Théorème de Cauchy-Arzela-Peano

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Théorème de Cauchy-Arzela-Peano

Ce théorème se trouve dans Demailly, Analyse numérique et équations différentielles (mais pas mal modifié).

Théorème. Soit f(t, y) continue. Soit C = [t0−T, t0+T]×B(y0, r0) un cylindre de sécurité avec T 6 min(T0, r0/M) pour l’équation y⁰ = f(t, y). Alors il existe une solution avec conditions initiales y(t₀) =y₀ sur [t₀−T, t₀+T].

Démonstration. Commençons par montrer quef vérifie le problème de Cauchy surI équivaut au pro- blème intégralycontinue surI et pour toutt∈I, (t, y(t))∈U et ∀t∈I, y(y) =y0+Rt

t₀f(u, y(u))du.

En outre, il existe bien un cylindre de sécurité : f est définie sur un ouvert H ×U, donc il existe un cylindre C0 = [t0−T0, t0+T0]×B(y0, r0) ⊂ U. On note M = sup_If et T 6 min(T0, r0/M) : cela convient. On noteCce cylindre.

Construction d’une solution par la méthode d’Euler. On se donne une subdivision t₀ < t₁ <

· · ·< t_N =t₀+T régulière et on noteh=T /(N+ 1). on construity_n par récurrence partant de y₀ en posant y_n+1 =y_n+hf(t_n, y_n)et en reliant les points par des droites. On notey la solution approchée obtenue.

Alorsyn reste dansB(y0, r0). On montre ceci par récurrence, en supposant plus précisément que : y([t₀, t_n])⊂B(y₀, r₀) et ∀t∈[t₀, t_n]ky(t)−y₀k6M|t−t₀|.

Si c’est vrai pour n, en particulier (t_n, y_n) ∈ C donc pour t ∈ [t_n, t_n+1], on a y(t)−y_n = y_n+ (t− t_n)f(t_n, y_n)doncky(t)−y₀k6M|t−t_n|+ky_n−y₀k6M|t−t₀|, ce qui conclut la récurrence.

Solutions ε-approchées. On appelle solution ε-approchée de f une fonctionC¹ par morceaux (sur une subdivision a =a0 <· · · < aN =b) telle que ∀t ∈ [a, b], (t, y(t)) ∈U et ∀t ∈]an, an+1[, ky⁰(t)− f(t, y(t))k6ε.Siy est issue d’une méthode numérique,εest appelé erreur de la méthode.

Majoration de l’erreur. On introduit le module de continuité

ωf(δ) = max{kf(t1, y1)−f(t2, y2)k | ky1−y2k+|t1−t2|6δ}.

CommeC est compact,f est uniformément continue surC doncωf(δ)−→

δ→00.

Siy est la solution approchée par la méthode d’Euler à N points, alors l’erreur vérifie ε6ωf((M + 1)h).

Pour ce faire, majoronsky⁰(t)−f(t, y(t))k. Pour t ∈]tn, tn+1[, on aky(t)−ynk 6M het |t−tn|6h.

Ainsi,kf(tn, yn)−f(t, y(t)kωf((M+ 1)h, ce qu’il fallait montrer.

Convergence des solutions approchées. Si y_p est une suite de solutions ε_p-approchées obtenues par la méthode d’Euler qui converge uniformément vers y, alors elle converge vers une solution exacte du problème de Cauchy.

Puisqueky_p⁰(t)−f(t, y_p(t))k61/p, une intégration donne

yp(t)−y0− Z t

t₀

f(u, y(u))du

61/p|t−t0|.

Or, siδp= supkyp−yk, alorskf(t, yp(t))−f(t, y(t))k6ωf(δp)qui tend vers 0.

Ainsi, par convergence uniforme, on peut passer à la limite dans l’intégrale et obtenir y(t) = y0+ Rt

t₀f(u, y(u))du.y est continue par convergence uniforme, donc est solution du problème de Cauchy.

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Conclusion. soit yp une suite de solutions approchées construite par la méthode d’Euler vérifiant h 6 T /p. Alors l’erreur est εp 6 ωf((M + 1)T /p) qui tend vers 0. Les yp sont lipschitziennes par construction de rapportM. Par Ascoli, on peut extraire une suite qui converge uniformément versy qui devient une solution.

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