Chapitre I
Géométrie plane Plane geometry
Définition 1 Concept de repère du plan
Soient O, I, J trois points du plan distincts et non alignés. Ces trois points définissent deux directions, les droites (OI) et (OJ), et deux unités, les distances OI et OJ. Le triplet(O;I, J) constitue alors unrepère cartésiendu plan.
• Le pointO est l’originedu repère.
• La droite(OI)est l’axe des abscisses.
• La droite(OJ)est l’axe des ordonnées.
Cartesian coordinate system
Aartesianoordinatesystem ismadeofthreedistintandnonollinearpoints,(O;I, J).
The point O is the origin, the line(OI)is the x-axis and the line(OJ) isthe y-axis.
Définition 2 Repères orthogonaux et orthonormaux
Si les droites(OI)et(OJ)sont perpendiculaires, on dit que le repère estorthogonal.
Si le repère est orthogonal et si de plusOI=OJ, alors on dit qu’il estorthonormal.
Illustration Les trois types de repères
O
I
b
J b
O I
b
J b
O I
b
J b
Repère quelonque Repère orthogonal Repère orthonormé
Considéronsunrepèrequelonque(O;I, J)
et un point M dans e repère. Soit H le
point d'intersetion de la droite (OI) ave
la parallèleà(OJ) passant par M, etK le
pointd'intersetion de la droite(OJ)ave
la parallèleà (OI)passant par M.
Illustration Coordonnées
bM
b
H
bK
b
I
bJ
b
O
Chapitre 1 Planegeometry
Définition 3 Abscisse et ordonnée On notex, et on appelleabscisse deM dans le repère la distance entre le point O et le point H, avec un signe positif si I etH sont du même côté deO, et né- gatif sinon. De même, l’ordonnée deM dans le repère, notée y, est la distance entre le pointO et le point K, avec un signe positif siJ etKsont du même côté deOet négatif sinon.
Illustration Les 4 cadrans
b
I
bJ
b
O
x>0 y>0
x>0 y60 x60
y60 x60 y>0
Définition 4 Coordonnées d’un point
Le couple (x;y) défini ci-dessus constitue les coordonnées de M dans le repère (O;I, J). Il définit de manière unique la position du pointM dans le plan.
Coordinates
The oordinates (x, y) of apoint are made of a oupleof numbers, the absissa and the
ordinate. They dene uniquely the position of the pointonthe plane.
Proposition 1 Points confondus et coordonnées
Deux points du plan sont confondus si et seulement si ils ont les mêmes coordonnées, quel que soit le repère utilisé.
Dans la suite, ononsidère deux points du plan A et B et leurs oordonnées respetives (xA;yA) et(xB;yB) dans un repère du plan.
Proposition 2 Coordonnées du milieu d’un segment Les coordonnées du milieu du segment[AB]sont
xA+xB
2 ;yA+yB 2
.
Midpoint
The oordinates of the midpoint of asegmentAB are
xA+xB
2 ;yA+yB 2
.
Remarque: Lemilieu dusegment [M N] esten quelque sortelamoyennedes deux points.
Ses oordonnées sontles moyennes des oordonnées des extrémités du segment.
Proposition 3 Distance dans un repère orthonormal
Si le repère est orthnormé, alors la distanceABest donnée par la formule : AB=p
(xB−xA)2+ (yB−yA)2.
Démonstration. Onsupposepour simplier
la démonstration que xB > xA > 0 et yB >
yA>0.ConsidéronslepointCdeoordonnées (xA;yB).Le triangle ABC est alors retangle
en C,etil estlairqueles tés[AC]et[BC]
vérient AC = xB −xA et BC = yB −yA.
Or d'aprèsle théorème de Pythagore, on sait
que AB2 = AC2 +BC2. On en déduit que AB2 = (xB − xA)2 + (yB − yA)2 et don AB=p
(xB−xA)2+ (yB−yA)2.
Illustration Distance
b B
b
A
bC
b
O xA xB
yA yB
Distance in an orthonormal coordinate system
The distane AB is equaltop
(xB−xA)2+ (yB−yA)2.
