Théorème sur les équations algébriques

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

P. S ONDAT

Théorème sur les équations algébriques

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 19

(1900), p. 25-28

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[A3a]

THÉORÈME SUR LES ÉQUATIONS ALGÉBRIQUES;

PAR M. P. SONDAT.

Si l'équation

(i) o(x) = axn—nbœn-t-T- ' ex"-2—...-+-nfcx — l = o

de degré impair, a racines égales, on a^} pour cette racine multiple,

A, A, et A2 étant des fonctions homogènes et du second degré des coefficients a, 6, c, . . . , A , / r , /.

Appelons ©4, o2, cp3, . . . , cpw_i, «7 les dérivées s u c - cessives de ç , divisées respectivement p a r rc, / I ( / I — i ) ,

n(n — i)(/z — 2 ) , . . . , et soit

6(57) = bx'1-* — (n — i)c57rt~2-f-...— (n — i)kx H- /.

Dans :p, et '^, remplaçons les puissances décroissanles

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de x par /:, A, . . . , c, Z>, a et ensuite par /, /r, /i, . . . , c, i , ou posons

( A — ak — (n — \)bh-)-...— (n—i)hb-+-ka, (2) ] \i=al — (n— i)bk -+-. ..— (n — 1) hc -h kb,

\ A2= bl — (n — I ) C À - - + - . . . — (n — i)kc -H /&.

Dans ces fonctions homogènes, remplaçons a, b} c, . . . , h, k, l par

et appelons A', A',, A'2 les résultats des substitutions.

Nous aurons

/ A' = rt'f, —(« —l)o2o/ i_ !-4-...—(/1 —l)cp2'f/i-i — « ' f 1, (3) / A \ = aC5 ~ ( / l

Or ~j— = o, donc A' est indépendant de x . De plus

(4) A'-A,

car en faisant x — o, on rend les ternies de A' égaux à ceux de A (* ).

On trouve aussi

di\ _

d'où

Aj = A^' -h c,

et, en faisant x = o, — A, = c. Donc

( 5 ) A\ = A^ — A j .

( ' ) Fot> un théorème analogue, N. A., p. 169; 1897.

(4)

En procédant de même, on aura

—-3 = 2 A', = 2Aa? — 2 A!, ( 6 ) A'2 = Aa?2__ 2A,a7-f- A2.

Cela posé, si l'équation (i) a racines égales, en attribuant à a: la valeur, soit p, de cette racine mul- tiple, annulant ç, o^{, . . . , cp„_^t et, par suite, A'^t et A^, on aura, pour la déterminer, les deux équations

(7) Ap — Aj = o,

Ap2 — '2 At p -f- A2 = o ,

d'où

et, par suite,

A?-AA2=o, pour Tune des conditions de multiplicité.

Remarques. — I. Si p était une racine multiple de l'ordre -> annulant A', A',, A£, les équations (7), devenant identiques, la laisseraient indéterminée, mais l'équation <p2= o, traitée de la même manière, la ferait connaître, et l'on aurait alors les trois conditions simples de multiplicité

A = o , A! = o , A2 = o.

II. Avec rc = 2v pair, si l'équation (1) avait v + i racines égales, chacune des équations cp, = o, ^ =• o, de degré impair, en aurait v, car

O = # 9 ! —

et le théorème leur serait applicable.

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Donc, quand une équation algébrique, de degré quelconque, a plus de la moitié de ses racines égales, la racine multiple doit affecter la forme (8).

Applications. — I. Si n = 3, on a, pour une racine double,

__ bc— ad _ 2(c2—hd)

( 9 ) p = 'IT^2—ac)= bc — ad II. Si /* = 5, on a, pour une racine triple,

et les trois trinômes seraient nuls avec une racine qua- druple, donnée par (9).

III. Si 7i = 6, une racine quintuple est donnée par (9), une racine quadruple par (10) et entraîne alors la condition

\od^% — 15ce -f- 6bf — ag — o.