DS 02

2ndes 1 ;2 ;3 ;4 ;5

DEVOIR SURVEILLE n°2

Il sera tenu compte de la rédaction et de la présentation Exercice 1: QCM (3.5 points)

Cocher la ou les bonnes réponses

1) Soit f une fonction ; l’égalité f(a) = b signifie que :

□ b a pour image a ^□ a est un antécédent de b ^□ l’image de a est b

□ a est une image de b ^□ b est un antécédent de a

2) On considère la fonction f définie par ( ) ₂⁶ f x 1

=x

+ :

a. f est définie pour les réels x : ^{≠ −1 □} ≠⁰ □ ^{quelconque □} b. Quel nombre a pour image 2 _{f(2) □} 2 □ ⁶

5 □

− 2 □ 2 □ c. l’image de 1 est ^{3 □} 5 □

(1)

f □ − 5 □ d. 3 est un antécédent de ^{−1 □ 0, 6 □}

1 □ f(3) □

3) Soit f la fonction représentée par la courbe C ci-contre.

a. f est croissante sur [ 3; 1] [1;3]− − ∪ □ ^{[1; 2] □ [ 3;1]}− □ b. Sur [-3 ;3] : f est majorée par 1 ^□ f(x) < 8 ^□

0 admet 0,5 comme antécédent ^□ f(x) ≥ -5 ^□ f(x) ≥ 0 pour x≥ 0 ^□ f n’est pas majorée ^□

c. 1 a pour image : 1□ −1□ 0□ -1 et 1^□ d. Sur ]-2 ;1[ : f(x) ≥ 0 ^□ 1 est le maximum ^□

f(x) ≤ 2 ^□ 0 est le minimum ^□ C est au dessus de l’axe des (Oy) ^□ 0≤ f(x) ≤ 2 ^□

o I J

4) Soit une fonction f, de courbe représentative C, dont le tableau de variations est le suivant.

a. 0 est un antécédent de -5 ^□ 5 ^□

b. f est minorée par −5□ −1□ 0□

c. Son maximum est atteint en −5□ 0□ pas de maximum ^□ d. La droite d’équation y = 5 : est au dessus de C ^□ coupe C ^□ est en dessous de C ^□

Exercice 2 ( 5,5 points)

Soit f une fonction définie sur [-2.5 ; 2.5] représentée par la courbe C.

Soit g la fonction affine définie sur [-2.5 ; 2.5] représentée par la droite D.

1) Déterminer les images par f de -1 ; de -1,5 ; de 0 et de 2.

2) Donner les antécédents éventuels de 0 et de 4 par f.

3) Donner le tableau de signe de f.

4) Résoudre graphiquement f(x) = 7 en expliquant la méthode.

5) Résoudre graphiquement f (x) > 2 puis 0 ≤ f(x) ≤ 4.

6) Résoudre graphiquement f(x) >

g(x) en expliquant la méthode.

7) Quel est le maximum de f sur [-2 ; 1] ?

Donner la valeur pour laquelle il est atteint.

8) Dresser le tableau des variations de f

x -5 -2 0 5

f(x

2 -1

-2

2 3 4 5 6 7 8 9 10

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

0 1

1

x y

0

-1 5

0

Exercice 3 ( 7 points)

1) a. Quel est l’ensemble des valeurs possibles pour x ? b. Prouver que

AC EF BA

BE = . En déduire une expression de la longueur AG en fonction de x.

c. Montrer que l’aire A(x) du rectangle AEFG s’écrit A(x) = 12x - 2 x² .

2) a. Compléter le tableau suivant :

x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

A(x)

b. Tracer la courbe représentative de la fonction A dans un repère (O,I,J) avec OI = 2cm et OJ= 1 cm.

3) Par lecture graphique répondre aux questions suivantes :

a. Quelles sont les valeurs de x pour lesquelles l’aire du rectangle vaut 10 cm².

b. Déduire de la question 1) la valeur de x pour laquelle le rectangle AEFG est un carré.

c. Indiquer à l’aide du graphique, l’autre valeur de x pour laquelle le rectangle a pour aire celle de ce carré.

d. Quelle est l’aire maximale du rectangle AEFG ? Quelle est la valeur de x correspondante ? Où se trouve alors le point E sur le segment [AB] ?

4) a. Montrer que A(x) = 18 - 2 (x-3)².

b. Calculer A(3) et montrer que ,pour toutes les valeurs de x possibles, A(x) ≤ A(3).

c. En déduire l’aire maximale et la valeur de x pour laquelle il est atteint.

Exercice 4 ( 2 points)

1) Comparer 5 3 et

6

4 ; puis 6 11 et

7

12 sans utiliser de valeur approchée.

2) On veut maintenant comparer b a et

1 1 + + b

a où a et b sont des entiers naturels non nuls et

quelconques.

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB= 6cm et AC= 12cm.

F est un point du segment [BC]

On considère les points E et G respectivement

sur les segments [AB] et [AC] tels que AEFG soit un rectangle.

On pose BE= x.

Exercice 5 ( 2 points)

Résoudre les inéquations suivantes : a) 3(x +2) ≥

2

−1

x b) 2x - 2 +3

x < 3x - 2

Bonus

Soient F1 _, F_{2 et} F₃ trois forces représentées par des vecteurs et s’appliquant au point O.

Construire une force supplémentaire F₄ s’exerçant en O de façon que le point O reste immobile, c’est-à-dire telle que la somme des forces F₁ + F₂ + F₃+F₄ soit le vecteur nul.

F2

F1

F3 O

Corrigé du DS 02

Exercice 1: QCM (3.5 points)

1) Soit f une fonction ; l’égalité f(a) = b signifie que :

□ b a pour image a ^□ a est un antécédent de b ^□ l’image de a est b

□ a est une image de b ^□ b est un antécédent de a 2) On considère la fonction f définie par ( ) ₂⁶

f x 1

= x

+ :

a. f est non définie lorsque x²+1=0, ce qui n’arrive jamais puisque pour tout x, x²+1>0.

f est définie pour les réels x : quelconque □

b. Pour trouver quel(s) nombres a pour image 2, on résout l’équation

( )

( ) 2 6 2 6 2 ² 1 ² 2

f x ² 1 x x

= ⇔ x = ⇔ = + ⇔ =

+ : − 2 □ 2 □

c. L’image de 1 est donnée par (1) ⁶ 3 f =1² 1=

+ : 3 □ f(1) □

d. 3 est un antécédent de son image cad de (3) ⁶ 0.6 f =3² 1=

+ : 0, 6 □ f(3) □

3) Soit f la fonction représentée par la courbe C ci-contre.

a. La fonction f est croissante sur [1; 2] □ : attention, la première réponse n’est pas valable car [ 3; 1] [1;3]− − ∪ □ n’est pas un intervalle et que la monotonie n’est définie que sur un intervalle.

b. Sur [-3 ;3], f(x) < 8 ^□ puisque 5 est le maximum de f, f(x) ≥ ^{-5 □} puisque f est minorée par -4 et on lit que f(x) ≥ 0 pour x≥ 0 ^□.

c. 1 a pour image f(1) = 0□ puisque le point A(1 ;0) est sur la courbe.

d. Toutes les propositions étaient bonnes !

4) Soit une fonction f, de courbe représentative C, dont le tableau de variations est le suivant.

a. 0 est un antécédent de 5, puisque f(0) = 5.

b. f est minorée par son minimum -1 donc aussi par -5.

c. Son maximum, 5, est atteint en 0.

d. La droite d’équation y = 5 coupe donc C au point d’abscisse 0, mais comme 5 est le maximum de f, cette droite est toujours au dessus de C.

Exercice 2 ( 5,5 points)

4) Pour résoudre graphiquement l’équation f(x) = 7, on trace la droite horizontale d’équation y =4, on lit les abscisses des points d’intersection de cette droite et de la courbe C : on a f(x) = 7 pour x=2.25.

5) Graphiquement f (x) > 2 pour x∈ −] 1.75; 0[ ]1.75; 2.5]∪ et 0 ≤ ^f(x) ≤ ^{4 pour x}∈ −^{[ 2; 2]}.

6) Pour résoudre graphiquement l’inéquation f(x) > g(x), on lit l’abscisse des points de la courbe C situés au dessus de la courbe D : on obtient x∈ −] 2; 0[ ]2; 2.5]∪ .

7) Le maximum de f sur [-2 ; 1] est 4 : il est atteint en -1.

8) Le tableau des variations de f est

Exercice 3 ( 7 points)

1a. Vu que BE = x et que E est un point du segment [AB], E est entre A et B donc

[ ; ]

x∈ AA AB cad x∈[0; 6].

1b. Comme AEFG est un rectangle, (EF)//(AC) donc dans le triangle ABC, on est dans une configuration de Thalès.

On a donc

AC EF BA

BE = ^cad 12 2

6 12 6

x EF x

EF EF x

= ⇔ = ⇔ = .

Comme AEFG est un rectangle, AG=EF=2x.

1c. L’aire du rectangle AEFG est donnée par ^AE×AG=2x

(

)

2a. A l’aide de la calculette, on obtient :

X 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

A(x) 0 5.5 10 13.5 16 17.5 18 17.5 16 13.5 10 5.5 0 x -2.5 -2 1 2.5

f(x) - 0 + 0 +

x -2.5 -1 1 2.5 f

(x) -6.5 ր

4 ց

0 ր

10

ABC est un triangle rectangle en A tel que AB= 6cm et AC= 12cm.

F est un point du segment [BC]

On considère les points E et G respectivement

sur les segments [AB] et [AC] tels que AEFG soit un rectangle.

On pose BE= x donc AE = 6-x.

2b. A l’aide du tableau de valeur précédent et de la calculette, on en déduit l’allure de la courbe représentant la fonction A.

3a. Les valeurs de x pour lesquelles l’aire du rectangle vaut 10 cm² sont x = 1 ou x = 5.

3b. AEFG est un carré lorsque AE = EF cad quand 6 - x = 2x soit pour x = 2.

2 3 4 5

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

0 1

1

x y

3d. Graphiquement, l’aire maximale est de 18 cm², aire atteinte pour x = 3 cm, cad lorsque E est au milieu du segment [AB].

4a. On a 18 - 2 (x-3)² = 18 – 2(x²-6x+9) = 18 – 2x² +12x -18 = -2x² + 12x = A(x).

4b. On a alors A(3) = 18 - 2 (3-3)² = 18.

Par ailleurs, un carré est toujours positif donc (x-3)² ≥0 pour tout x.

Par conséquent : -2(x-3)² _≤ 0 pour tout x et donc 18-2(x-3)² _≤ 18 pour tout x.

4c. On a donc prouvé que A est majorée par 18, que 18 est atteint en 3 : c’est donc la valeur maximale de A.

Exercice 4 ( 2 points)

1. On a ^{3 18}

5=30 et ^{4 20}

6=30. Comme 18<20, on a^{3 4} 5<6. De même, ^{11 77}

6 =42 et ^{12 72}

7 = 42donc ^{11 12} 6 > 7 2. On veut maintenant comparer

b a et

1 1 + + b

a où a et b sont des entiers naturels (donc positifs) non nuls et quelconques.

a. Pour comparer deux nombres, on peut étudier le signe de leur différence.

On mettra donc ces nombres au même dénominateur.

b. On a

( ) ( )

( ) ( )

1 1

1

1 1 1

a b b a

a a a b

b b b b b b

+ − +

+ −

− = =

+ + + : comme b est un entier positif, b(b+1) > 0, 1

1 a a b b

− +

+ a le signe de a-b.

Ainsi : Si a = b : ¹ 1 a a b b

= + + . Si a < b : ¹ 0

1 a a b b

− + <

+ donc ¹

1 a a b b

< + + . Si a > b : ¹ 0

1 a a b b

− + >

+ donc ¹

1 a a b b

> + + .

Exercice 5 (2 points)

Résoudre les inéquations suivantes : a. 3(x +2) ≥

2

−1

x ^⇔6

(

)

b. 2x - 2 +3

x < 3x - 2 ^{⇔4x− + <}

(

)

Bonus (1.5 points)

Soient F₁ , F₂ et F₃ trois forces représentées par des vecteurs et s’appliquant au point O.

Construire une force supplémentaire F₄ s’exerçant en O de façon que le point O reste immobile, c’est-à-dire telle que la somme des forces F₁ + F₂ + F₃+F₄ soit le vecteur nul.

Désolé pour les flèches sur les vecteurs…

F3 F1

F2

F1+F3 F1+F2+F3 F4