Gruppi fattorizzati da sottogruppi abeliani

Gruppi fattorizzati da sottogruppi abeliani.

ENRICOJABARA(*)

ABSTRACT- LetGˆA1A2A3 be a group that is a product of three mutually per- mutable abelian subgroupsA1,A2andA3. In this paper we prove that ifA1A2is nilpotent thenGis soluble and that ifA1A2,A1A3andA2A3are nilpotent thenGis also nilpotent.

1. Introduzione.

Un gruppo G si dice fattorizzato tramite i suoi sottogruppi A₁;A₂;. . .;A_k se accade che

GˆA₁A₂...A_k e seAiAjˆAjAiper ognii;j2 f1;2;. . .;kg.

Il risultato forse piuÁ noto ed elegante nella teoria dei gruppi fattorizzati eÁ il teorema di Itoà (2.1.1 di [1]): un gruppo fattorizzato tramite due sot- togruppi abeliani eÁ metabeliano.Tale risultato eÁ stato esteso in varie di- rezioni; per esempio Heineken e Lennox hanno provato che un gruppo fattorizzato tramite un numero finito di sottogruppi abeliani finitamente generati eÁ policiclico (7.6.6 di [1], per ulteriori generalizzazioni si veda [3]).

In generale peroÁ il teorema di Itoà non si puoÁ estendere al caso di gruppi fattorizzati da tre (o piuÁ) sottogruppi abeliani; esistono infatti esempi di gruppi non risolubili dotati di una tale fattorizzazione (7.6.3 di [1]). Nel caso dei gruppi finiti la situazione eÁ radicalmente diversa; infatti grazie al teo- rema di Wielandt-Kegel (2.4.3 di [1]) eÁ possibile dimostrare che ogni gruppo finito fattorizzato da gruppi nilpotenti eÁ risolubile.

Spesso sono stati oggetto di studio anche i gruppi trifattorizzati ovvero i gruppi che contengono tre sottogruppiA,BeCtali che

GˆABˆACˆBC:

(*) Dipartimento di Matematica Applicata, UniversitaÁ di Ca' Foscari, Dorsodu- ro 3825/e, 30123 Venezia, Italy.

E-mail: jabara@unive.it

Per un risultato dovuto a Kegel (2.5.11 di [1]) ogni gruppo finito dotato di una tripla fattorizzazione costituita da sottogruppi nilpotenti eÁ esso stesso nilpotente. Tale risultato eÁ ben lontano dall' essere vero nel caso dei gruppi infiniti anche quando i tre fattori sono abeliani, come mostrano alcuni esempi costruiti da Sysak e da Holt e Howlett (6.1.2 e 6.1.3 di [1]).

L'unico progresso fatto fino ad ora nello studio dei gruppi trifattorizzati infiniti eÁ un risultato ottenuto da Robinson e Stonehewer in [4] che asse- risce che in ogni gruppo trifattorizzato da sottogruppi abeliani ogni fattore di composizione eÁ centrale e ogni sottogruppo finitamente generato eÁ re- sidualmente nilpotente.

Scopo di questo lavoro eÁ lo studio dei gruppi fattorizzati da sottogruppi abeliani quando si impongono particolari restrizioni alla struttura dei sot- togruppi formati dalle coppie di fattori (tali sottogruppi sono, per il teorema di ItoÃ, metabeliani). I risultati ottenuti sono compendiati nel seguente

TEOREMA. Sia GˆA₁A₂A₃ un gruppo fattorizzato tramite tre sotto- gruppi abeliani. Allora

(a) se il sottogruppo A₁A₂ eÁ nilpotente allora G eÁ risolubile;

(b) se i tre sottogruppi A₁A₂;A₁A₃ e A₂A₃ sono nilpotenti allora anche G eÁ nilpotente.

Tale teorema eÁ, in un certo senso, anche un teorema sui gruppi tri- fattorizzati; infatti sotto le ipotesi del teorema il gruppo G risulta fatto- rizzato dai tre sottogruppiA1A2,A1A3eA2A3.

Alcuni esempi di gruppi che soddisfano alle ipotesi (a) o (b) del teroema precedente completeranno l' esposizione.

2. Dimostrazioni ed esempi.

Nel seguito le notazioni utilizzate saranno quelle della monografia [1].

In particolare seGˆABeÁ un gruppo fattorizzato da due sottogruppiAeB e se H eÁ un sottogruppo di G allora H si dice prefattorizzato se Hˆ(H\A)(H\B) e fattorizzato se eÁ prefattorizzato e se A\BH.

Siccome l' intersezione di ogni famiglia di sottogruppi fattorizzati diGeÁ un sottogruppo fattorizzato, per ogni sottogruppo H di G si puoÁ definire il fattorizzante X_G(H) di Hin Gcome l' intersezione di tutti i sottogruppi fattorizzati diGcontenentiH.

Il seguente risultato eÁ essenziale per lo studio dei gruppi fattorizzati da sottogruppi abeliani.

LEMMA1. Sia GˆAB un gruppo fattorizzato da due sottogruppi abeliani A e B. Allora Z(G), il centro di G, eÁ un sottogruppo fatto- rizzato di G.

DIMOSTRAZIONE. Si tratta di una conseguenza del Lemma 2.1.2 di [1]. p Dal teorema di Itoà e dal lemma precedente si ottiene il seguente ri- sultato che generalizza il punto (a) del teorema enunciato nel § 1.

PROPOSIZIONE1. Sia GˆA₁A₂. . .A_kA_k‡1 un gruppo fattorizzato da k‡1 sottogruppi abeliani. Se il sottogruppo A₁A₂. . .A_k eÁ nilpotente di classe c allora G eÁ risolubile ed esiste una funzione f , dipendente sola- mente da k e da c, tale che la lunghezza derivata di G non supera f(k;c).

DIMOSTRAZIONE. La dimostrazione procede per induzione suk.

Sekˆ1 allora, per il teorema di ItoÃ, si puoÁ porref(1;c)ˆ2 (in questo caso si ha necessariamentecˆ1).

Sia quindik2. Il sottogruppoA1A2 eÁ certamente nilpotente e la sua classe di nilpotenza c12 eÁ minore o uguale dic. Sia Z1ˆZ(A1A2)\A1 e Z2ˆZ(A1A2)\A2, allora, per il Lemma 1 si ha cheZ(A1A2)ˆZ1Z2. Risulta

Z^G₁ A₁A₃. . .A_kA_k‡1e tale gruppo eÁ, per l' ipotesi induttiva, risolubile con

lunghezza derivata al piuÁ f(k 1;c). Lo stesso ragionamento si puoÁ ripe- tere perZ^G₂; dunqueNˆZ(A1A2)^GˆZ^G₁Z^G₂ eÁ un sottogruppo normale diG risolubile con lunghezza derivata al piuÁ 2f(k 1;c). In GˆG=N il sotto- gruppo A₁A₂ ha classe di nilpotenza al piuÁ c₁₂ 1. Ripetendo il procedi- mento indicato per (al piuÁ)c₁₂ 1 volte e ricordando chec₁₂ceÁ possibile costruire un sottogruppo R normale in G e risolubile con lunghezza de- rivata al piuÁ 2(c 1)f(k 1;c) contenente il (c12 1)-esimo centro diA1A2. InGeˆG=Ril sottogruppoAe1Ae2risulta abeliano e quindiGe eÁ fattorizzato tramite k sottogruppi abeliani tali che il prodotto dei primi k 1 eÁ nil- potente di classe (al piuÁ)c. L' ipotesi induttiva porge cheGe eÁ risolubile con lunghezza derivata al piuÁ f(k 1;c). Dunque la lunghezza derivata diG non supera 2(c 1)f(k 1;c)‡f(k 1;c)ˆ(2c 1)f(k 1;c). Ponendo f(k;c)ˆ2(2c 1)^{k 1} si ottiene la definizione di f e la conclusione della

dimostrazione. p

La funzione f(k;c)ˆ2(2c 1)^{k 1} introdotta nella dimostrazione pre- cedente eÁ (a parte il casokˆ1) del tutto irrealistica. Ricordiamo che fino a poco tempo fa la seguente congettura era ancora aperta.

CONGETTURA. Sia GˆAB un gruppo finito fattorizzato tramite due sottogruppi nilpotenti Ae Bdi classi rispettivamente cA e cB. Allora la lunghezza derivata diG(che eÁ risolubile per il teorema di Wielandt-Kegel) non superac_A‡c_B.

Solo recentemente Cossey e Stonehewer in [2] hanno costruito dei gruppi finiti fattorizzati da un gruppo abeliano e da un gruppo nilpotente di classe 2 la cui lunghezza derivata eÁ 4. EÁ assai probabile che la congettura citata sia valida nelle ipotesi molto particolari della nostra Proposizione 1 e che si possa sempre prendere f(k;c)ˆc‡1 (ma gli Esempi 1 e 4 mo- streranno che non si puoÁ prenderef(2;2)ˆ2).

Per ottenere la dimostrazione della parte (b) del teorema enunciato nel

§ 1 si utilizza la seguente applicazione del Lemma 1.

LEMMA2. Sia GˆA₁A₂A₃ un gruppo fattorizzato da tre sottogruppi abeliani A₁, A₂, A₃ e sia fi;j;kg ˆ f1;2;3g. Se T_ieÁ un sottogruppo di G contenuto in Ai\Z(AiAj)allora[Ti;G]eÁ un sottogruppo normale e abe- liano di G contenuto in[A_i;A_k]ˆ(A_iA_k)⁰.

DIMOSTRAZIONE. SeXeYsono sottogruppi di un gruppoGeÁ ben noto che [X;Y] eÁ un sottogruppo normale di hX;Yi. Dunque il sottogruppo [Ti;G] risulta normale per costruzione. Si ha [Ti;G]ˆ[Ti;AiAjAk]ˆ [T_i;A_k][A_i;A_k]. Si conclude osservando che, per il teorema di ItoÃ,

(A_iA_k)⁰risulta abeliano. p

PROPOSIZIONE2. Sia GˆA₁A₂A₃ un gruppo fattorizzato da tre sot- togruppi abeliani A1, A2e A3. Supponiamo che A1A2, A1A3e A2A3 siano nilpotenti di classe rispettivamente c12, c13 e c23. Allora G risulta nilpo- tente ed esiste una funzione crescente g tale che la classe di nilpotenza di G eÁ limitata da g(C)ove C ˆc₁₂‡c₁₃‡c₂₃.

DIMOSTRAZIONE. La dimostrazione procede per induzione su C. Se Cˆ0 alloraGˆ f1ge ponendog(0)ˆ0 la tesi eÁ banalmente verificata.

Supponiamo quindi C>0; non eÁ restrittivo supporre che c_ij6ˆ0 per ogni i;j2 f1;2;3g perche in caso contrario si avrebbe GˆA_k e la tesi sarebbe banalmente verificata (in particolare si puoÁ porre g(1)ˆ

ˆg(2)ˆg(3)ˆ1). Consideriamo quindi g_cij(A_iA_j), l'ultimo termine non triviale della serie centrale discendente diAiAj. PoicheÂ, per il Lemma 1, Z(A_iA_j) eÁ un sottogruppo fattorizzato diA_iA_j e g_cij(A_iA_j)Z(A_iA_j) si ha che ancheX_AiAj(g_cij(A_iA_j)), il fattorizzante dig_cij(A_iA_j) inA_iA_j, eÁ contenuto

inZ(AiAj). I sei sottogruppi

L_ijˆ[X_AiAj(g_cij(A_iA_j))\A_i;G][A_i;A_k] (fi;j;kg ˆ f1;2;3g) sono, per il Lemma 2, sottogruppi normali e abeliani di G. Distinguiamo quattro casi.

(1) Esistonoi;j2 f1;2;3gconL_ijˆ f1g ˆL_ji.

Allora [g_cij(A_iA_j);G]ˆ f1g,g_cij(A_iA_j)Z(G) e inGˆG=Z(G) il sotto- gruppoA_iA_jha classe di nilpotenzac_ijc_ij 1. Si ha alloraCC 1 e, per l' ipotesi induttiva,GeÁ nilpotente di classe al piuÁg(C)g(C 1).

Ne consegue che in questo caso G eÁ nilpotente e la sua classe di nil- potenza non superag(C 1)‡1.

(2) Almeno due tra i sottogruppiL_ijsono banali.

Se i due sottogruppi banali hanno gli stessi indici si eÁ ricondotti al caso (1). Quindi non eÁ restrittivo supporre, riordinando gli indici, cheL₁₂ˆ f1g e L₁₃ˆ f1g (il caso L₃₁ˆ f1g si tratta in maniera analoga). Dunque i gruppi G=L21 e G=L31 sono, per il punto (1), nilpotenti di classe al piuÁ g(C 1)‡1. PostoNˆL21\L31si ha che ancheG=NeÁ nilpotente e che la sua classe non superag(C 1)‡1.

Sul gruppo N agisce (fedelmente) il gruppo GˆG=C_G(N). Siccome N[A₁;A₂]\[A₁;A₃] e [A₁;A₂], [A₁;A₃] sono abeliani, inGil gruppoA₁ risulta centrale. Quindi per ognit0 il sottogruppo

Rt ˆ[N;A|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}1;A1;. . .A1 t volte

]

eÁ un sottogruppo di N normalizzato da G. Poiche NA₁A₁A₂\A₁A₃ e N[A₁;A₂]\[A₁;A₃] si ha certamente R_Cˆ f1g. Se per ogni

tˆ0;1;. . .;C 1 si considera la sezioneS_tˆR_t=R_t‡1risultaA₁C_G(S_t)

e quindi su St agisce il gruppo Ge ˆG=CG(St)ˆAe2Ae3. Il gruppo Ae2Ae3 eÁ nilpotente di classeec23c23Ced il sottogruppoZ(Ae2Ae3) eÁ fattorizzato daZ2ˆZ(Ae2Ae3)\Ae2 eZ3ˆZ(Ae2Ae3)\Ae3. Tenendo conto che St eÁ una sezione di [A₁;A₂]\[A₁;A₃], si ottiene

[St;Z|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}2;Z2;. . .;Z2 C volte

]ˆ f1g e [St;Z|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}3;Z3;. . .;Z3 C volte

]ˆ f1g

da cui

[S_t;Z(|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}Ae₂Ae₃);Z(Ae₂Ae₃);. . .;Z(Ae₂Ae₃)

(2C 1) volte

]ˆ f1g:

Iterando questo procedimento per al (piuÁ)Cvolte si ottiene che [St;G;|‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚}e G;e . . .Ge

r(C) volte

]ˆ f1g

over(C)ˆ(2C 1)^C. DunqueNeÁ contenuto nelCr(C)-esimo centro di diG eGrisulta nilpotente di classe al piuÁg(C 1)‡Cr(C)‡1.

(3) Uno solo tra i sottogruppiL_ij eÁ banale. Non eÁ restrittivo sup- porre, riordinando gli indici, che siaL₁₂ ˆ f1g.

Per il punto (2) i gruppiG=L₁₃,G=L₃₁,G=L₂₃eG=L₃₂sono nilpotenti di classe al piuÁg(C 1)‡Cr(C)‡1; per il punto (1) il gruppoG=L21 eÁ nil- potente di classe al piuÁg(C 1)‡1. Posto

NˆL₂₁\L₁₃\L₃₁\L₂₃\L₃₂

si ha che anche G=N risulta nilpotente e che la sua classe non supera g(C 1)‡Cr(C)‡1. Per il Lemma 2 i tre sottogruppi [A1;A2], [A1;A3], e [A2;A3] sono contenuti inC_G(N) e quindi il gruppo GˆG=C_G(N) risulta abeliano. Ragionando come nel punto (2) si ottiene

[N;A|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}_i;A_i;. . .;A_i

(C‡1) volte

]ˆ f1g per ognii2 f1;2;3g

e quindi

[N;G;|‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚}G;. . .;G

(3C‡1) volte

]ˆ f1g:

DunqueNeÁ contenuto nel (3C)-esimo centro diGeGrisulta nilpotente di classe al piuÁg(C 1)‡Cr(C)‡3C‡1.

(4) Nessuno tra i sottogruppi L_ij eÁ banale. Per il punto (3) ogni gruppoG=L_ijeÁ nilpotente di classe al piuÁg(C 1)‡Cr(C)‡3C‡1. Posto NˆT

i6ˆjL_ij anche il gruppoGˆG=N risulta nilpotente con classe al piuÁ g(C 1)‡Cr(C)‡3C‡1. Ragionando come nel punto (3) si ottiene

[N;G;|‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚}G;. . .;G

(3C‡1) volte

]ˆ f1g

e quindi G risulta nilpotente con classe limitata da g(C 1) ‡Cr(C)‡

‡6C‡1.

Dunque in ogni casoG risulta nilpotente e la sua classe di nilpotenza risulta limitata dalla funzione (crescente) definita induttivamente ponendo g(0)ˆ0, g(C)ˆ1 se 1C3 e g(C)ˆg(C 1)‡Cr(C)‡6C‡1 se

C4. p

L'ostacolo a generalizzare la Proposizione 2 a gruppi fattorizzati da piuÁ di tre sottogruppi abeliani risiede essenzialmente nella mancanza di una fattorizzazione per il centro di tali gruppi (cioeÁ un analogo del Lemma 1).

Qui di seguito si forniscono alcuni semplici esempi di gruppi fattorizzati da tre (o piuÁ) sottogruppi abeliani.

ESEMPIO 1. Sia GˆS4 il gruppo simmetrico su 4 oggetti. Se A1ˆ h(12)i,A2ˆ h(12)(34);(13)(24)i e A3ˆ h(123)i si verifica facilmente che i tre gruppi ab eliani A₁, A₂ e A₃ fattorizzano G. InoltreA₁A₂ eÁ un 2-sottogruppo di Sylow di G di ordine 8 e nilpotente di classe 2. La lunghezza derivata di G eÁ 3. Questo mostra che nella Proposizione 1 eÁ necessario prendere f(2;2)3.

ESEMPIO2. Siapun numero primo e siaC_pil gruppo ciclico di ordinep.

Il prodotto intrecciatoWˆC_poC_peÁ un gruppo di ordinep^p‡1e nilpotente di classe pche risulta prodotto semidiretto di un sottogruppo normaleN abeliano elementare di ordinep^ptramite un gruppoK di ordine p. Se si considera il prodotto intrecciato GˆWoCp esso si puoÁ fattorizzare tra- mite un sottogruppo abeliano elementareA₁prodotto diretto dipcopie di N, un sottogruppo abeliano elementareA₂prodotto diretto dipcopie diK e un sottogruppo cilicoA₃ di ordine p. I gruppiA₁A₂,A₁A₃ eA₂A₃ sono tutti nilpotenti di classepeGrisulta nilpotente di classep². Questo mostra che la funzione g(C) della Proposizione 2 non puoÁ essere lineare in C. Si osservi che per ogni numero primopil gruppoGha lunghezza derivata 3.

ESEMPIO3. L'Esempio 2 si puoÁ generalizzare considerando il prodotto intrecciato iterato

Gˆ(. . .(C|‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚{z‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚‚}poCp)o. . .)oCp (n‡1) volte

:

Si verifica che G si puoÁ fattorizzare con n‡1 sottogruppi abeliani ele- mentari ogni coppia dei quali genera un sottogruppo nilpotente di classep.

La classe di nilpotenza diGeÁpⁿ.

La Proposizione 2 assume una forma particolarmente soddisfacente quando i sottogruppiA_iA_jhanno tutti classe 2.

PROPOSIZIONE3. Sia GˆA₁A₂A₃ un gruppo fattorizzato da tre sot- togruppi abeliani A₁, A₂ e A₃. Supponiamo che A₁A₂, A₁A₃e A₂A₃siano nilpotenti di classe al piuÁ2. Allora G risulta nilpotente di classe al piuÁ4.

DIMOSTRAZIONE. Sia ZijˆZ(AiAj)\Ai. Per il Lemma 2 si ha [Zij;G]/G; inoltre ricordando cheAiAj eÁ nilpotente di classe al piuÁ 2 si ottiene

[Z_ij;G][A_i;A_k]Z(A_iA_k) se fi;j;kg ˆ f1;2;3g;

da cui

[Zij;G;G][Zij;G]\([Zik;G][Zki;G])Z(AiAk)\Z(AiAj)Z(G):

Allora [A_i;A_j]Z_ijZ3(G) per ogni i;j2 f1;2;3g e nel gruppo GˆG=Z₃(G) i tre sottogruppiA₁,A₂ eA₃commutano. DunqueGeÁ abe- liano eGˆZ₄(G) eÁ nilpotente di classe al piuÁ 4. p ESEMPIO4. Se nell' Esempio 2 si pone pˆ2, il gruppoGˆA1A2A3, che risulta nilpotente di classe 4, eÁ fattorizzato tramite tre sottogruppi abeliani elementariA₁,A₂eA₃tali cheA_iA_j risulta nilpotente di classe 2 per ogni i;j2 f1;2;3g con i<j. Questo mostra che la limitazione de- terminata nella Proposizione 3 non eÁ migliorabile.

Si osservi infine che la lunghezza derivata diGeÁ 3, il che dimostra che nella Proposizione 1 eÁ necessario prenderef(2;2)3 anche nel caso in cui tutti i tre sottogruppiA_iA_j abbiano classe 2.

BIBLIOGRAFIA

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[2] J. COSSEY- S. E. STONEHEWER, On the derived length of finite dinilpotent groups, Bull. London Math. Soc.,30, no. 3 (1998), pp. 247-250.

[3] T. LANDOLFI,On groups factorized by finitely many subgroups, UkraõÈn. Mat.

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[4] D. J. S. ROBINSON - S. E. STONEHEWER. Triple factorizations by abelian groups, Arch. Math. (Basel),60, no. 3 (1993), pp. 223-232.

Manoscritto pervenuto in redazione il 24 aprile 2007.