,x2)h₁dt+^{Z 1}

0

ω2(x1+h₁,x2+th₂)h2dt

= ω1(x)h1+ω2(x)h2+o(|h|), ce qui montre qued f=ω.

DÉFINITIONI.2.2.

Soitγ :[a,b]→Uun chemin dans un ouvert deRⁿ. On dit queγestrégulierau pointt₀∈[a,b]si le gradient deγ au pointt₀,∇γ(t0), est non nul.γest dite régulière si elle est régulière en tout point de[a,b].

On appellecourbe lisse de classeC^kun chemin régulierγ :[a,b]→Ude classeC^{ktel que :} 1. Siγ(a)6=γ(b),γest injective ;

2. Siγ(a) =γ(b),γest injective sur]a,b[,γ⁻¹(γ(a)) ={a,b}et toutes les dérivées jusqu’à l’ordrekdeγcoïncident en aet enb.

On appellecompact à bord orienté de classeC^kpar morceaux dans R^{2 un compact}Kdont la frontière est une union finie de courbes lisses de classeC^kdeux à deux disjointes à l’exception faite de leurs extrémités. De plusKest dit positivement orienté si, pour chaque courbeγcomposant le bord∂KdeKlorsque l’on parcourtγ(t)dans le sens dest croissant on a à sa gauche les points intérieurs deK, c’est-à-dire si∇γestdirectementorthogonal à la normale sortante de∂K.

Avec cette définition, siωest une1-forme différentielle définie au voisinage d’un compact à bord orientéKdont le bord est la réunion (« disjointe ») des courbes lissesγi,1≤i≤k, on défini l’intégrale deωsur le bord∂KdeKparR

∂Kω=∑^k_i=1^R_γiω. D’autre part, siωest une2-forme différentielle définie sur un ouvertUdeR², elle s’écrit de manière uniqueω=f(x)dx1∧ dx₂,(x1,x₂)étant les coordonnées canoniques. Pour toute partie mesurableFdeUon pose alorsR

Fω=^R_Ff dλ, oùλest la mesure de Lebesgue (orientation du plan).

T

I.2.3 (

).

SoitKun compact à bord orienté deR². Pour toute1-forme différentielleωde classeC¹définie au voisinage deKon a Z

∂K

ω=^Z

K

dω.

Remarque. Cette formule se généralise bien sûr aux compacts deRⁿet, plus généralement aux compacts dans les variétés différentielles. Nous nous contentons ici du casR²pour éviter d’avoir à définir l’orientation des variétés différentielles qui est nécessaire pour énoncer la formule en général.

Démonstration. On commence par vérifier la formule lorsqueKest une carré,K= [a,b]², et, avec les notations usuelles(x,y) pour les coordonnées canoniques deR^2,ω=ω₁dx+ω₂dydoncdω=

∂ ω₂

∂x −^{∂ ω}_∂y¹

dx∧dyetR

Kdω=^R_[a,b]

∂ ω₂

∂x −^{∂ ω}_∂y¹ dxdy. D’autre part

Z

∂Kω = ^{Z b}

a ω1(x,a)dx+^{Z b}

a ω2(b,y)dy+^{Z a}

b ω1(x,b)dx+^{Z a}

b ω2(a,y)dy

= ^{Z b}

a (ω1(x,a)−ω₁(x,b))dx+^{Z b}

a (ω2(b,y)−ω₂(a,y))dy

= ^{Z b}

a

_{Z b}

a

∂ ω₂

∂x dx

dy− Z b

a

_{Z b}

a

∂ ω₁

∂y dy

dx, ce qui montre le résultat dans ce cas.

Pour le cas général, pour chaque entiern≥1, on découpe le plan en carrés de côtés parallèles aux axes avec les droites d’équationsx=₂^kn,y= ₂^ln,k,l∈Z^{. On note}K_nla réunion de ces carrés contenus dans l’intérieur deKetL_nla réunion de ceux qui coupent le bord deK. SiC₁etC₂sont deux tels carrés ayant un côté en commun, on vérifie aussitôt queR

∂C1ω+ R

∂C2ω =^R_∂(C

1∪C2)ω, et la formule pour un carré donne doncR

∂Knω =^R_K

ndω. Pour conclure, il suffit donc de montrer les deux propriétés suivantes :

n→lim+∞

Z Kn

dω=^Z

Kdω, (I.1)

et,

nlim→∞ Z

∂Kn

ω=^Z

∂K

ω. (I.2)

Commeωest supposée de classeC¹au voisinage deK,dωest bornée surKet il existe une constanteC>0telle que ^R_Kdω−^RKndω≤Cλ(L_n)(λ mesure de Lebesgue), et, pour vérifier (I.1), il suffit de voir quelim_n→+∞λ(L_n) =0:

I.2. INTÉGRATION DES1-FORMES DIFFÉRENTIELLES

Lemme. Il existe une constanteB>0, indépendante den, telle que le volume deL_nest majoré parB2⁻ⁿ. De plus, il existe une constanteA, indépendante den, telle que le nombre de carrés composantL_nest majoré parA2ⁿ.

Preuve du Lemme. SoitT_n=n

x∈R^{2tels que}dist(x,∂K)≤√ 22⁻ⁿo

. Comme∂Kest un compact réunion d’un nombre fini de courbes lissesγi, il existe une constanteB, indépendante den(en fait2√

2fois la somme des longueurs des courbesγi) telle que le volume deT_nest majoré parB2⁻ⁿ, ce qui montre la première assertion du Lemme. Enfin la seconde en résulte puisqueL_nest réunion de carrés d’intérieurs deux à deux disjoints et de volumes2⁻²ⁿ.

Vérifions maintenant (I.2). Pour chaque carréCcomposantLn, soitΓC la partie de∂Ccontenue dans l’intérieur deKet orientée négativement, et soitx_Cun point deC∩K. Un rapide dessin montre aisément que∑C

R

Γ_Cω=^R_∂Knω, la somme étant étendue à tous les carrésCcomposantL_n. Par ailleurs, commeωest de classeC¹, si on poseωC=ω1(xC)dx+ω2(xC)dyet ω=ωC+εC, on a|εC|=O(2⁻ⁿ), avec une constante indépendante den. De plus, commeωCest à coefficients constants, elle est exacte et son intégrale sur le bord deC∩Kest nulle, c’est-à-dire (compte tenu de l’orientation négative deΓC)R

Γ_CωC= R

∂K∩CωC. Ainsi, il vient

Z

∂K∩C

ω− Z

Γ_C

ω=^Z

∂K∩C

ε_C− Z

Γ_C

ε_C

et il existe une constanteD>0indépendante dentelle que^R∂K∩Cω−^RΓ_Cω

≤D2⁻²ⁿ(les longueurs de∂K∩CetΓ_Cétant O(2⁻ⁿ)). En sommant sur tous les carrésCcomposantLn, le Lemme donne^R_∂Kω−^R∂Knω≤E2⁻ⁿpour une constanteE indépendante den, ce qui achève la démonstration du Théorème.

Nous introduisons maintenant des notation propres au plan complexeCque nous utiliseront constamment par la suite : (x,y)étant les coordonnées canoniques usuelles deR^{2, on pose}

dz=dx+idyetdz¯=dx−idy,

et toute1-forme différentielleωsur un ouvert deCs’écrit de manière uniqueω=ω1dz+ω2dz¯et quedz∧dz¯=−2idx∧dy. Par ailleurs sif est une fonction de classeC¹sur un ouvert deC, sa différentielle extérieure s’écrit de manière unique

d f=∂f

∂zdz+∂f

∂z¯dz,¯ et on vérifie immédiatement que^∂f

∂z =¹₂

∂f

∂x−i^∂f

∂y

et^∂f

∂z¯=¹₂

∂f

∂x+i^∂f

∂y

. PROPOSITIONI.2.1 (Formule de Cauchy-Pompeïu).

Soitf une fonction de classeC¹sur un ouvertΩdeC^{. Soit}Kun compact à bord orienté contenu dansΩ. Alors pour tout pointz₀∈K^◦

2iπf(z0) =^Z

∂K

f(z) z−z₀dz−2i

Z K

∂f

∂z¯(z) z−z₀dλ(z).

Démonstration. SoitD(z0,r)le disque ouvert centré enz₀et de rayonr. On supposerassez petit de sorte que l’adhérence de ce disque soit contenu dans l’intérieur deK. La Formule de Stokes appliquée au compact à bord orientéK\D(z0,r)donne

Z

∂K

f(z) z−z₀dz−

Z

∂D(z₀,r)

f(z) z−z₀dz=^Z

K\D(z₀,r)

∂f

∂z¯(z)

z−z₀dz¯∧dz=2i Z

K

∂f

∂z¯(z) z−z₀dλ(z).

Comme

lim

r→0 Z

∂D(z0,r)

f(z)

z−z₀dz=lim

r→0 Z _2π

0

f z0+re^iϑ

re^iϑ ire^iϑdϑ=2iπf(z0), la formule s’obtient en passant à la limite quandr→0.

I.2.2 Indice d’un lacet par rapport à un point

DÉFINITIONI.2.3.

Soitγun lacet (i.e. un chemin fermé) de classeC¹par morceaux dansC^{. On note}Imγl’image deγ. On appelleindice de γpar rapport à un pointa∈C\Imγle nombre

I(γ,a) = 1 2iπ

Z γ

dz z−a.

PROPOSITIONI.2.2.

L’indiceI(γ,a)d’un lacetγpar rapport à un pointa∈C\Imγest un entier relatif (i.e.I(γ,a)∈Z^).

Démonstration. En effet, supposons, pour fixer les notationsγ :[α,β]→C, et posons ϕ(t) =exp

Z _t α

γ⁰(s) γ(s)−ads

.

La Proposition dit queϕ(β) =1. Or, excepté au points oùγn’est pas dérivable (c’est-à-dire pour un nombre fini de valeurs det) on a

ϕ⁰(t)

ϕ(t) = γ⁰(t) γ(t)−a,

c’est-à-dire

ϕ γ−a

0

(t) =0. Comme_γ^ϕ_−a est continue, cela signifie qu’elle est constante, et commeϕ(α) =1, on aϕ(t) =

γ(t)−a

γ(α)−a. Commeγest un lacet (γ(α) =γ(β)) on a bienϕ(β) =1. PROPOSITIONI.2.3.

Soitγun lacetC¹par morceaux dansC^.

1. I(γ,a)est constant dans chaque composante connexe deC\Imγ;

2. Siγest la frontière d’un compact à bord orienté, alorsI(∂K,a) =1poura∈K^◦etI(∂K,a) =0poura∈C\K.

Démonstration. Le 1. résulte de la Proposition précédente puisquea7→I(∂K,a)est clairement continue dansK^◦. Sia∈K^◦, la forme _z^dz_−a est fermée au voisinage du compactK\D(a,r)oùD(a,r)est un disque ouvert contenu dans l’intérieur deK. La formule de Stokes donne alorsR

∂(K\D(a,r)) dz

z−a=0, doncI(γ,a) =_2iπ^{1 R}_∂D(a,r)z^dz_−a=_2iπ^{1 R}₀^2πi dϑ=1. Lorsquea∈C\K, la forme_z^dz_−aest fermée au voisinage deKet la formule de Stokes donneI(γ,a) =0.

I.3

Homotopie

DÉFINITIONI.3.1.

SoitΩun ouvert deC^{. Soient}γ1etγ2deux chemins continus dansΩque l’on suppose paramétrés surI= [0,1]. On dit queγ1etγ2sonthomotopes(avec extrémités fixes) s’il ont même origine et même extrémité et s’il existe une application continueδ :I×I→Ωtelle que :

1. Pour toutt∈I,δ(t,0) =γ1(t)etδ(t,1) =γ2(t);

2. Pour toutu∈I,δ(0,u) =γ1(0) =γ2(0)etδ(1,u) =γ1(1) =γ2(1).

Dans le cas oùγ1etγ2sont des chemins fermés (i.e.γ1(0) =γ1(1) =γ2(1) =γ2(1)) on dit aussi que les chemins sont homotopes(comme chemins fermés) (dans ce cas on aδ(0,u) =δ(1,u) =γ1(0),∀u∈I).

De plus, on dit qu’un chemin ferméγ(i.e.γ(0) =γ(1) =a) esthomotope à un points’il est homotope (comme chemin fermé) a un chemin constantγ1(t) =a,t∈I.

Dans toute la suite, nous dirons simplement « homotopes » sous-entendant « avec extrémités fixes » ou « comme chemins fermés ».

On remarquera que l’homotopie ainsi définie dépends de l’ouvertΩdans lequel on considère les chemins.Par exemple le chemint→e^itest homotope à un point dansCmais ne l’est pas dansC^∗.

Pour simplifier les notations, dans toute la suite les chemins seront supposés paramétrés surI= [0,1]sauf précision contraire.

DÉFINITIONI.3.2.

Soitωune1-formecontinue localement exactedans un ouvertΩdeC^{. Soit}γun chemincontinudansΩ. On dit qu’une fonctioncontinue f :I= [0,1]→C^{est une}primitive deωle long deγsi∀t₀∈Iil existe un voisinageV =V(γ(t₀))de γ(t0)dansΩet une fonctionF=F_t0de classeC^1dansVtelle quedF=ωdansVetf(t) =F◦γ(t)au voisinage det0.

I.3. HOMOTOPIE

On notera que cette Définition s’applique en particulier aux formesωfermées puisque celles-ci sont localement exactes (PropositionI.1.5). De plus, siω=∑ⁿ_i=1ω_idz_i, et siγestC¹par morceaux, alors une primitivefdeωle long deγest aussiC¹ par morceaux et la définition de fdonnée dans la Définition ci-dessus équivaut à «f de classeC¹par morceaux et,∀t₀∈I,

f⁰(t) =∑ⁿ_i=1ω_i(γ(t))γ_i⁰(t)au voisinage det₀».

PROPOSITIONI.3.1.

SoientΩun ouvert deC^,γ un chemin continu dansΩetωune1-formecontinue localement exactedansΩ. Alors il existe une primitive deωle long deγet celle-ci est unique à une constante additive près.

Démonstration. Unicité. Soient f₁etf₂deux primitives deωle long deγde sorte que∀t₀∈Iil existe deux primitivesF₁etF₂ deωdans un voisinageV deγ(t0)telles que f_i=F_i◦γ,i=1,2, au voisinage det₀. Comme on peut supposerV connexe,F₁ etF₂diffèrent d’une constante, ce qui montre que f₁−f₂est localement constante. Comme cette fonction est continue, elle est constante.

Existence. Par compacité deγ([0,1]), il existeδ >0tel que au voisinage de toute disque fermée de rayonδ centrée en un point du chemin la formeω admet une primitive. La continuité uniforme deγ montre alors qu’il existe des pointst_i, 0=t₁<t₂< . . .ti<ti+1< . . . <t_n=1, tels que chaque intervalle[t_i,ti+1]est contenu dans un disqueD_i, de rayonδ, centré en un point du chemin et sur lequelω admet une primitiveF_i. Pour chaque i ,D_i∩Di+1est un ouvert connexe non vide (il contientγ(ti+1)) doncF_i−Fi+1est constante sur cet ouvert. Par récurrence, il est alors clair que l’on peut modifier lesF_i en leur rajoutant des constantes convenables de sorte que la fonctionf définie par f(t) =F_i(γ(t))pourt∈[t_i,ti+1]soit une primitive deωle long deγ.

Cette Proposition permet d’étendre la définition de l’intégrale d’une1-forme continue localement exacte (mais pas né- cessairement de classeC¹) aux chemins qui sont seulement continusγ:

DÉFINITIONI.3.3.

Soientωune1-formecontinue localement exactedans un ouvertΩdeC^etγun chemin continu dansΩ(paramétré sur I= [0,1]). Soit f une primitive deω le long deγ. On appelleintégrale deω le long deγle nombre, indépendant de la

primitive choisie f, Z

γ

ω=f(1)−f(0).

Naturellement, si le cheminγestC¹par morceaux, cette Définition est la même que celle donnée à la DéfinitionI.2.1.

PROPOSITIONI.3.2.

Soitω une1-forme continue localement exacte dans un ouvertΩ deC^{. Soit}(γn)_nune suite de chemins continus qui converge uniformément vers un cheminγ. Alorslim_n→+∞^R_γ

nω=^R_γω.

Démonstration. En effet, les primitives locales deωFi,1≤i≤k, utilisées pour définirR

γωsont définies sur des ouverts qui recouvrentImγ_npournassez grand (convergence uniforme et compacité deImγ), on peut donc les prendre pour définir les intégralesR

γnω, d’où la conclusion.

T

I.3.1.

Soitωune1-forme continue localement exacte dans un ouvertΩdeC^{. Si}γ0etγ1sont deux chemins continus homotopes (avec extrémités fixes) dansΩon aR

γ₀ω=^R_γ

1ω.

Démonstration. SoientI₁= [a,b]etI₂= [c,d]deux segments et soitϕ :I₁×I₂→Ωune application continue. On dit qu’une fonction continue f(t,u);I₁×I₂→Ωest uneprimitive deω le long deϕsi∀(t0,u₀)∈I₁×I₂il existe une primitiveF₀de ωau voisinage deϕ(t0,u₀)telle que, dans un voisinage de(t0,u₀)on ait f(t,u) =F₀(ϕ(t,u)). Comme dans la preuve de la PropositionI.3.1, il est clair que deux primitives deωle long deϕdiffèrent d’une constante.

Remarquons alors que la démonstration du Théorème revient à voir qu’il existe un primitive f deωle long d’une ho- motopieδ :I×I →Ωdeγ₀àγ₁: en effet si une telle primitive existe, alors (l’homotopie étant à extrémités fixes) on a f(0,0) = f(0,u) = f(0,1)et f(1,0) = f(1,u) = f(1,1),∀u∈I, et commet→f(t,0)est une primitive deωle long deγ₀et t→f(t,1)une primitive le long deγ₁, on aR

γ₀ω=f(1,0)−f(0,0)etR

γ₁ω=f(1,1)−f(0,1)ce qui montre le Théorème.

Pour achever la preuve construisons donc une telle primitive. Par compacité, il existeε>0tel que, pour tout(t,u)∈I×I δ([t−ε,t+ε]×[u−ε,u+ε])soit contenu dans un disque ouvert sur lequelωadmet une primitive. On considère alors un découpage deI×Ien carrés[ti,ti+1]×

u_j,u_j+1

,1≤i≤k1≤j≤l, tels quet_i+1−t_i=u_j+1−u_j=ε. Alors, la preuve de la PropositionI.3.1montre que l’on peut construire une primitive deωle long du chemint→δ

t,^uj+1₂^+uj

,t∈I, en utilisant ces disques ce qui donne une primitive f_jdeωle long de la restriction deδ àI×

u_j−^ε/²,uj+1+^ε/²

∩[0,1]

. Comme f₁ etf₂sont deux primitives deωle long de la restriction deδàI×[u₂−^ε/²,u₂+^ε/²]elles diffèrent d’une constanteC₂, et, en remplaçant f2par f2+C2on défini une primitive deωle long de la restriction deδ àI×[0,u3+^ε/²]. On conclut alors par récurrence surj.

Remarque. On notera que ce Théorème s’applique en particulier aux formes fermées (c.f. PropositionI.1.5). En particulier, il permet d’étendre la notion d’indiceI(γ,a)d’un lacetγ par rapport à un pointaaux lacets qui sontseulement continus puisque la forme_z−a^dz est fermée au voisinage de l’image du lacet.

DÉFINITIONI.3.4.

On dit qu’un ouvert deC^estsimplement connexes’il est connexe et si tout chemin continu fermé contenu dansΩest homotope à un point.

T

I.3.2.

Toute1-forme différentielle continue localement exacte dans un ouvert simplement connexe y est exacte.

Démonstration. En effet, le ThéorèmeI.3.1montre que, pour tout chemin ferméγcontenu dansΩon aR

γω=0. La conclu- sion résulte donc du ThéorèmeI.2.1.

Comme pour le précédent, on notera que ce Théorème s’applique aux formes fermées.

I.4

Deux applications

I.4.1 Logarithme complexe

DÉFINITIONI.4.1.

Soitz∈C^∗=C\ {0}. On appelledétermination du logarithme dezun nombre complexeζtel quee^ζ =zc’est-à-dire un nombre tel queζ =log|z|+iArgz+2ikπ,k∈Z. Le nombrelog|z|+iArgzs’appelle parfois ladétermination principale du logarithme dez.

La question que l’on se pose est de savoir si on peut trouver une applicationz→ζ(z)continuedans un ouvertΩdeC^∗ telle queζ(z)soit une détermination du logarithme dez. Lorsqu’une telle fonction existe, on parle dedétermination continue du logarithme dezdansΩ.

En général une telle détermination continue n’existe pas : par exemple siζ(z)était une détermination continue delogz dansC^∗, on auraitζ e^iϑ=iϑ+2ikπdoncζ eⁱ⁰=2ikπetζ e^i2π=2i(k+1)πce qui contredit la continuité deζ(z). Pour avoir l’existence d’une telle détermination il faut faire une hypothèse topologique sur l’ouvertΩ:

PROPOSITIONI.4.1.

Sur tout ouvert simplement connexe deC^∗il existe une détermination continue du logarithme dezqui est unique à l’addition d’un multiple entier de2iπprès.

Démonstration. Soitaun point deΩet posonsloga=log|a|+iArga. D’après le ThéorèmeI.3.2la forme^dz_z (qui est fermée dansC^∗) est exacte surΩ. Soitlogzsa primitive (surΩ) qui vautlogaau pointaet considérons la fonctionh(z) =e^logz. Par définition cette fonction vérifie l’équation ^∂h

∂z(z) = ^h(z)_z . Remarquons alors que la fonctionh₀(z) =zest aussi une solution de cette équation, et, par suite, la fonctiong(z) = _h^h(z)

0(z) vérifie ^∂g

∂z =0, et comme on a de manière évidente ^∂g

∂z¯ =0,gest localement constante donc constante puisqueΩest supposé connexe. Ainsih(z) =λz, pour une constanteλ, et comme h(a) =apar définition deh, on aλ=1ce qui montre que la fonctionlogzdéfinie ci-dessus est une détermination (continue) du logarithme dezsurΩ.

Remarque. Comme deux déterminations continues du logarithme dezsurΩdiffèrent d’une constante, la démonstration ci- dessus montre qu’une détermination continue du logarithme dezsurΩest une primitive de la forme^dz_z (i.e. sa différentielle extérieure est^dz_z).

EXERCICES

I.4.2 Quelque propriétés de l’indice

Après le ThéorèmeI.3.1, nous avons remarqué que l’on peut étendre aux chemins continus la notion d’indice par rapport à un point : siγest un chemin continu (paramétré sur[0,1]), et sia∈/Imγ, la forme_z^dz_−aest localement exacte sur un voisinage deImγet sifest une primitive de cette forme le long deγ, par définition, on aI(γ,a) =f(1)−f(0). De plus,fest caractérisée par la fait que, au voisinage det0∈[0,1], on af(t) =log(γ(t)−a) +C0de sorte que _γ(t)^ef(t)_−a=e^C0 est localement constante, donc constante. Ainsi,I(γ,a) = f(1)−f(0)oùf est une fonction continue vérifiante^f(t)=γ(t)−a,t∈[0,1].

PROPOSITIONI.4.2.

SoitDle disque unité du plan complexe centré en0,Tsa frontière. Soit f :D→Cune fonction continue et posons γ(t) =f e^it

. SiI(γ,a)6=0en un pointa∈C\f(T)alorsfprends la valeurasur l’intérieur deD^. Démonstration. En effet, dans le cas contraire,δ(t,r) = f re^it

est une homotopie deγ vers le lacet constant égal à f(0) contenue dansC\ {a}^{. Comme}z^dz−aest fermée surC\ {a}, donc localement exacte, et on aI(γ,a) =0d’après le Théorème I.3.1.

PROPOSITIONI.4.3.

Soientγ1etγ2deux chemins fermés continus dansC^{∗et posons}γ(t) =γ1(t)γ2(t). AlorsI(γ,0) =I(γ1,0) +I(γ2,0). Démonstration. En effet, pour chaqueisoitf_iune primitive de^dz_z le long deγitelle quee^fi(t)=γi(t)Alorsf=f₁+f₂est une primitive de^dz_z le long deγetI(γ,0) = ^f(1)_2iπ^−f(0)=I(γ1,0) +I(γ2,0).

PROPOSITIONI.4.4.

Soientγ₀etγ₁deux chemins fermé continus dansC^{tels que}0∈/Imγet,∀t,|γ₁(t)|<|γ₀(t)|^{. Alors}t7→γ₀(t) +γ₁(t)a son image dansC^∗etI(γ0+γ1,0) =I(γ0,0).

Démonstration. En effet, en écrivantγ₀+γ₁=γ₀

1+^γ_γ¹

0

, on remarque que le cheminν=1+^γ_γ¹

0 étant contenu dans le disque centré en1et de rayon1(par l’hypothèse) on a (PropositionI.4.1)I(ν,0) =0, et on applique la Proposition précédente.

PROPOSITIONI.4.5 (Théorème de Rouché).

Soientγ0etγ1deux chemins fermé continus dansC^{. Si,}∀t, on a

|γ0(t) +γ1(t)|<|γ0(t)|+|γ1(t)|, alors les chemins ne passent pas par0et on aI(γ0,0) =I(γ1,0).

Démonstration. Il est clair que l’hypothèse implique que les chemins ne passent pas par l’origine. L’hypothèse s’écrit donc aussi1+^γ_γ¹

0

<1+^|_|^γ_γ^1|

0|, ce qui montre que l’image de^γ1

γ₀ est contenue dansC\R−, qui est un ouvert simplement connexe de C^∗, et, par suite,I(^γ1/γ0,0) =0. Or, sif_iest telle quee^fi(t)=γi(t), on ae^{f1(t)−f0(t)}=^γ_γ^1(t)

0(t), donc0=I(^γ1/γ0,0) =f₁(1)−f₀(1)− (f₁(0)−f₀(0)) =I(γ1,0)−I(γ0,0).

Exercices

E

I.1 (

).

1. Un champ de vecteurs complexe dans un ouvertUdeR²s’exprime sous la forme u(x,y)∂

∂x+v(x,y)∂

∂y,