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Exercice 1 : (3 points)
Pour les questions 1 à 6, cocher la bonne réponse.
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [- 5 ; 5 ] dont le tableau de variation est le suivant :
x -5 -1 3 5
Variation de f
2 3
-2 1
1. Si on note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère, alors Cf coupe l’axe des abscisses :
En un point En deux points En trois points
2. L’image de 0 est Egale à 0
Négative Inférieure à 2
3. Comparer f(o) et f(2) f(0) < f(2)
f(0) >f(2)
on ne peut pas conclure.
4. Si -1 ≤ x ≤ 5 alors 2 ≤ f(x) ≤3
1 ≤ f(x) ≤ 3
5. L’équation f(x) = 2 a Une solution
Deux solutions
On ne peut pas conclure
6. La fonction f admet Un maximum pour x= -1
Un minimum pour x = -5 Un maximum pour x = 3 7. Tracer une courbe admettant ce tableau de variations :
2 3 4 5 6
-1 -2 -3 -4 -5
2 3 4 5
-1 -2 -3 -4 -5
0 1
1
x y
Exercice 2 (7 points)
Partie I :
Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; 8] par
f ( ) 1 2 4x = −2x + x
. On considère sa représentation graphique tracée ci-dessous.
1) a) Déterminer graphiquement l’image de 2 par f.
b) Déterminer graphiquement f(8).
2) Résoudre graphiquement f(x) < 6 .
3) Déterminer par lecture graphique les antécédents de 3,5 par f.
4) Dresser le tableau de variation de f.
5) La fonction f est-elle majorée ? A-t-elle un maximum ?
Partie II :
On considère le triangle ABC rectangle en B et tel
que AB = 4 et BC = 8.
Soit P un point du segment [BC], on pose BP = x
Soit M un point du segment [AB] et N un point du
segment [AC] tels que PBMN est un rectangle.
1) Quelles sont les valeurs possibles de x ? 2) A l’aide du théorème de Thalès, exprimer PN
en fonction de x.
3) Montrer que l’aire du rectangle MNPB est égale à 1 2 2x 4x
− + .
4) En utilisant la partie I, déterminer graphiquement pour quelle(s) valeur(s) de x, l’aire du rectangle MNPB est égale aux
ième
8
3
de celle du triangle ABC.5) Pour quelle valeur de x l’aire est-elle maximale ?
A
C B
N M
P 8
4 x
a
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 4 5 6 7 8 9
0 1
1
x y
Exercice 3 : (5 points)
Dans un repère orthonormé, on considère les points A( 1 ;3), B(4 ;1) et C(6 ;4).
1. Placer ces points dans un repère orthonormé, puis calculer les distances AB, AC et BC.
2. En déduire, en justifiant, la nature du triangle ABC.
3. Déterminer, par le calcul, les coordonnées du milieu du segment [AC].
4. Soit I ( ; )
Déterminer les coordonnées du point D tel que I est le milieu [BD].
5. Donner la nature du quadrilatère ABCD. Justifier.
Exercice 4 : (5 points) Soit f la fonction définie sur [-3 ; 2] par f(x) =
2 2 5 3x +2x−
Compléter à l’aide de votre calculatrice, le tableau de valeurs ci-dessous (valeurs au dixième):
1. Représenter une courbe représentative de la fonction f dans le repère ci-dessous :
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 -0,5
-1 -1,5 -2 -2,5 -3 -3,5
2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1 -2 -3 -4
0 0,5 1
x y
2. a- Calculer en détaillant les calculs f
(
34
)
.b- En déduire du graphique le tableau de signe de f sur l’intervalle [-3 ; 2].
3. Résoudre algébriquement f(x) = -3.
Vérifier graphiquement en laissant apparents les traits de construction.
x -3 -2,5 -2 -1,5 -0,5 0 1,5 2
f(x)
CORRIGE DS 02
EXERCICE 1 : Pour les questions 1 à 6, cocher la bonne réponse.
Soit f une fonction définie sur l’intervalle [- 5 ; 5 ] dont le tableau de variation est le suivant :
x -5 -1 3 5
Variation de f
2 3
-2 1
1. Si on note Cf la courbe représentative de la fonction f dans un repère, alors Cf coupe l’axe des abscisses :
En un point En deux points En trois points
2. L’image de 0 est Egale à 0
Négative Inférieure à 2
3. Comparer f(o) et f(2) f(0) < f(2)
f(0) >f(2)
on ne peut pas conclure.
4. Si -1 ≤ x ≤ 5 alors 2 ≤ f(x) ≤3
1 ≤ f(x) ≤ 3
5. L’équation f(x) = 2 a Une solution
Deux solutions
On ne peut pas conclure
6. La fonction f admet Un maximum pour x= -1
Un minimum pour x = -5 Un maximum pour x = 3
EXERCICE 2 : Partie I :
1) On lit graphiquement, que l’image de 2 par la fonction f est 6. (point A sur le graphique) On lit graphiquement que f(8)=0
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
0 1
1
x y
A
2) On trace la droite d’équation d : y = 6 et on lit les abscisses des points de la courbe représentative de la fonction f situés sous la droite d : x ∈ [0 ;2[∪]6 ; 8].
3) Graphiquement, on lit que les antécédents de 3,5 par la fonction f sont 1 et 7. (voir pointillés) 4) Tableau de variation :
x 0 4 8
Variation de la fonction f
8
0 0
5) Graphiquement, on peut lire que toutes les images de x sur l’intervalle [0 ;8] sont inférieures à 8 = f(4) donc par définition si pour tout réel x de l’intervalle f(x) ≤ f(4) alors la fonction f admet un maximum égal à 8 en x = 4.
Elle est par cnoséquent majorée.
Partie II :
1) x varie entre 0 et 8.
2) PBMN étant un rectangle et M appartenant à (AB), les droites (PN) et (AB) sont parallèles.
Dans le triangle ACB,
D’une part : les points A, N, C sont alignées et les points A, P, B sont alignés.
D’autre part : (AB) et (PN) parallèles Donc on peut utiliser le théorème de Thalès :
d’où d’où PN = et donc PN = .
3) L’aire d’un rectangle est longueur x largeur
D’où l’aire de (PBMN) = PB x PN = ) = .
4) D’après la question précédente l’aire du rectangle correspond à la fonction f(x) de la première partie.
On calcule l’aire du triangle ABC : On calcule les 3/8 ième de 16 : 3
16×8= 6
On lit graphiquement pour quelles valeurs de x on a f(x) = 6 : x = 2 ou x = 6.
5) L’aire est maximale quand la fonction f admet un maximum soit pour x = 4.
EXERCICE 3 :
o
A
B
C I
D
1) AB=
De même, on calcule AC = et BC = . 2) > On a AB = BC donc le triangle ABC est isocèle en B.
> De plus AC² = 26 et AB² + BC² = 13 + 13 = 26
On a donc dans le triangle ABC la relation AC² = AB² + BC².
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
Conclusion : ABC est un triangle rectangle et isocèle en B.
3) Les coordonnées du milieu de [AC] sont :
4) D’après les calculs le milieu de [AC] est le point I.
Les coordonnées du point D(xD ; yD) sont tels que :
xI = soit d’où xD + 4 = 7 et xD = 3 et yI = soit d’où yD + 1 = 7 et yD = 6 Les coordonnées de D sont (3 ; 6).
5) I milieu des segments [AC] et [BD] sont ABCD est un parallélogramme.
On sait que ABC est rectangle, un parallélogramme avec un angle droit est un rectangle.
De plus AB = BC, un rectangle ayant deux côtés qui se suivent de la même longueur est un carré.
EXERCICE 4 :
x -3 -2.5 -2 -1.5 -0.5 0 1.5 2
f(x) 7.5 3.25 0 -2.3 -3.8 -3 5.3 10
1.
1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 -0,5
-1 -1,5 -2 -2,5 -3
2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-2
-3
-4
0 0,5 1
x y
A
B
C
D
E F
G H
2. f( ) =
Tableau de signe :
x -3 -2 3/4 2
Signe de
f(x) + - +
3.
