Introduction 1

Chapitre 1

Introduction

Les syst`emes de contrˆole sont utilis´es partout dans la vie courante : dans les automo- biles, les fours, la robotique, l’a´erospatiale, avions, etc...

Le contrˆole de syst`emes est un partie importante des proc´ed´es industriels et manufac- turiers : pression, vitesse, temp´erature, humidit´e, viscosit´e, etc...

L’´evolution de ce domaine permet d’atteindre des performances de plus en plus opti- males et augmente la pr´ecision du contrˆole de ces syst`emes.

1.1 D ´ efinition

Un syst`eme de contrˆole est compos´e d’un ensemble de sous-syst`emes et proc´ed´es as- sembl´es pour contrˆoler la sortie de proc´ed´es. Par exemple, un syst`eme simple est un ther- mom`etre qui contrˆole la temp´erature d’une pi`ece.

Avantages

Les syst`emes de contrˆole permettent d’atteindre des pr´ecisions qui seraient autrement impossible. Ils permettent aussi de faire des op´erations `a distance. On peut aussi transfor- mer la forme d’une entr´ee (ex : un thermom`etre a comme entr´ee une position, et comme sortie la chaleur). Ils sont aussi utilis´es pour compenser lorsqu’un syst`eme est soumis `a des perturbations.

1

Historique

Parmi les premiers `a utiliser du contrˆole, il y a les anciens Grecs. On note aussi ici certains travaux importants :

• Watt : 18e si`ecle, r´eglage de la vitesse d’une locomotive

• Minorsky : 1922, Stabilit´e selon les ´equations diff´erentielles

• Nyquist : 1932, Stabilit´e dans le domaine fr´equentiel

• Huzen : 1934, Servo-m´ecanismes

• 1940 – 1950 : R´eponse en fr´equence

• 1960 : Variables d’´etat

Types de syst`emes

Comme mentionn´e plus haut, un syst`eme de contrˆole produit une sortie ou r´eponse pour une entr´ee (ou stimulus) donn´ee.

Deux facteurs font que la sortie est diff´erente de l’entr´ee. On prend l’exemple de la figure1.1:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

erreur

R´egime transitoire

Temps

Amplitude

Sortie Entr´ee

Figure1.1 – Exemple de r´eponse d’un syst`eme

La sortie ne change pas instantan´ement ; c’est le temps de r´eponse du syst`eme. Pendant ce temps de r´eponse, le syst`eme a un comportement bien particulier : la r´eponse transi- toire. La pr´ecision de la r´eponse d´etermine l’erreur en r´egime permanent. Dans certains cas, on peut tol´erer une erreur en r´egime permanent non-nulle, alors que dans d’autre cas, elle doit ˆetre nulle.

Gabriel Cormier 2 GELE5313

Il y a deux types de syst`eme : en boucle ouverte, et en boucle ferm´ee. En boucle ouverte, le syst`eme est de la forme donn´e `a la figure1.2.

Contrˆoleur Proc´ed´e

Perturbation

Entr´ee + + Sortie

Figure1.2 – Syst`eme en boucle ouverte

Un syst`eme en boucle ouverte ne peut pas corriger pour des perturbations. Par contre, en boucle ferm´ee, il y a du feedback entre la sortie et l’entr´ee, comme `a la figure1.3.

Contrˆoleur Proc´ed´e

Contrˆole Perturbation

Entr´ee + + + Sortie

−

Figure1.3 – Syst`eme `a boucle ferm´ee

En boucle ferm´ee, le syst`eme permet de corriger pour des perturbations.

1.2 Analyse et objectifs de design

Les syst`emes de contrˆole sont dynamiques : ils r´epondent `a une entr´ee en ayant une r´eponse transitoire puis en se stabilisant `a une r´eponse en r´egime permanent. Il y a trois param`etres importants `a consid´erer lors du design de syst`emes de contrˆole : la r´eponse transitoire, r´eduire l’erreur en r´egime permanent, et la stabilit´e.

1.2.1 R ´ eponse transitoire

La r´eponse transitoire est importante. Dans certains cas, il est important d’atteindre le r´egime permanent le plus rapidement possible, tandis que dans d’autres cas on ne peut pas osciller.

Comme exemple : un ascenseur. Lorsqu’on monte d’´etage et que l’ascenseur s’arrˆete, la d´ec´el´eration est graduelle. L’ascenseur n’oscille pas non plus autour de la position finale avant de s’arrˆeter.

1.2.2 R ´ eponse en r ´ egime permanent

L’erreur en r´egime permanent est un param`etre important aussi. Un deuxi`eme objectif de design sera de minimiser l’erreur en r´egime permanent.

Exemple : Lorsqu’un ascenseur s’arrˆete `a un ´etage, on veut que le bas de l’ascenseur soit au mˆeme niveau que le plancher, et pas 30 cm plus haut (ou plus bas).

1.2.3 Stabilit ´ e

Un bon design des param`etres en r´egime transitoire et permanent sert `a rien si le syst`eme n’est pas stable. Pour expliquer la stabilit´e, on commence en premier par le fait que la r´eponse totale d’un syst`eme est la somme d’une r´eponse naturelle et une r´eponse forc´ee.

R´eponse totale = R´eponse naturelle + R´eponse forc´ee (1.1) La r´eponse naturelle d´epend seulement du syst`eme, et pas de l’entr´ee, tandis que la r´eponse forc´ee d´epend de l’entr´ee.

Pour qu’un syst`eme de contrˆole soit utile, la r´eponse naturelle doit (1) ´eventuellement devenir z´ero ou (2) osciller. Dans certains syst`emes, la r´eponse naturelle augmente sans arrˆet au lieu de s’att´enuer. ´Eventuellement, la r´eponse naturelle est beaucoup plus grande que la r´eponse forc´ee et le syst`eme n’est plus contrˆolable. Cette condition, l’instabilit´e, peut d´etruire la composantes physiques du syst`eme.

On veut donc faire le design d’un syst`eme stable.

Autres consid´erations

Il y a d’autre facteurs `a consid´erer lors du design de syst`eme de contrˆole :

• Dimensionnement : la taille des composants aura un impact sur le design.

• Co ˆut : La pr´ecision requise du syst`eme de contrˆole affectera beaucoup les co ˆuts.

Mˆeme si un syst`eme donne un contrˆole excellent, des co ˆut exhorbitants peuvent

d´erailler le projet.

• Robustesse : Le syst`eme de contrˆole devrait ˆetre capable de fonctionner mˆeme si les param`etres du syst`eme changent. Les changements entre les param`etres et la valeur de sortie ne sont pas n´ecessairement lin´eaires, ce qui rend l’impact d’une va- riation des param`etres difficile `a pr´evoir. Un syst`eme robuste sera mieux en mesure de fonctionner face `a ces variations.

Par contre, dans le cadre de ce cours, on se limitera au trois param`etres principaux pr´esent´es.

1.3 Processus de design : M ´ ethodologie

Dans l’´etude des syst`emes de contrˆole, on doit ˆetre en de mesure de suivre une m´ethodologie qui permet d’arriver `a un objectif le plus rapidement possible. Le flot de design est montr´e

`a la figure1.4.

Mod´elisation Simplification Analyse Contrˆole

Figure1.4 – M´ethodologie de design

1. Mod´elisation du syst`eme : Dans tous les cas, afin d’´etudier un syst`eme, on doit ˆetre en mesure de mod´eliser ce syst`eme par une s´erie d’´equation, et ensuite y for- muler une fonction de transfert pour chacun des ´el´ements du syst`eme. Une bonne connaissance des outils math´ematiques est n´ecessaire pour transformer les fonctions de transfert en formes utiles. Un syst`eme de contrˆole ne fonctionnera pas correcte- ment si le mod`ele utilis´e est faux. Il faut aussi faire un choix appropri´e de la techno- logie : syst`eme analogique vs num´erique, m´ethode de contrˆole, etc.[Ch.2, Ch.10]

2. R´eduction et caract´erisation: La prochaine ´etape consiste `a r´eduire l’ensemble des sous-syst`emes `a un syst`eme ´equivalent. L’alg`ebre des blocs et les ´equations relatives aux syst`emes de premier et second ordre sont utilis´ees ici pour simplifier les calculs.

[Ch.3, Ch.4, Ch.8]

3. Analyse du design: On analyse ensuite le syst`eme par rapport `a certains crit`eres, notamment la stabilit´e, la r´eponse transitoire, et l’erreur statique. [Ch.5, Ch.6]

4. Contr ˆole: Il s’agit de concevoir les contrˆoleurs pour obtenir la caract´eristique vou- lue du syst`eme. Plusieurs m´ethodes sont possible, comme l’analyse par diagramme de Bode, pour les contrˆoleurs `a avance de phase, retard de phase et avance-retard de phase, ou la technique de Ziegler-Nichols, pour les contrˆoleurs P, PI, et PID. [Ch.7 et Ch.9]

1.4 M ´ ethodes de commande

Il existe plusieurs m´ethodes pour faire le contrˆole des syst`emes. Certaines m´ethodes sont plus performantes, mais aussi plus co ˆuteuses `a impl´ementer. En ordre de complexit´e, les m´ethodes de commandes sont pr´esent´ees `a la figure1.5.

Empirique Essai-erreur Observation A/N

Classique Temps Fr´equence A/N

Retour d’´etat Commande avanc´ee A/N

Adaptative Directe Indirecte A/N

Non-lin´eaire Adaptative Non-adaptative A/N

Intelligente Logique floue R´eseau de neurones Algorithme g´en´etique A/N

Figure1.5 – M´ethodologie de commande des syst`emes

Les m´ethodes empiriques sont les pires m´ethodes `a utiliser : il y a risque de briser le syst`eme en essayant de trouver la loi de commande appropri´ee. On se limitera dans ce cours aux m´ethodes classiques analogiques.

L’asservissement n’est pas limit´e aux syst`emes m´ecaniques ; on peut aussi faire de l’as- servissement sur les syst`emes vivants. Comme exemple, les vaches : l’entr´ee est la nour- riture, et le produit est le lait. Un autre exemple est la croissance d’algues marines pour la production de bio-di´esel ; le syst`eme asservit peut modifier la quantit´e de nourriture fournie aux algues en mesurant la production de CO₂.

Dans le design, on peut parfois sauter l’´etape de simulation et passer directement `a l’implantation pour les petits syst`emes, sans danger de perte d’argent ou de vie. L’int´erˆet de la simulation se manifeste sous plusieurs formes.

1. La simulation peut ˆetre utilis´ee pour fins d’apprentissage et d’enseignement

2. L’exp´erimentation du syst`eme r´eel peut ˆetre tr`es co ˆuteuse, dangereuse, demander beaucoup de temps, impossible, ou moralement inacceptable (ex : m´edical, nucl´eaire).

3. Permet d’´etudier la sensibilit´e du syst`eme aux changements de param`etres, de la structure du syst`eme ou de la commande.

4. La r´ecolte de donn´ees sur le comportement du syst`eme peut ˆetre plus facile.

1.5 Exemple : R ´ egulateur de vitesse automobile

Pour illustrer les avantages des syst`emes de contrˆole, on prend l’exemple des r´egulateurs de vitesse dans les automobiles (cruise control). Le syst`eme de contrˆole simplifi´e est montr´e

`a la figure1.6.

? ? Moteur Automobile

Tachym`etre Acc´el´erateur

Contrˆoleur Actionneur Vitesse

actuelle

Capteur

Bruit de mesure

Route (pente)

Figure1.6 – Syst`eme de r´egulation de vitesse automobile simplifi´e

Pour faire une analyse quantitative de ce syst`eme, il faut d´efinir le mod`ele du syst`eme.

Le mod`ele n’est autre que la fonction math´ematique qui relie les diff´erentes variables du syst`eme. Pour simplifier l’analyse, on suppose que le syst`eme est lin´eaire et repr´esent´e par la figure1.7.

R´egulateur 10

0.5

r Vitesse de r´ef´erence

+

u y: vitesse (km/h)

w: pente de la route

−

Figure1.7 – Syst`eme de r´egulation de vitesse automobile en boucle ouverte Si le r´egulateur est un simple gain de 1/10, la sortie est donn´ee par :

y= 10(u−0.5w) = 10

r

10−0.5w

(1.2)

=r−5w (1.3)

On peut calculer la sortie du syst`eme pour diff´erentes entr´ees, comme au tableau1.1.

On voit bien que l’erreur est nulle lorsque la pente est nulle, mais aussitˆot que la pente augmente, une erreur apparait. L’erreur augmente plus la pente augmente.

Tableau 1.1 – Erreurs pour diff´erentes entr´ees pour le syst`eme de r´egulation de vitesse Pentew R´ef´erencer(km/h) Sortiey(km/h) Erreur Erreur (%)

0 100 100 0 0

1 (1%) 100 95 5 5%

2 (2%) 100 90 10 10%

Le r´esultat d´epend du gain 1/10 du r´egulateur. Ce gain est ´egal `a l’inverse du gain du syst`eme. En pratique, la connaissance du gain exact du syst`eme peut ˆetre difficile `a d´eterminer. De plus, le gain peut ˆetre sujet `a des changements. Donc s’il y a erreur dans la d´etermination du gainK, il y aura aussi erreur `a la sortie.

Pour r´eduire cette erreur, on ajoute du feedback au syst`eme. Le syst`eme en boucle ferm´ee est montr´e `a la figure1.8

100 10

0.5

r + u + y

w

−

−

Figure1.8 – Syst`eme de r´egulation de vitesse automobile en boucle ferm´ee

La sortie est calcul´ee selon :

y= 10(u−0.5w) (1.4)

u= 100(r−y) (1.5)

En combinant ces ´equations, on obtient :

y= 1000r−1000y−5w (1.6)

ce qui donne :

y= 0.999r−0.005w (1.7)

Tableau 1.2 – Erreurs pour diff´erentes entr´ees pour le syst`eme de r´egulation de vitesse en boucle ferm´ee

Pentew R´ef´erencer (km/h) Sortiey(km/h) Erreur Erreur (%)

0 100 99.900 0.100 0.10%

1 (1%) 100 99.985 0.105 0.10%

2 (2%) 100 99.890 0.110 0.11%

10 (10%) 100 99.400 0.600 0.60%

Si on applique maintenant diff´erentes pentes au syst`eme, avec la mˆeme entr´ee de r´ef´erence, on obtient les r´esultats du tableau1.2.

On voit bien, dans le tableau 1.2, que l’erreur augmente de fac¸on beaucoup moins significative avec le syst`eme en boucle ferm´ee. L’erreur est beaucoup plus petite en boucle ferm´ee pour la mˆeme vitesse de r´ef´erence et la mˆeme pente. Un gain plus ´elev´e r´eduira cette erreur encore plus. Cependant, il y a une erreur avec une pente nulle : on a am´elior´e l’erreur de fac¸on globale, mais au d´etriment d’un peu de pr´ecision.

Chapitre 2

Mod ´elisation

Le but de ce chapitre est d’apprendre `a ´ecrire des fonctions de transfert pour diff´erents types de syst`emes : ´electriques, m´ecaniques et ´electrom´ecaniques. Pour appliquer du contrˆole `a un syst`eme, on doit ˆetre en mesure de d´ecrire son comportement de fac¸on math´ematique.

Pour mod´eliser ces syst`emes, on se sert de la transform´ee de Laplace. Ceci permet de d´ecrire le comportement des syst`emes et les analyser de fac¸on assez simple.

On verra aussi comment lin´eariser des ´equations.

2.1 Transform ´ ee de Laplace

On commence par une petite r´evision de la transform´ee de Laplace. La transform´ee d’une fonctionf(t) est :

L[f(t)] =F(s) = Z ^∞

0⁻

f(t)e^−stdt (2.1)

o `us=σ+jω.

La transform´ee inverse existe aussi, L⁻¹[F(s)] = 1

j2π

Z _σ+jω

σ−jω

F(s)e^stds=f(t)u(t) (2.2) o `u

u(t) =











1 t >0

0 t <0 (2.3)

1

Le tableau2.1montre quelques fonctions les plus utilis´ees. Une liste plus compl`ete de transform´ees est disponible `a la fin du chapitre.

Tableau 2.1 – Transform´ees de Laplace communes Transform´ee f(t) F(s)

1 δ(t) 1

2 u(t) 1

s

3 tu(t) 1

s²

4 tⁿu(t) n!

sⁿ⁺¹

5 e^−atu(t) 1

s+a

6 sin(ωt)u(t) ω

s²+ω²

7 cos(ωt)u(t) s

s²+ω² Exemple1

Calculer la transform´ee de Laplace dee^−atu(t).

L{e^−atu(t)}= Z ∞

0−

e^−ate^−stdt= Z ∞

0−

e^−(s+a)tdt

= −1

s+ae^−(s+a)t









∞

0

= −1

s+a(0−1)

= 1

s+a

Propri´et´es

La transform´ee de Laplace a plusieurs propri´et´es int´eressantes qui rendent le calcul de fonctions complexes plus simple. On note entre autre la lin´earit´e (pr.2), d´eriv´ee (pr.7-9) et les th´eor`emes de valeur finales et initiales (pr.11,12). Le tableau2.2montre ces propri´et´es.

Gabriel Cormier 2 GELE5313

Tableau 2.2 – Propri´et´es de la transform´ee de Laplace

Propri´et´e Th´eor`eme Nom

1 L[f(t)] =F(s) =R∞

0−f(t)e^−stdt D´efinition

2 L[kf(t)] =kF(s) Lin´earit´e

3 L[f₁(t) +f₂(t)] =F₁(s) +F₂(s) Lin´earit´e 4 L[e^−atf(t)] =F(s+a) Translation 5 L[f(t−τ)] =e^−sτF(s) Retard temporel

6 L[f(at)] = 1

aF s a

!

Proportionnalit´e

7 L

"

df dt

#

=sF(s)−f(0⁻) D´eriv´ee

8 L

"

d²f dt²

#

=s²F(s)−sf(0⁻)−f⁰(0⁻) D´eriv´ee

9 L

"

dⁿf dtⁿ

#

=sⁿF(s)− Pⁿ

k=1

s^n−kf^k−1(0⁻) D´eriv´ee

10 L[R_t

0⁻f(τ)dτ] =F(s)

s Int´egration

11 f(∞) = lim

s→0sF(s) Valeur finale

12 f(0⁺) = lim

s→∞sF(s) Valeur initiale Exemple2

Calculer la transform´ee inverse de :

F(s) = 1 (s+ 3)²

Selon la propri´et´e 4,

L[e^−atf(t)] =F(s+a) et la transform´ee 3,

L⁻¹ 1

s²

=tu(t) Donc, la transform´ee inverse est

f(t) =e^−3ttu(t)

2.1.1 Expansion en fractions partielles

Pour des fonctions de transfert complexes, il peut ˆetre difficile de trouver la trans- form´ee inverse. On se sert donc de l’expansion en fractions partielles. On utilisera des exemples pour d´emontrer les principes.

Soit une fonction

F(s) = s³+ 2s²+ 6s+ 7 s²+s+ 5

Il n’existe pas de transform´ee inverse directe `a cette fonction. Dans ce cas, il faut faire la division, si l’ordre du num´erateur est plus grand que l’ordre du d´enominateur.

s+ 1 s²+s+ 5

s³+ 2s²+ 6s+ 7

−s³ −s²−5s s² +s+ 7

−s² −s−5 2

On obtient donc :

s³+ 2s²+ 6s+ 7

s²+s+ 5 =s+ 1 + 2 s²+s+ 5 La transform´ee inverse est :

f(t) =dδ(t)

dt +δ(t) +L⁻¹

2

s²+s+ 5

Il reste cependant le troisi`eme terme `a d´eterminer. On utilisera l’expansion en fractions partielles pour trouver

L⁻¹

2

s²+s+ 5

Il faut factoriser le d´enominateur en une somme de termes et ensuite trouver la trans- form´ee inverse de chaque terme. Il y a trois diff´erentes fac¸on de faire, selon la valeur des racines : r´eelles et distinctes, r´eelles et r´ep´et´ees, ou complexes.

1. Racines r´eelles et distinctes.

Exemple :

F(s) = 2 (s+ 1)(s+ 2)

On peut ´ecrire :

F(s) = 2

(s+ 1)(s+ 2) = K₁

(s+ 1)+ K₂ (s+ 2) Pour isolerK₁, on multiplie chaque cˆot´e par (s+ 1). On obtient :

2

(s+ 2)=K₁+(s+ 1)K₂ (s+ 2) Si on prends=−1,

K₁= 2 (s+ 2)







_s=−1

= 2

Pour trouverK2, on fait le mˆeme processus, sauf qu’on multiplie par (s+ 2) cette fois.

K₂= 2 (s+ 1)







_s=−2

=−2 Donc,

F(s) = 2

s+ 1+ −2 s+ 2 qui donne la transform´ee inverse suivante :

f(t) = (2e^−t−2e^−2t)u(t)

Note : La fonction u(t) doit ˆetre appliqu´ee `a toute transform´ee inverse. Cependant, pour all´eger le texte, on n’´ecrira plus leu(t).

De fac¸on g´en´erale, pour une fonction de transfert F(s) =N(s)

D(s) = N(s)

(s+p₁)(s+p₂). . .(s+p_i). . .(s+p_n) (2.4) On peut s´eparer en une somme de termes tel que

F(s) = K₁

s+p₁ + K₂

s+p₂ +· · ·+ K_i

s+p_i +· · ·+ K_n

s+p_n (2.5)

La constanteK_i peut ˆetre d´etermin´ee selon la relation suivante : K_i= (s+p_i)N(s)

(s+p₁)(s+p₂). . .(s+p_i). . .(s+p_n)









_s=−p

i

(2.6)

2. Racines au d´enominateur r´eelles et r´ep´et´ees.

Soit

F(s) = 2 (s+ 1)(s+ 2)² On peut trouver les termes selon

F(s) = 2

(s+ 1)(s+ 2)² = K₁

s+ 1+ K₂

(s+ 2)² + K₃ s+ 2

La constanteK₁peut ˆetre trouv´ee en utilisant la premi`ere m´ethode montr´ee plus haut (ce qui donneK₁= 2. Pour trouverK₂, on multiplie par (s+ 2)² :

2

s+ 1= K₁

s+ 1(s+ 2)²+K2+K3(s+ 2) (*) On ´evalue `as=−2,

K2= 2 s+ 1









_s=−2

=−2 PourK₃, on d´erive l’´equation*par rapport `as,

−2

(s+ 1)² = (s+ 2)s

(s+ 1)²K1+K3

De mˆeme, sis=−2,

K₃= −2 (s+ 1)²









_s=−2

=−2

De fac¸on g´en´erale, pour une fonction du type : F(s) = N(s)

D(s) = N(s)

(s+p₁)^r(s+p₂). . .(s+p_n) (2.7) On divise la fonction de la mani`ere suivante,

F(s) = K₁

(s+p₁)^r + K₂

(s+p₁)^r−1 +· · ·+ K_r

(s+p₁)+ K_r+1

(s+p₂)^r +· · ·+ K_n

(s+p_n) (2.8) On peut trouver les coefficients des racines r´ep´et´ees

K_i = 1 (i−1)!

dⁱ⁻¹F(s) dsⁱ⁻¹









_s=−p

1

(2.9) o `ui = 1,2, . . . r. Pour les autre coefficients, la technique 1 fonctionne.

3. Racines complexes au d´enominateur.

Ici encore, on d´emontre `a l’aide d’un exemple. Soit F(s) = 3

s(s²+ 2s+ 5) On peut ´ecrire

F(s) =K₁

s + K₂s+K₃ s²+ 2s+ 5

Le coefficient K₁ est obtenu de la fac¸on habituelle ; K₁ = 0.6. PourK₂ etK₃, on multiplie les deux cˆot´es par le d´enominateur,s(s²+ 2s+ 5). On obtient :

3 =K₁(s²+ 2s+ 5) + (K₂s+K₃)s

= (K₁+K₂)s²+ (2K₁+K₃)s+ 5K₁ On a donc trois ´equations,

K₁+K₂= 0 2K₁+K₃= 0 5K1= 3 d’o `u on trouve queK₂=−0.6 etK₃=−1.2.

La fonction de transfert devient

F(s) = 0.61

s −0.6 s+ 2 s²+ 2s+ 5 La transform´ee inverse est

f(t) = 0.6−0.6e^−t(cos 2t+ 0.5 sin 2t)

= 0.6−0.671e^−tcos(2t−26.57^◦) La d´emonstration de cette derni`ere ´equation est donn´ee en annexe.

On peut aussi faire ce type de probl`eme avec des nombres complexes : F(s) = 3

s(s²+ 2s+ 5) = 3

s(s+ 1 +j2)(s+ 1−j2)

=K₁

s + K₂

s+ 1 +j2+ K₃ s+ 1−j2

On utilise la premi`ere technique pour r´esoudre,K₁= 0.6. Les autre coefficients sont K₂= 3

s(s+ 1−j2)









_s=−1−j2

=−0.15(2 +j)

EtK₃ est le conjugu´e deK₂,K₃=−0.15(2−j). La fonction devient F(s) = 0.61

s +−0.15(2 +j)

s+ 1 +j2 +−0.15(2−j) s+ 1−j2 Dans le domaine du temps, la fonction est

f(t) = 0.6−0.15h

(2 +j)e^−(1+j2)t+ (2−j)e^−(1−j2)ti

= 0.6−0.15e^−th

(2 +j)e^−j2t+ (2−j)e^j2ti Avec la relation d’Euler,

f(t) = 0.6−0.15e^−t[(2 +j)(cos(−2t) +jsin(−2t)) + (2−j)(cos(2t) +jsin(2t))]

= 0.6−0.15e^−t[(2 +j)(cos(2t)−jsin(2t)) + (2−j)(cos(2t) +jsin(2t))]

= 0.6−0.15e^−t(4 cos 2t+ 2 sin 2t)

= 0.6−0.6e^−t(cos 2t+ 0.5 sin 2t)

= 0.6−0.671e^−tcos(2t−26.57^◦)

C’est la mˆeme solution que celle obtenue plus haut.

2.2 Fonction de transfert

Soit un syst`eme quelconque, donn´e par la figure2.1.

Syst`eme x(t)

Entr´ee

y(t) Sortie

Figure2.1 – Exemple de syst`eme La fonction de transfert d’un syst`eme est donn´ee par :

F(s) = Y(s)

X(s) (2.10)

Elle permet de relier la sortie d’un syst`eme `a son entr´ee.

Pour les expressions de mod´elisation, Y(s)

X(s)= b₀s^m+b₁s^m−1+· · ·+b_m

a₀sⁿ+a₁sⁿ⁻¹+· · ·+a_n (2.11) Habituellement,n≥m.

La fonction de transfert est une repr´esentation math´ematique d’un syst`eme. Cette fonction peut ˆetre une repr´esentation de divers syst`emes (m´ecanique, ´electrique, etc..).

On obtient la fonction de transfert d’un syst`eme `a partir des ´equations diff´erentielles qui d´ecrivent ce syst`eme, avec des conditions initiales nulles. C’est un mod`ele du syst`eme, ind´ependant du signal d’entr´ee et de l’amplitude(et donc un syst`eme lin´eaire).

On peut appliquer un signal d’entr´ee quelconque et mesurer le signal `a la sortie et ainsi d´eterminer la fonction de transfert du syst`eme. Quelle fonction facilitera la d´etermination de la fonction de transfert du syst`eme ?

Rappel :L[δ(t)] = 1

Soit un syst`eme avec une fonction de transfert f(t), ou dans le domaine fr´equentiel, F(s). Si on applique une entr´ee impulsionδ(t), la fonction de transfert devient :

L[δ(t)f(t)] = 1·F(s) =F(s) (2.12) Et donc la fonction inverse est :

L⁻¹[F(s)] =f(t) (2.13)

→La fonction de transfert d’un syst`eme est exactement la transform´ee de Laplace de la sortie si l’entr´ee est une impulsionδ(t).

2.3 Mod ´ elisation des syst ` emes

On se sert des fonctions de transfert pour mod´eliser les syst`emes ´electriques, m´eca- niques, et ´electrom´ecaniques. Les lois physiques relatives `a ces syst`emes seront utilis´ees,

`a l’aide de techniques d’analyse sp´ecialis´ees pour simplifier les calculs. On commence d’abord avec les syst`emes ´electriques.

2.3.1 Syst ` emes ´ electriques

Les ´el´ements des syst`emes ´electriques sont donn´es dans le tableau2.3.

Tableau 2.3 – ´El´ements du syst`eme ´electrique

´El´ement Tension Courant Imp´edance

R´esistanceR Ri v

R R

InductanceL Ldi dt

1 L

R vdt sL

CondensateurC 1 C

R idt Cdv dt

1 sC

Pour r´esoudre des probl`emes de circuits ´electriques, on se sert de trois lois principales : 1. Loi d’Ohm,v=Ri

2. Loi de Kirchhoff, courant : somme des courants `a un noeud est z´ero.

3. Loi de Kirchhoff, tension : somme des tensions dans une maille est z´ero.

Exemple3

Soit le circuit suivant. Calculer la fonction de transfert qui relie la tensionV_c(s) `aV(s).

+ v(t) −

L R

C +

− v_c(t)

On utilise un diviseur de tension :

V_c(s) =

1 sC sL+R+ 1

sC V(s)

La fonction de transfert est : V_c(s) V(s) =

1 sC sL+R+ 1

sC

=

1 LC s²+sR

L+ 1 LC

On peut simplifier l’analyse de circuits en utilisant la m´ethode des mailles ou des noeuds.

M´ethode des mailles Soit le circuit suivant :

+ e₁(t) −

R₁ R₃

R₄ R₅

+

− e₂(t) R₂

i₁ i₂

Les ´equations sont :

R₁i₁+R₂(i₁−i₂) +R₄i₁=e₁ R₃i₂+R₅i₂+R₂(i₂−i₁) =−e₂ qu’on peut r´e-organiser :

(R1+R2+R4)i1−R2i2 =e1

−R₂i₁+ (R₂+R₃+R₅)i₂=−e₂ De fac¸on matricielle,









R₁+R₂+R₄ −R₂

−R₂ R₂+R₃+R₅















 i₁ i₂







=







 e₁

−e₂









Si on analyse la derni`ere ´equation de plus pr`es, on remarque que l’´el´ement (1,1) de la matrice des r´esistances est la somme dans ´el´ements contenus dans la maille 1. L’´el´ement (2,2) repr´esente la somme des ´el´ement de la maille 2. Les ´el´ements (1,2) et (2,1) sont les

´el´ements communs aux mailles 1 et 2, avec un signe n´egatif.

La forme g´en´erale est :







































 ΣZ dem₁

−ΣZ communs,

m₁, m₂ · · · −ΣZ communs, m₁, m_n

... ΣZ

dem₂

. ..

ΣZ dem_n

























































 i₁ i₂ ... i_n



















=









































Σsources de la maille 1 Σsources de

la maille 2 ... Σsources de

la maillen









































(2.14)

On utilise les techniques de r´esolution matricielles pour r´esoudre le probl`eme et trou- ver la fonction de transfert voulue.

Exemple4

Soit le circuit suivant.

+ e₁(t) −

C₂ L₃ R₂

+

− e₂(t)

L₁ L₂

C₁

R₁

i₁ i₂

i₃

´Ecrire l’´equation des mailles.

Par inspection :













sL₁+_sC¹

1 +R₁ −(R₁+_sC¹

1) −sL₁

−(R₁+_sC¹

1) sL₂+_sC¹

1+R₁ −sL₂

−sL₁ −sL_{2 sC}¹

2+R₂+s(L₁+L₂+L₃)























 i₁ i₂ i₃













=











 e₁

−e₂ 0













On peut utiliser la m´ethode des noeuds pour solutionner des circuits. La technique d’analyse est la mˆeme, sauf qu’on utilise les admittances au lieu des imp´edances.







































 ΣY dem1

−ΣYcommuns, m1, m2

· · · −ΣYcommuns, m1, m_n

... ΣY

dem2

. ..

ΣY dem_n

























































 v1

v2

... v_n



















=









































Σsources du noeud 1 Σsources du

noeud 2 ... Σsources du

noeudn









































(2.15)

Exemple5

Soit le circuit suivant.

+ e₁(t) −

R₁ R₃ R₅

+ e₂(t) − v_a

R₂ i_s v_b

R₄

´Ecrire l’´equation des noeuds.

Par inspection :













 1 R₁+ 1

R₂+ 1

R₃ − 1

R₃

− 1 R₃

1 R₃+ 1

R₄+ 1 R₅

























 v_a

v_b













=













 e1

R₁ e₂ R₅+i_s















2.3.2 Syst ` emes m ´ ecaniques

Dans les syst`emes m´ecaniques, il y a deux types de mouvement : translation et rota- tion. On verra chacun de ces syst`emes s´epar´ement. Pour r´esoudre, on utilise les lois de Newton : la somme des forces sur un corps est nulle (pour les syst`emes en translation) et la somme des moments est nulle (pour les syst`emes en rotation).

Les ´el´ements du syst`eme de translation sont pr´esent´es dans le tableau2.4.

Tableau 2.4 – ´El´ements du syst`eme de translation

´El´ement Force : vitesse Force : d´eplacement Imp´edance Ressortk f(t) =kRt

0v(τ)dτ f(t) =kx(t) k

AmortissementB f(t) =Bv(t) f(t) =Bdx(t)

dt sB

MasseM f(t) =Mdv(t)

dt f(t) =Md²x(t)

dt² s²M

Exemple6

Soit le syst`eme suivant :

k

B M f

x

´Ecrire l’´equation qui relie la positionX(s) `a la force appliqu´eeF(s).

La somme des forces est nulle :f −f_M−f_B−f_k = 0. Si on substitue les imp´edances, F(s) =s²MX(s) +sBX(s) +kX(s)

Et la fonction de transfert :

X(s)

F(s) = 1 s²M+sB+k

Exemple7

k₁

B x₁

M₁

k₂

M₂ f

x₂

´Ecrire l’´equation des mailles.

Par inspection :













s²M₁+sB+k₁+k₂ −(sB+k₂)

−(sB+k₂) s²M₂+sB+k₂























 X₁

X₂













=











 0 F













Syst`eme de rotation

Les ´el´ements du syst`eme de rotation sont pr´esent´es dans le tableau2.5.

Tableau 2.5 – ´El´ements du syst`eme de rotation

´El´ement Torque :ω Torque :θ Imp´edance Ressortk T(t) =kRt

0ω(τ)dτ T(t) =kθ(t) k AmortissementD T(t) =Dω(t) T(t) =Ddθ(t)

dt sD

InertieJ T(t) =Jdω(t)

dt T(t) =Jd²θ(t)

dt² s²J

Engrenages

Les engrenages sont tr`es souvent utilis´es dans les syst`emes avec moteurs. Ils per- mettent d’´echanger de la vitesse pour un couple, ou vice-versa. Le comportement id´eal

d’engrenages est donn´e par la relation suivante : θ₂

θ₁ =r₁ r₂ =N₁

N₂ (2.16)

o `u θ est le d´eplacement angulaire, r est le rayon de l’engrenage, etN est le nombre de dents de l’engrenage.

La relation entre les couples est : T₂ T1

= θ₁ θ2

= N₂ N1

(2.17)

2.3.3 Syst ` emes ´ electrom ´ ecaniques

Les syst`emes ´electrom´ecaniques sont une combinaison des syst`emes m´ecaniques et

´electriques, o `u le couplage se fait par champ magn´etique. On parle ici principalement des moteurs.

Mod`ele de la machine `a courant continu

On utilise la machine `a courant continu comme exemple.

− +

e_a

R_a L_a

R_f

L_f

− +

v_f

− +

v_b

T_m θ_m

Figure2.2 – Mod`ele de la machine `a courant continu

En appliquant la LKV, on a les relations suivantes : La

di

dt +Rai+vb=ea (2.18)

o `u la tensionv_best la force ´electromotive, qui est donn´ee par : v_b(t) =K_bdθ_m(t)

dt ⇒V_b(s) =sK_bΘ(s) (2.19)

Le couple d´evelopp´e par le moteur est proportionnel au courant de l’armature :

T_m(s) =K_tI_a(s) (2.20)

de fac¸on g´en´erale,K_t=K_b.

Comme premi`ere ´etape, la relation entre la tension d’entr´eeE_aet l’angle de sortieΘ_m(s) est :

(R_a+sL_a)T_m(s)

K_t +sK_bΘ_m(s) =E_a(s) (2.21)

Du cˆot´e m´ecanique, le moteur poss`ede une inertieJ_m et un amortissementD_m, ce qui donne :

T_m(s) = (s²J_m+sD_m)Θ_m(s) (2.22) On peut combiner et simplifier pour obtenir :

Θ_m(s)

E_a(s) = K_t/(R_aJ_m) sh

s+_J¹

m

D_m+^K_R^tKb

a

i (2.23)

Les constantes du moteur peuvent ˆetre obtenues `a partir de la courbe de couple en fonction de la vitesse du moteur. Un exemple est montr´e `a la figure2.3, o `uT_decrepr´esente le couple de d´ecrochage, etω_scest la vitesse du moteur sans charge.

ω(rad/s) T (Nm)

T_dec

ω_sc e_a1

e_a2

Figure2.3 – Exemple de courbe couple-vitesse d’un moteur, selon la tensione_a D’apr`es la figure2.3, on peut calculer les constantes du moteur selon :

K_t

R_a =T_dec

e_a (2.24)

et

K_b= e_a

ω_sc (2.25)

2.4 Lin ´ earisation

Dans plusieurs syst`emes, le comportement de un ou plusieurs composantes n’est pas lin´eaire. Toutes les m´ethodes et techniques vues pr´ec´edemment supposent que les sys- t`emes sont lin´eaires.

Que faire alors si certains composants non-lin´eaires sont pr´esents dans le syst`eme ?

→ Pour appliquer les m´ethodes vues ici, il faudra lin´eariser le syst`eme. Lorsqu’on lin´earise un syst`eme, on le fait seulement pour une entr´ee sp´ecifique.

Soit la fonctionf(x) de la figure2.4. Le syst`eme op`ere au pointA.

x f(x)

f(x₀)

x₀ f(x₁)

x₁ A

Figure2.4 – Exemple de lin´earisation de fonction

On prend la pente au pointApour cr´eer une ligne droite. La pente estm_a. Si on fait varier (faiblement) la pointAle long de cette ligne, la diff´erence entre la valeur r´eelle et la valeur ”lin´earis´ee” sera faible.

[f(x₁)−f(x₀)]≈m_a(x₁−x₀) (2.26) ou

δf(x)≈m_aδx (2.27)

On peut ´ecrire d’une autre fac¸on :

f(x)≈f(x₀) +m(x₁−x₀)≈f(x₀) +m_aδx (2.28)

Exemple8

Lin´eariserf(x) = 5 cosx au pointx=^π₂.

On prend la d´eriv´ee de la fonction au point recherch´e pour trouver la pente.

d(5 cosx) dx









_x=π 2

=−5 sinx









_x=π 2

=−5

Au point recherch´e,f(x0) = 5 cos(^π₂) = 0.

Donc,

f(x)≈f(x₀) +m_aδx

= 0−5δx

=−5δx

Sur la figure 2.5, on voit bien que la fonction ressemble `a la ligne droite au point recherch´e.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

−6

−4

−2 0 2 4 6

pente =−5

π 2

Temps

Amplitude

Figure2.5 – Fonction lin´earis´ee

On peut formaliser ce processus en utilisant une expansion en s´eries de Taylor.

f(x) =f(x₀) +x−x₀ 1! ·df

dx









_x=x

0

+(x−x₀)² 2! · d²f

dx²









_x=x

0

+· · · (2.29)

Sixvarie peu dex₀, on peut n´egliger les termes d’ordre sup´erieur.

f(x)−f(x₀)≈(x−x₀)·d²f dx²









_x=x

0

(2.30) δf(x) =m







_x=x

0

δx (2.31)

Exemple9 Lin´eariser

d²x

dt² + 2dx

dt + cosx= 0 au pointx=^π₄.

Le terme cosx rend l’´equation non-lin´eaire.

On remplacex=δx+^π₄ et on substitue.

d²(δx+^π₄)

dt² + 2d(δx+^π₄) dt + cos

δx+π

4

= 0 Mais,

d(δx+ ^π₄)

dt = dδx dt

et d²(δx+ ^π₄)

dt² = d²δx dt

et on lin´earise le terme cos(δx+^π₄) en utilisant une s´erie de Taylor : cos

δx+π

4

−cos π

4

=dcosx dx







_x=^π

4

δx=−sin π

4

δx

ce qui donne,

cos

δx+π 4

= cos π

4

−sin π

4

δx

=

√ 2 2 −

√ 2 2 δx Et l’´equation lin´earis´ee est :

d²δx

dt² + 2dδx dt +

√ 2

2 δx=−

√ 2 2

Annexe

Soit une transform´ee de Laplace de la forme : G(s) = a+jb

s+ (c+jd)+ a−jd

s+ (c−jd) (2.32)

La transform´ee inverse de cette fonction est :

g(t) = (a+jb)e^−(c+jd)t+ (a−jb)e^−(c−jd)t (2.33) On peut d´evelopper cette ´equation :

g(t) =e^−ct

(a+jb)e^−jdt+ (a−jb)e^jdt

(2.34) ou

g(t) =e^−ct

ae^−jdt+ae^jdt+jbe^−jdt−jbe^jdt

(2.35) qu’on peut transformer `a :

g(t) =e^−ct

"

2a e^jdt+e^−jdt 2

!

+ 2b e^jdt−e^−jdt j2

!#

(2.36) et `a l’aide de la relation d’Euler,

g(t) = 2e^−ct(acos(dt) +bsin(dt)) (2.37) On peut factoriser l’´equation pr´ec´edente de la fac¸on suivante :

g(t) = 2e^−ct q

(a²+b²)







 a

p(a²+b²)cos(dt) + b

p(a²+b²)sin(dt)







 (2.38)

Les termes devant les cosinus et sinus forment les ´equations d’un triangle de cot´eaetbet d’hypot´enusep

(a²+b²). On d´efinit : cosφ= a

p(a²+b²) et sinφ= b

p(a²+b²) (2.39) On peut donc r´eduire l’´equation2.38 `a :

g(t) = 2e^−ct q

(a²+b²)(cosφcos(dt) + sinφsin(dt)) (2.40) Et `a l’aide d’identit´es trigonom´etriques,

g(t) = 2e^−ct q

(a²+b²)(cos(dt−φ)) (2.41) o `u

φ= arctan b a

!

(2.42)

Chapitre 3

R ´eponse dans le domaine temporel

On ´etudie ici le comportement des syst`emes de premier et second ordre et leur r´eponse en fonction du temps. Les caract´eristiques de ces syst`emes sont ´etudi´es en d´etail, ainsi que leur r´eponse, et certaines techniques d’analyse.

On verra aussi comment approximer des syst`emes d’ordre sup´erieur en syst`emes de deuxi`eme ordre.

3.1 P ˆ oles, z ´ eros et r ´ eponse

Soit la fonction de transfert suivante :

F(s) =a_ms^m+a_m−1s^m−1+· · ·+a₀

b_nsⁿ+b_n−1sⁿ⁻¹+· · ·+b₀ (3.1) ou

= (s−z₁)(s−z₂)· · ·(s−z_m)

(s−p₁)(s−p₂)· · ·(s−p_n) (3.2) o `un≥m.

D´efinition :

Z´ero : Cause la fonction de transfert `a devenir z´ero (z₁, z₂, . . . , z_m).

P ˆole : O `u la fonction de transfert devient infinie (p₁, p₂, . . . , p_n).

On peut repr´esenter les pˆoles et z´eros par un diagramme. Ce diagramme donne de l’information sur le type de syst`eme et le type de r´eponse du syst`eme, et peut ˆetre une fac¸on rapide d’analyser un syst`eme.

1

On d´emontre par un exemple. Soit la fonction suivante : G(s) =s+ 2

s+ 5 (3.3)

Le z´ero estz₁=−2 et le pˆole estp₁=−5. Le diagramme des pˆoles est donn´e dans la figure 3.1. Le z´ero est repr´esent´e par un cercle (“o”), et le pˆole par une croix (“×”).

σ jω

−2

×

−5

Figure3.1 – Diagramme de pˆoles et z´eros

Pour montrer l’effet des pˆoles sur un syst`eme, on prend la r´eponse ´echelon `aG(s).

C(s) =1

sG(s) = (s+ 2) s(s+ 5) = A

s + B s+ 5 Les coefficients sont :

A= s+ 2 s+ 5









_s=0

= 0.4

B= s+ 2 s









_s=−5

= 0.6 Donc,

C(s) = 0.4 s + 0.6

s+ 5 et

c(t) = 0.4

|{z}

r´eponse forc´ee

+ 0.6e| {z }^−5t

r´eponse naturelle

Commentaires:

• Le pˆole `a l’entr´ee g´en`ere la r´eponse forc´ee (le terme ^0.4_s ).

• Le pˆole de la fonction de transfert g´en`ere la r´eponse naturelle.

• Les pˆoles et z´eros g´en`erent les amplitudes des deux r´eponses.

Gabriel Cormier 2 GELE5313

3.2 Syst ` eme de premier ordre

Soit un syst`eme de premier ordre sans z´ero, donn´e par la figure3.2:

a s+a X(s)

F(s)

Y(s)

Figure3.2 – Syst`eme de premier ordre

Si l’entr´ee au syst`eme est un ´echelon,

Y(s) = a s+a·1

s (3.4)

et dans le domaine du temps,

y(t) = 1−e^−at =y_f(t) +y_n(t) (3.5)

On peut g´en´erer la r´eponse de ce syst`eme. Un exemple est montr´e `a la figure3.3, pour a= 1.2.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

0.1 0.9

T_r

pente initiale =a

4 a

T_s

Temps (s)

Amplitude

Sortie Entr´ee

Figure3.3 – R´eponse `a une entr´ee ´echelon d’un syst`eme de 1^er ordre.

Constante de temps

La constante de temps est le temps requis pour quee^−at diminue jusqu’`a 37% de la valeur initiale. Ou, en d’autre mots, c’est le temps n´ecessaire pour que y(t) atteigne 67%

de sa valeur finale. La constante de temps est donc : t₀=1

a (3.6)

Puisque la pente initiale esta, la constante de temps est un indicateur de la vitesse de r´eponse du syst`eme.

Temps de mont´ee

Le temps de mont´ee est d´efinit comme le temps requis pour que la fonction passe de 10% `a 90% de sa valeur finale. Ce qui veut dire :

T_r =t_0.9−t_0.1 (3.7)

On trouve les deux valeurs de temps :

0.9 = 1−e^−at⇒t_0.9= 2.31

a (3.8)

0.1 = 1−e^−at⇒t_0.1= 0.11

a (3.9)

Le temps de mont´ee est donc,

T_r = 2.31

a −0.11 a = 2.2

a (3.10)

Temps de stabilisation

C’est le temps requis pour que la r´eponse soit `a 2% de la valeur finale (et demeure l`a).

C’est le temps o `uc(t) = 0.98.

0.98 = 1−e^−at ⇒T_s=4

a (3.11)

R´eponse du premier ordre par exp´erimentation

Il est relativement facile de d´eterminer les param`etres d’un syst`eme du premier ordre par exp´erimentation. Il suffit de mesurer la r´eponse du syst`eme `a une entr´ee ´echelon.