Gruppi fattorizzati da sottogruppi ciclici

Gruppi fattorizzati da sottogruppi ciclici

ENRICOJABARA(*)

Al professor Federico Menegazzo per il suo 65ë compleanno

ABSTRACT- This paper is devoted to a study of groups defined by the presentation Gˆ ha;b;cja^bˆa^1‡r;b^cˆb^1‡s;c^aˆc^1‡ti (r;s;t2Z):

It is proved that G⁰⁰Z(G) and that if r, s and t are all 6ˆ 2;0then G is finite and its order divides j(r;s)(s;t)(t;r)rstj where rˆ(1‡r)^jsj 1, sˆ(1‡s)^jtj 1 and tˆ(1‡t)^jrj 1.

1. Introduzione.

Lo scopo che questo lavoro si prefigge eÁ duplice. In primo luogo si continua lo studio, iniziato in [6], dei gruppi fattorizzati tramite tre (o piuÁ) sottogruppi abeliani. In secondo luogo si applicano alcuni dei risultati ot- tenuti allo studio della famiglia di gruppi definiti dalla seguente pre- sentazione:

M(r;s;t)ˆ ha;b;cja^bˆa^1‡r;b^cˆb^1‡s;c^aˆc^1‡ti; r;s;t2Z:

In [9] Mennicke ha studiato i gruppiM(t;t;t) ed ha dimostrato che se t1 si tratta di gruppi finiti in cui il sottogruppoha^t3;b^t3;c^t3ieÁ normale, abeliano e a quoziente nilpotente. Successivamente Schenkman in [13] ha dimostrato che il secondo derivato diM(r;s;t) eÁ nilpotente di classe al piuÁ 3 e cheM(r;s;t) eÁ finito ser;s;tsono tutti maggiori di 0. In questo lavoro si dimostra il

(*) Indirizzo dell'A.: Dipartimento di Matematica Applicata, UniversitaÁ di Ca' Foscari, Dorsoduro 3825/e, 30123 Venezia, Italy.

E-mail: [email protected]

2000Mathematical Subject Classification: 20D40 (20F05,17B60).

TEOREMA1. Per ogni r;s;t2Zil gruppo GˆM(r;s;t)eÁ supersolubile e si ha G⁰⁰Z(G)eg₃(G)Z(G⁰). In particolare G⁰eÁ nilpotente di classe al piuÁ2. Inoltre se r;s;t sono tutti diversi da0e da 2allora G eÁ finito e il suo ordine divide

j(r;s)(s;t)(t;r)rstj

ove rˆ(1‡r)^jsj 1,sˆ(1‡s)^jtj 1, tˆ(1‡t)^jrj 1 e(m;n) indica il massimo comun divisore tra i due numeri interi m e n.

La dimostrazione del Teorema 1 eÁ ottenuta combinando alcuni risultati piuÁ generali riguardanti i gruppi fattorizzati con dei calcoli diretti sui commutatori. Si dimostreraÁ anche la seguente generalizzazione del Teo- rema 3 di [13].

PROPOSIZIONE1. SiaGun gruppo generato da tre suoi sottogruppiA, B e C nilpotenti di classi rispettivamente k_A, k_B e k_C. Se [A; B]A, [B; C]Be [C; A]Callora, postoKˆk_A‡k_B‡k_C, si ha che il gruppo g_K‡1(G) risulta nilpotente di classe al piuÁK.

Dalla Proposizione 1 discende che seA,BeCsono sottogruppi abeliani diGallorag₄(g₄(G))ˆ f1g; sotto tali ipotesi si puoÁ ottenere un risultato piuÁ preciso.

PROPOSIZIONE 2. Sia G un gruppo generato da tre suoi sottogruppi abelianiA,BeC. Se [A; B]A, [B; C]Be [C; A]CalloraG⁰risulta nilpotente di classe al piuÁ3.

EÁ conveniente riformulare la prima parte del Teorema 1.

PROPOSIZIONE 3. Sia G un gruppo generato da tre suoi sottogruppi ciclici A,B e C. Se [A; B]A, [B; C]B e [C; A]C alloraG risulta supersolubile e si haG⁰⁰Z(G) eg₃(G)Z(G⁰). In particolareG⁰ risulta nilpotente di classe al piuÁ2.

Le Proposizioni 1, 2 e 3 non si possono estendere al caso di quattro o piuÁ sottogruppi; infatti Higman in [4] ha dimostrato che il gruppo

ha;b;c;dja^bˆa²;b^cˆb²;c^dˆc²;d^aˆd²i eÁ infinito e privo di sottogruppi di indice finito.

Nel §3 saraÁ dimostrato un analogo del Teorema 1 valido per gli anelli di Lie.

2. Dimostrazione delle Proposizioni 1 e 2.

DIMOSTRAZIONE DELLAPROPOSIZONE1. SiaGˆ hA;B;CiconA,BeC soddisfacenti alle ipotesi dell'enunciato. Essendo ABˆBA, ACˆCA e BCˆCB si deve avere GˆABC. Si ha p oi A^GˆA^ABCˆA^CAC e, analogamente, B^GAB e C^GBC. Poiche C eÁ normalizzato da A e g_kA‡1(A)ˆ f1g risulta g_kA‡1(A^G)g_kA‡1(AC)C: Siccome A^G/G e g_kA‡1(A^G) eÁ caratteristico in A^G si ha g_kA‡1(A^G)/G e quindi g_kA‡1(A^G)C_G. In maniera analoga si dimostra che g_kB‡1(B^G)A_G e g_kC‡1(C^G)B_G.

I tre sottogruppiA_G,B_Ge C_Gsono normali in Ge nilpotenti di classe che non supera rispettivamente kA, kB e kC. Quindi il sottogruppo LˆA_GB_GC_G eÁ normale inG e, per il teorema di Fitting (5.2.8 di [12]), nilpotente di classe al piuÁ k_A‡k_B‡k_CˆK. PostoGˆG=L in Gsi ha

g_kA‡1(A^G)ˆ f1g; g_kB‡1(B^G)ˆ f1g; g_kC‡1(C^G)ˆ f1g

e poicheÂGˆABCˆA^GB^GC^G, ancora per il teorema di Fitting, si con- clude che G eÁ nilpotente e che la sua classe di nilpotenza non supera k_A‡kB‡k_CˆK. Dunqueg_K‡1(g_K‡1(G))ˆ f1g. p

Per dimostrare la Proposizione 2 si utilizza il seguente risultato.

LEMMA1. Sia G un gruppo e A, B e C dei sottogruppi abeliani di G tali che GˆABC,[A;B]A,[B;C]B, [C;A]C e A\B\Cˆ f1g.

Allora[G⁰;G⁰;G⁰]Z(G).

DIM. Sotto le ipotesi dell'enunciato risultaA_G\B_GZ(G); infatti es- sendoAeBabeliani essi sono centralizzati daA_G\B_G. Sia poix2A_G\B_G ey2C; poicheÂAnormalizzaCsi ha [x;y]2C, del restoA_G\B_G/Gporge che [x;y]2A_G\B_Ge allora [x;y]2A_G\B_G\Cˆ f1g. Quindi A_G\B_G centralizza ancheCe dunqueAG\BGZ(G).

Ragionando come nella dimostrazione precedente e ricordando cheA,B eCsono abeliani, si ottiene (A^G)⁰C_G, (B^G)⁰A_Ge (C^G)⁰B_G.

Per dimostrare l'asserto si distinguono tre casi.

(a) Almeno due dei tre sottogruppiA_G,B_GeC_Grisultano identici.

Non eÁ restrittivo supporre A_Gˆ f1g e B_Gˆ f1g. Allora (B^G)⁰ˆ f1g e (C^G)⁰ˆ f1g e quindi il sottogruppo normale NˆB^GC^Grisulta, per il teorema di Fitting, nilpotente di classe al piuÁ 2. Siccome G=N eÁ isomorfo a un quoziente di A, che eÁ

abeliano, si haG⁰N, da cui [G⁰;G⁰;G⁰]ˆ f1ge in questo caso l'asserto eÁ dimostrato.

(b) Uno solo dei tre sottogruppiA_G,B_GeC_Grisulta identico.

Non eÁ restrittivo supporre che C_Gˆ f1g e dunque A^G eÁ abe- liano. In GˆG=A_G ancheB^G eÁ abeliano e quindi, ragionando come nel punto precedente, si ricava che (G=A_G)⁰eÁ nilpotente di classe al piuÁ 2 cosõÁ come (G=B_G)⁰. Ma allora [G⁰;G⁰;G⁰] AG\BGZ(G) e l'asserto eÁ dimostrato.

(c) A_G6ˆ f1g,B_G6ˆ f1geC_G6ˆ f1g.

Allora siccome A_G\B_G\C_GA\B\Cˆ f1g, il gruppo G si immerge nel prodotto diretto (G=A_G)(G=B_G)(G=C_G) e poiche ognuno dei tre fattori del prodotto diretto ricade nel caso considerato nel punto (b) se ne conclude che [G⁰;G⁰;G⁰]Z(G).

Quindi in ogni caso [G⁰;G⁰;G⁰]Z(G) e l'asserto eÁ dimostrato. p A questo punto la dimostrazione della Proposizione 2 eÁ quasi imme- diata.

DIMOSTRAZIONE DELLAPROPOSIZIONE2. PoicheÂA,BeCsono abeliani, risulta A\B\CZ(G). In Gb ˆG=(A\B\C) si ha Ab\Bb\Cb ˆ f1g e quindi, per il Lemma 1, [Gb⁰;Gb⁰;Gb⁰]Z(G) da cui [Gb ⁰;G⁰;G⁰]Z2(G).

In ogni gruppo X si ha [X⁰;Z₂(X)]ˆ f1g, quindi [G⁰;G⁰;G⁰;G⁰] [Z₂(G);G⁰]ˆ f1g e G⁰ risulta nilpotente di classe al piuÁ 3. p OSSERVAZIONE1. Con gli stessi medodi utilizzati nella dimostrazione della Proposizione 1 si puoÁ far vedere che se Gˆ hA;B;CiconA,Be C risolubili di lunghezza derivata rispettivamente d_A, d_B e d_C e tali che [A;B]A, [B;C]B e [C;A]C, allora anche G eÁ risolubile e la sua lunghezza derivata non supera 2(dA‡dB‡dC). Inoltre, poicheÂGˆABC, seA,BeCsono policiclici, ancheGrisulta policiclico.

OSSERVAZIONE2. SeGeÁ un gruppo finito generato da tre sottogruppi cicliciA,Be Ctali che [A;B]A, [B;C]Be [C;A]C, allora, ragio- nando come nella dimostrazione del Lemma 1 e della Proposizione 2 (e sfruttando il fatto che ogni sottogruppo di A eÁ normalizzato da B, ogni sottogruppo di BeÁ normalizzato da Ce ogni sottogruppo di CeÁ norma- lizzato daA) si p uoÁ dimostrare cheG⁰⁰Z₂(G) (e di conseguenzaG⁰risulta nilpotente di classe al piuÁ 2). La dimostrazione che G⁰⁰Z(G) richiede, come saraÁ chiaro nel §4, maggiore attenzione.

3. Anelli di Lie.

Da una lettura delle dimostrazioni precedenti eÁ facile convincersi che le Proposizioni 2 e 3 (in analogia a quanto avviene per il Teorema 2 di [13]) valgono anche per gli anelli di Lie (suZ). PiuÁ precisamente seLeÁ un anello di Lie eA,BeCsono suoi sottanelli tali cheLˆA‡B‡Ce [A;B]A, [B;C]Be [C;A]Callora

(i) seA,BeCsono nilpotenti di classe rispettivamentek_A,k_Bek_C allora, dettoK ˆk_A‡k_B‡k_C, si ha (L^K‡1)^K‡1ˆ f0g;

(ii) seA,BeCsono abeliani allora [L⁰;L⁰;L⁰]Z₂(L) e quindi, in particolare,L⁰eÁ nilpotente di classe al piuÁ 3.

Ove, come d'uso si poneL¹ˆL,Lⁿ ˆ[L^{n 1};L],L⁰ˆL²eL⁰⁰ˆ[L⁰;L⁰].

Si supponga ora cheA,B eCsiano generati, come anelli, daa,bec rispettivamente. Se si ha [a;b]ˆra, [b;c]ˆsb, [c;a]ˆtaconr;s;t2Z, l'anello di Lie generato daa,becsaraÁ denotato conL(r;s;t). Utilizzando l'identataÁ di Jacobi [a;b;c]‡[b;c;a]‡[c;a;b]ˆ0, si ricava

rsa‡stb‡rtcˆ0:

…1†

da cui (commutando rispettoa,bec) si ottiene

rstaˆrt²c; rstbˆr²sa; rstcˆs²tb:

…2†

Commutando (2.b) tramitebea, (2.c) tramitecebe (2.a) tramiteaec, si ottiene

r³saˆ0; s³tbˆ0; rt³cˆ0;

…3†

r²staˆ0; rs²tbˆ0; rst²cˆ0:

…4†

Grazie alle (4) si ricava immediatamente che serst6ˆ0 alloraL(r;s;t) eÁ finito e il suo ordine non supera (rst)⁴.

Moltiplicando le relazioni (2) rispettivamente pert,ressi ricava rst²aˆ0; r²stbˆ0; rs²tcˆ0:

…5†

Da (2) applicando le (4) si ottiene

rs²taˆ0; rst²bˆ0; r²stcˆ0:

…6†

Moltiplicando (1) rispettivamente perrs,rtesre tenendo conto delle (4) si ha anche

r²s²aˆ0; s²t²bˆ0; r²t²cˆ0:

…7†

Si puoÁ quindi enunciare il

TEOREMA2. SeLˆL(r;s;t)allora si ha (a) L⁰⁰Z(L);

(b) [L³;L²]ˆ f0g.

Inoltre se rst6ˆ0alloraLeÁ finito e il suo ordine dividej(r;s;t)³r²s²t²j ove(r;s;t)denota il massimo comun divisore dei numeri interi r, s e t.

DIM. SiccomeL⁰eÁ generato dara,sbetcsi ha cheL⁰⁰eÁ generato dar²sa, s²tbert²c. Sfruttando le uguaglianze (3) si ottiene

[r²sa;b]ˆr³saˆ0; [s²tb;c]ˆs³tbˆ0; [rt²c;a]ˆrt³cˆ0;

mentre dalle uguaglianze (5) si ricava

[r²sa;c]ˆ r²stcˆ0; [s²tb;a]ˆ rs²taˆ0; [rt²c;b]ˆ rst²bˆ0;

e l'asserto (a) eÁ dimostrato.

SiccomeL³eÁ generato dar²a,s²b,t²c,rsa,stb,rtc, ricordando (3), (4) e (7) si ottiene:

[r²a;sb]ˆr³saˆ0; [s²b;tc]ˆs³tbˆ0; [t²c;ra]ˆrt³cˆ0;

[r²a;tc]ˆ r²t²cˆ0; [s²b;ra]ˆ r²s²aˆ0; [t²c;sb]ˆ s²t²bˆ0;

[rsa;sb]ˆr²s²aˆ0; [stb;tc]ˆs²t²bˆ0; [rtc;ra]ˆr²t²cˆ0;

[rsa;tc]ˆ rst²cˆ0; [stb;ra]ˆ r²staˆ0; [rtc;sb]ˆ rs²tbˆ0 e quindi anche l'asserto (b) eÁ dimostrato.

Si supponga quindirst6ˆ0 e si consideri il sottoanelloNdiLgenerato dagli elementirsa,stbertc. Una semplice verifica mostra cheNeÁ un ideale diL, cheL=NeÁ finito e che il suo ordine divider²s²t².

Per dimostrare l'asserto eÁ quindi sufficiente dimostrare cheNeÁ finito e che il suo ordine divider³,s³ et³.

Siano

T₁il sottoanello diNgenerato darstc;

T₂il sottoanello diNgenerato darsta;

T3il sottoanello diNgenerato darstb;

Utilizzando le relazioni (2) una verifica diretta porge cheT₁,T₂ eT₃ sono ideali diN(anzi diL).

Dalla relazione (1) si ottienersaˆ stb rtce quindi N eÁ generato come anello da stb e rtc. Siccome s(rtc)ˆrstc2T1 e s(stb)ˆs²tbˆ

ˆrstc2T₁ se ne deduce cheN=T₁ eÁ finito e che il suo ordine divide s². Dalla relazione (5.c) si ricavas(rst)cˆrs²tcˆ0 e quindiT₁eÁ finito e il suo ordine divides. DunquejNj(eÁ finito e) divides³.

Un ragionamento analogo applicato aT2(aT3) mostra cheNeÁ anche un divisore dit³(dir³).

Il Teorema eÁ quindi dimostrato. p

Serˆsˆtdalle relazioni (2) si ricavat³aˆt³bˆt³ce moltiplicando pertla (1) (che eÁ diventatat²a‡t²b‡t²cˆ0) si ottiene

3t³aˆ3t³bˆ3t³cˆ0:

…8†

Tenendo conto che (3) porget⁴aˆt⁴bˆt⁴cˆ0 si possono dare due casi 3 non dividet; alloraL(t;t;t) ha ordinet⁸ed eÁ nilpotente di classe3, 3 dividet; alloraL(t;t;t) ha ordine3t⁸ed eÁ nilpotente di classe4.

Si osservi che, in generale, M(t;t;t) non eÁ nemmeno nilpotente (in- fatti esso risulta finito e nilp otente se e solo se tˆ2 o tˆ 3); si p uoÁ peroÁ considerare il quoziente RM(t;t;t) di M(t;t;t) tramite il suo resi- duale nilpotente (ovvero l'ultimo termine della serie centrale discen- dente).

TABELLA1.

L(t;t;t) RM(t;t;t)

t ordine classe ordine classe

2 2⁸ 3 2¹¹ 4

3ⁿ 3^8n‡1 4 3^8n‡1 4

pⁿ,pⁿ6ˆ2,p6ˆ3 p⁸ⁿ 3 p⁸ⁿ 3

6 2⁸3⁹ 4 2¹⁴3⁹ 5

12 2¹⁶3⁹ 4 2¹⁶3⁹ 4

10 2⁸5⁸ 3 2¹¹5⁸ 4

20 2¹⁶5⁸ 3 2¹⁶5⁸ 3

14 2⁸7⁸ 3 2¹⁷7⁸ 6

28 2¹⁶7⁸ 3 2¹⁶7⁸ 3

30 2⁸3⁹5⁸ 4 2²⁰3⁹5⁸ 7

60 2¹⁶3⁹5⁸ 4 2¹⁶3⁹5⁸ 4

42 2⁸3⁹7⁸ 4 2¹¹3⁹7⁸ 4

510 2⁸3⁹5⁸17⁸ 4 2³²3⁹5⁸17⁸ 11

Utilizzando il softwareGAPe i calcoli svolti sopra si ottiene la Tabella 1.

I dati riportati in tale tabella suggeriscono che (a parte il caso eccezionale in cuiteÁ il doppio di un numero dispari) vi sia una buona corrispondenza tra i due tipi di struttura.

Per l'esatto ordine diM(t;t;t) eRM(t;t;t) si veda [9] e l'Osservazione 3.

4. Dimostrazione della Proposizione 3.

L'analogo nei gruppi dell'identitaÁ di Jacobi eÁ l'identitaÁ Hall-Witt (si veda il Teorema 2.2.3.i di [3] o il 5.1.5.iv di [12])

[x;y ¹;z]^y[y;z ¹;x]^z[z;x ¹;y]^xˆ1;

o, equivalentemente,

[x;y;z^x][z;x;y^z][y;z;x^y]ˆ1:

Questa identitaÁ, anche se non eÁ maneggevole come quella di Jacobi, costituisce uno strumento essenziale per lo studio dei gruppiM(r;s;t) e dei loro quozienti. Infatti, posto rˆ(1‡r)^jsj 1, sˆ(1‡s)^jtj 1 e tˆ(1‡t)^jrj 1, si perviene al seguente risultato.

LEMMA 2. Sia Gˆ ha;b;ci un gruppo isomorfo a un quoziente di M(r;s;t)con r;s;t numeri interi tutti maggiori di0. Allora si ha:

(1) a^(1‡r)rb^(1‡s)sc^(1‡t)t ˆ1;

(2) a^r2rˆ1, b^s2sˆ1, c^t2tˆ1;

(3) a^strˆ1, b^rtsˆ1, c^rstˆ1;

(4) a^rr2 hbi,b^ss2 hci,c^tt2 hai.

DIM. (1) si ottiene direttamente dall'identitaÁ di Hall-Witt mentre (2) e (3) si ottengono da (1) tramite alcuni calcoli sui commutatori (per i parti- colari si vedano i lavori [7] e [1] nonche la dimostrazione del Lemma 7).

Per dimostrare (4) si pone xˆa^r,yˆb^se zˆc^t. Per il punto (1) si ha x^1‡rz^1‡t2 hbi e quindi x^1‡rz^1‡t ˆ(x^1‡rz^1‡t)^b. Dal punto (2) discende che x^r2 ˆ1, si puoÁ quindi scrivere x^rˆ[x;b]ˆz^1‡t(z ^(1‡t))^b e siccome z^1‡t(z ^(1‡t))^bˆ[z ^(1‡t);b]2B se ne conclude che x^r2 hbi. In modo ana-

logo si prova chey^s2 hcie z^t2 hai. p

OSSERVAZIONE 3. Il Lemma 2 spiega in parte l'eccezionalitaÁ del caso M(2;2;2)ˆRM(2;2;2). Infatti mentre in generale t² divide tˆ(1‡t)^jtj 1 ma t³ non lo divide, se tˆ2 si ha che 2³ˆ3² 1.

Inoltre in [9] Mennicke ha determinato l'esatto ordine di M(t;t;t) (a parte un errore nel caso un cuiteÁ pari). Si ha:

jM(t;t;t)j ˆ t²t³ se (3;t)ˆ1 3t²t³ se (3;t)ˆ3:

(

Da cioÁ si deduce facilmente che setˆt₁t₂conp(t₁)ˆp(t) e (t;t₂)ˆ1 allora jRM(t;t;t)j ˆ t²t³₁ se (3;t)ˆ1

3t²t³₁ se (3;t)ˆ3:

(

OSSERVAZIONE4. Non eÁ difficile dimostrare che M(r;s;t)'M(s;t;r)'M(t;r;s)

ma, in generale,M(r;s;t)6'M(r;t;s). Ad esempioM(1;2;3) ha ordine 234 mentreM(1;3;2) ha ordine 210.

Oltre all'Osservazione 4 e alcune identitaÁ sui commutatori enunciate nei Lemmi 2.2.2 e 2.2.4 di [3], che saranno adoperate senza un esplicito richiamo, nella dimostrazione della Proposizione 3 si utilizzano anche i seguenti lemmi.

LEMMA3. Sia G un gruppo generato da tre suoi sottogruppi ciclici A, B e C. Se[A;B]A,[B;C]B e[C;A]C allora A\B, B\C e C\A sono sottogruppi normali di G e si ha [(A\B)(B\C)(C\A);G]A\B\C.

In particolare A\B, B\C e C\A sono contenuti in Z₂(G) e se A\B\Cˆ f1gessi sono contenuti in Z(G).

DIM. Il sottogruppo A\B eÁ centralizzato da A e da B. Siccome C normalizza B e B eÁ ciclico, ne segue che C normalizza A\B e dunque A\B/G. In maniera analoga si prova cheB\C/GeC\A/G.

Se A\B\Cˆ f1g allora, se si procede come nella prima parte della dimostrazione del Lemma 1, si prova che [A\B;G]ˆ f1g, [B\C;G]ˆ f1g e [C\A;G]ˆ f1g. Dunque [(A\B)(B\C)(C\A);G]A\B\Ce sic- comeA\B\CZ(G) l'asserto eÁ dimostrato. p LEMMA4. Sia G un gruppo isomorfo a un quoziente di M(r;s;t)con r;s;t2Ztutti maggiori di0. Se Z(G)ˆ f1gallora G eÁ metabeliano.

DIM. Il Lemma 3 ed il fatto cheZ(G)ˆ f1gporgono che A\BˆB\CˆC\Aˆ f1g:

Quindi, per il punto (4) del Lemma 2, a^rrˆb^ssˆc^ttˆ1. Si conclude in quantoG⁰ˆ ha^r;b^s;c^tieG⁰⁰ˆ ha^rr;b^ss;c^tti. p

LEMMA5.Sia Pˆ hxiun gruppo ciclico di ordine pⁿ e sia A un sot- togruppo ciclico diAut(P)di ordine p^k. Allora esiste un opportunoa2A che genera A con x^aˆx^`tale che

(1) se p>2allora`ˆ1‡p^{n k};

(2) se pˆ2allora si possono dare i seguenti casi (i) `ˆ1‡2^{n k 1},

(ii) `ˆ 1‡2<sup>n k 1</sup>, (iii) kˆ1 e`ˆ 1.

DIM. L'asserto discende facilmente dal Lemma 5.4.1 di [3] e da semplici

considerazioni aritmetiche. p

EÁ conveniente dimostrare a parte che la Proposizione 3 eÁ valida nel caso deip-gruppi.

LEMMA6. Sia G un p-gruppo (finito) fattorizzato tramite tre sotto- gruppi ciclici A, B e C tali che[A;B]A,[B;C]B e[C;A]C. Allora G⁰⁰Z(G)eg₃(G)Z(G⁰).

DIM. SiaAˆ hai,Bˆ hbieCˆ hcicona^bˆa^1‡r,b^c ˆb^1‡sec^aˆc^1‡t. Si osservi che, per ogni i;j;k2Z, si ha (aⁱ)^bˆ(aⁱ)^1‡r, (b^j)^c ˆ(b^j)^1‡s e (c^k)^aˆ(c^k)^1‡t. Si p uoÁ quindi supporre (rimpiazzando eventualmentea,bec con opportune loro potenze) che gli automorfismi indotti per coniugio daa, becrispettivamente suC,AeBabbiano la forma descritta dal Lemma 5.

SeK 2NeK ˆ pⁿ‡Hp^n‡1 (conH;n2N) si scriveraÁKˆ pⁿ‡

‡w(n) e, quando non vi sia possibilitaÁ di confusione,Kˆ pⁿ‡w.

Tenendo presente che

G⁰ˆ ha^r;b^s;c^ti; G⁰⁰ˆ ha^rr;b^ss;c^tti e

[G;G;G]ˆ ha^r2;b^s2;c^t2;a^r;b^s;c^ti si devono considerare vari casi.

I^oCaso.rˆp^a,sˆp^b etˆp^g (a;b;g2N).

Si puoÁ supporreabg (il casoagb si tratta in maniera ana- loga).

Con le notazioni introdotte sopra si ha

rˆp^a‡b‡w; sˆp^b‡g‡w e tˆp^a‡g‡w:

Dalle relazioni (2) e (3) del Lemma 2 si ricava che l'ordine diadividep^3a‡b, quello dibdividep^3b‡g ep^a‡b‡2ge quello dicdividep^2a‡b‡g.

Dal Lemma 2 discende [a^rr;b]ˆ[b^ss;c]ˆ[c^tt;a]ˆ1.

Poi [c;a^rr]ˆc^{(1‡t)rr 1} e siccome (1‡t)^rr 1ˆp^2a‡b‡g‡w si ha [c;a^rr]ˆ1. Analogamente (1‡r)^ss 1ˆp^a‡2b‡g‡we siccome per ipotesi 3a‡ba‡2b‡g si ha [a;b^ss]ˆ1. Infine (1‡s)^tt 1ˆp^a‡b‡2g‡w e [b;c^tt]ˆ1 porge cheG⁰⁰Z(G).

Si ha [a^r2;b^s]ˆa^r2rˆ1, [b^s2;c^t]ˆb^s2sˆ1 e [c^t2;a^r]ˆc^t2tˆ1. Poi [c^t;a^r2]ˆc^{tf(1‡t)r2 1g}, si ha tf(1‡t)^r2 1g ˆp^2a‡2g‡w e siccome

2a‡b‡g2a‡2grisulta [c^t;a^r2]ˆ1;

[a^r;b^s2]ˆa^{rf(1‡r)s2 1g}, si ha rf(1‡r)^s2 1g ˆp^2a‡2b‡w e siccome 3a‡b2a‡2brisulta [a^r;b^s2]ˆ1;

[b^s;c^t2]ˆb^{sf(1‡s)t2 1g}, si ha sf(1‡s)^t2 1g ˆp^2b‡2g‡w e siccome a‡b‡2g2b‡2grisulta [b^s;c^t2]ˆ1;

[a^r;b^s]ˆa^r2,r²ˆp^2a‡2b‡w, 3a‡b2a‡2b e quindi [a^r;b^s]ˆ1;

[c^t;a^r]ˆc^{tf(1‡t)r 1g},tf(1‡t)^r 1g ˆp^a‡b‡2g‡w, 2a‡b‡ga‡b‡2g e quindi [c^t;a^r]ˆ1;

[b^s;c^t]ˆb^s2,s²ˆp^2a‡2b‡w,a‡b‡2g2a‡2be quindi [b^s;c^t]ˆ1;

[a^r;b^s]ˆa^{rf(1‡r)s 1g},rf(1‡r)^s 1g ˆp^2a‡b‡g‡w, 3a‡b2a‡b‡g e quindi [a^r;b^s]ˆ1;

[c^t;a^r]ˆc^t2,t²ˆp^2a‡2g‡w, 2a‡b‡g2a‡2ge quindi [c^t;a^t]ˆ1;

la dimostrazione che [b^s;c^t]ˆ1 richiede un trattamento diverso.

Dalla relazione (1) del Lemma 2 si ricava c ^tˆa^(1‡r)rb^(1‡s)sc^tt. Si ha [b^s;a^r]ˆa ^r2 ˆ1 (per quanto visto sopra) e [b^s;c^tt]ˆ1 p er- che sf(1‡s)^tt 1g ˆp^a‡2b‡2g‡w e a‡b‡2ga‡2b‡2g. Ov- viamente b^s commuta con b^(1‡s)s e quindi [b^s;c^t]ˆ1.

II^o Caso. pˆ2 e 1‡rˆ 1‡2^a, 1‡sˆ 1‡2^b e 1‡tˆ 1‡2^g (a;b;g2N).

Questo caso comprende anche il caso (iii) del Lemma 5 (se, ad esempio,b induce l'inversione suAsi puoÁ sempre scriverea^bˆa ^1‡2jAj).

Anche in questo caso si puoÁ supporre abgin quanto l'altra pos- sibilitaÁ si tratta in maniera analoga. A titolo esemplificativo viene consi- derato solamente il caso

1‡rˆ 1‡2^a; 1‡sˆ1‡2^b e 1‡tˆ1‡2^g in quanto gli altri casi sono del tutto simili.

Si ha

rˆ 2‡2^aˆ 2‡w; sˆ2^b e tˆ2^g da cui

rˆ2^b‡1‡w; sˆ2^b‡g‡w e tˆ2^g‡1‡w:

Dal Lemma 2 si ottiene che l'ordine diadivide 2^b‡3, quello dibdivide 2^3b‡ge 2^b‡2g‡1e quello dicdivide 2^b‡g‡2. Da (1‡t)^rr 1ˆ2^b‡g‡2‡wsi ha [c;a^rr]ˆ1. Da (1‡r)^ss 1ˆ 2^a‡2b‡g‡w e b‡3a‡2b‡g si ha [a;b^ss]ˆ1. Infine da (1‡s)^tt 1ˆ2^b‡g‡2‡web‡g‡2b‡2g‡1 si ottiene [b;c^tt]ˆ1.

Questo prova cheG⁰⁰Z(G); il fatto che [G;G;G]Z(G⁰) si dimostra in

maniera analoga. p

DIMOSTRAZIONE DELLAPROPOSIZIONE3. SiaAˆ hai,Bˆ hbieCˆ hci.

Conviene iniziare dimostrando cheGeÁ supersolubile. Ragionando come nella dimostrazione della Proposizione 1 si ricava che seA_G,B_GeC_Gsono tutti identici alloraGeÁ nilpotente e quindi (essendo finitamente generato) supersolubile. Esclusa tale possibilitaÁ, si devono distinguere quattro casi.

(a) I tre sottogruppiA,BeCsono finiti.

In questo caso si ragiona per induzione sujAj ‡ jBj ‡ jCj(la base del- l'induzione eÁ triviale). SeA_G6ˆ f1g, l'ipotesi induttiva applicata aG=A_Ged il fatto che A_G eÁ ciclico porgono la conclusione. Si ragiona in maniera analoga seB_G6ˆ f1goC_G6ˆ f1g.

(b) Uno solo tra i gruppiA,BeCeÁ infinito.

Non eÁ restrittivo supporre che siaCad avere cardinalitaÁ infinita; in tal caso si ragiona per induzione su jAj ‡ jBj. SeA_G6ˆ f1g (o B_G6ˆ f1g) l'i- potesi induttiva applicata aG=A_G(ovvero aG=B_G) e il fatto cheA_G(eB_G) eÁ ciclico permettono di concludere. SeCG6ˆ f1gallora inGˆG=CGancheC risulta finito e si conclude per il punto precedente.

(c) Uno solo tra i sottogruppiA,BeCeÁ finito.

Si supponga che sia Aad essere finito. In questo caso si ragiona per induzione su jAj. Se A_G6ˆ f1g si conclude per l'ipotesi induttiva, se B_G6ˆ f1g(oppureC_G6ˆ f1g) allora, considerandoG=B_G(oppureG=C_G), si eÁ ricondotti al caso (b).

(d) I tre sottogruppiA,BeCsono infiniti.

Allora quozientandoG tramiteAG (ovveroBG oCG) si eÁ ricondotti al caso precedente.

Per dimostrare che G⁰⁰Z(G) e g₃(G)Z(G⁰) si devono distinguere cinque casi (tenendo conto del fatto che gli unici automorfismi del gruppo ciclico infinito sono l'identitaÁ e l'inversione).

(1) [a;b]ˆ1 (o [b;c]ˆ1 o [c;a]ˆ1).

In questo caso il gruppoABeÁ abeliano eGsi fattorizza nel prodotto dei due sottogruppi abelianiABeC. Per un noto risultato dovuto a Itoà ([5])G risulta metabeliano e in questo caso l'asserto eÁ dimostrato.

(2)a^bˆa ¹,b^c ˆb ¹ec^aˆc ¹.

In questo caso si haG⁰ˆ ha²;b²;c²ie si verifica facilmente cheG⁰risulta abeliano.

(3)a^bˆa ¹,b^cˆb ¹,c^aˆc^1‡t,bha ordine infinito echa ordine finito.

Dall'identitaÁ di Hall-Witt si ottiene [a;b;c^a][c;a;b^c][b;c;a^b]ˆ1 da cui [a ²;c]^a[c^t;b]^c[b ²;a]^bˆ1 e (c^{(1‡t)2 1})^{a 1}ˆ(b ^{1‡( 1)t})^c. Siccome per ipotesi cha ordine finito ebha ordine infinito i due membri dell'ultima uguaglianza devono ridursi all'identitaÁ e quindi [c;a²]ˆ1 e [b;c^t]ˆ1. Si ha ovviamente [a;b²]ˆ1 e quindiG⁰ˆ ha²;b²;c^tirisulta abeliano.

(4)a^bˆa ¹,b^cˆb^1‡s,c^aˆc^1‡t,bechanno ordine finito eaha ordine infinito.

Siccome b e c hanno ordine finito si puoÁ supporre s1 e t1. Da [a;b;c^a][c;a;b^c][b;c;a^b]ˆ1 segue [a ²;c]^a[c^t;b]^c[b^s;a]^bˆ1 e [a;b^s]2BC.

Ma [a;b^s]ˆa ^{1‡( 1)s}eaha ordine infinito mentreBCeÁ un sottogruppo finito di G, dunque [a;b^s]ˆ1. Si ha poi [c;a²]^{a 1}ˆ(b^s)^c (ovesˆ(1‡s)^jtj 1).

PoicheÂA\B\Cˆ f1gil Lemma 3 porgeB\CZ(G) e quindib^s2Z(G) e [c;a²]ˆc^2t‡t2 2Z(G). Si ha b^sˆ(b^s)^cˆb^(1‡s)s da cui b^ssˆ1 e quindi [b^s;c^t]ˆ1. Analogamente c^2t‡t2 ˆ(c^2t‡t2)^aˆc^{(1‡t)(2t‡t2)} porge [c^t;a²]ˆ1.

Siccome [a²;b^s]ˆ1 ne risulta cheG⁰ˆ ha²;b^s;c^tieÁ abeliano.

(5)a^bˆa^1‡r,b^cˆb^1‡s,c^aˆc^1‡t, cona,becdi ordine finito.

Non eÁ restrittivo supporrer;s;t1. Inoltre in questo casoGha ordine finito; per provare l'asserto si ragiona per induzione su jGj (la base del- l'induzione essendo triviale).

SianoN₁ eN₂ due sottogruppi normali minimali distinti diG. Allora, postoG₁ˆG=N₁eG₂ˆG=N₂, dall'ipotesi induttiva si ricava

[G⁰⁰_i;G_i]ˆ f1g ˆ[[G_i;G_i;G_i];G⁰_i] (i2 f1;2g)

da cui [G⁰⁰;G]N1\N2ˆ f1g, [[G;G;G];G⁰]N1\N2ˆ f1ge in questo caso l'asserto eÁ provato.

Quindi si puoÁ supporre cheGammetta un unico sottogruppo normale minimoN; taleNrisulta essere unp-gruppo per qualche numero primop.

Ne discende che FˆF(G), il sottogruppo di Fitting di G, eÁ un p-sotto- gruppo diG. Inoltre, essendoGsupersolubile, si haG⁰F(5.4.10 di [12]) e FeÁ unp-sottogruppo di Sylow diG.

Si puoÁ scrivereaˆa1a2,bˆb1b2ecˆc1c2cona1,b1ec1p-elementi di G(necessariamente contenuti inF) ea₂,b₂ec₂elementi di ordine coprimo con p. Si ha Fˆ ha₁;b₁;c₁i e posto Hˆ ha₂;b₂;c₂i si verifica (tenendo conto cheb₂normalizzaha₂i,c₂normalizzahb₂iea₂normalizzahc₂i) cheH eÁ unp⁰-sottogruppo diG; si ha quindiGˆFH,F\Hˆ f1g. Inoltre, poi- cheÂG=FeÁ abeliano, ancheHrisulta abeliano.

Sia c₂6ˆ1. Si ha [H;c₂]ˆ f1g e [c₁;c₂]ˆ1, inoltre [c₂;a₁]2 2F\ hc₂i ˆ f1g. Quindi [G;c₂]ˆ h[b₁;c₂]i e siccomehb₁i eÁ un p-gruppo mentrec₂induce unp⁰-automorfismo suhb₁isi ha [h[b₁;c₂]i;c₂]ˆ h[b₁;c₂]i.

Non si puoÁ avere [b1;c2]ˆ1 perche in tal caso c22Z(G)F. Quindi h[b1;c2]ideve contenereN, l'unico sottogruppo minimale diG, e siccome h[b1;c2]i \Z(G)ˆ f1g si deve avere Z(G)ˆ f1g. Dal Lemma 4 discende cheGeÁ metabeliano e in questo caso l'asserto eÁ dimostrato.

Si conclude allo stesso modo sea₂6ˆ1 o b₂6ˆ1. Infine, nel caso in cui a2ˆb2ˆc2ˆ1, GˆF eÁ un p-gruppo (finito) e il Lemma 6 porge la

conclusione. p

5. Dimostrazione del Teorema 1.

EÁ conveniente enunciare la seguente generalizzazione del Lemma 2.

LEMMA7.Siano r;s;t2Ztutti diversi da0e da 2e sia Gˆ ha;b;ci un quoziente di M(r;s;t)ˆ ha;b;cja^bˆa^1‡r ;b^cˆb^1‡s ;c^aˆc^1‡t i, allora G eÁ finito e risulta

(1) ha^ri hb^s;c^ti,hb^si ha^r;c^tiehc^ti ha^r;b^si;

(2) a^rr2 hbi,b^ss2 hci,c^tt 2 hai;

(3) a^r2rˆ1, b^s2sˆ1, c^t2t ˆ1;

(4) a^sr2 hci,b^ts2 hai,c^rt 2 hbi;

(5) a^strˆ1, b^rtsˆ1, c^rst ˆ1.

DIM. Utilizzando l'identitaÁ di Hall-Witt [a;b;c^a][c;a;b^c][b;c;a^b]ˆ1 si

perviene a

[a^r;c^a][c^t;b^c][b^s;a^b]ˆ1 da cui

[a;b^s]^b[b;c^t]^c[c;a^r]^aˆ1:

Ses>0 allora [a;b^s]ˆa^r; se inveces<0 allora [a;b^s]ˆ[a;b ^s] ^bs ˆ

ˆ(a^r) ^bs. Analogamente se t>0 allora [b;c^t]ˆb^s, se t<0 allora [b;c^t]ˆ[b;c ^t] ^ct ˆ(b^s) ^ct e se r>0 allora [c;a^r]ˆc^t mentre se r<0 allora [c;a^r]ˆ[c;a ^r] ^ar ˆ(c^t) ^ar. Siaa ^b1‡s ˆaⁱ,b ^c1‡t ˆb^j ec ^a1‡r ˆc^k allora, posto

lˆ 1‡r ses>0 i ses<0

mˆ 1‡s set>0 j set<0

nˆ 1‡t ser>0 k set<0;

si ottiene

a^lrb^msc^ntˆ1:

(@)

Per dimostrare cheGeÁ finito si devono considerare due casi.

Almeno uno traa,becha ordine finito.

Non eÁ restrittivo supporre che siaaad avere ordine finito; siajhaij ˆm.

Alloracˆc^amˆc^(1‡t)me quindi (siccome 1‡t6ˆ 1),cha ordine finito che divide (1‡t)^m 1. Sejhcij ˆn, ragionando in maniera analoga, si prova chebha ordine finito che divide (1‡s)ⁿ 1. Siccome ogni elemento diGsi puoÁ scrivere nella formaaⁱb^jc^k(coni;j;k2Zopportuni) si puoÁ concludere che, in questo caso,Gha ordine finito.

I tre elementia,bechanno tutti ordine infinito.

Ragionando per assurdo si dimostra che questo caso non si puoÁ dare.

Posto a1ˆa^lr,b1ˆb^ms e c1ˆc^nt si ha a16ˆ1, b16ˆ1,c16ˆ1 e, per (@), a1b1c1ˆ1. Si osservi che non eÁ restrittivo supporrelr>0 (in caso con- trario, in luogo dia1,b1 ec1, si considerano i rispettivi inversi). Si ottiene quindi

b₁¹a₁¹ˆc1ˆc^c₁ˆ(b₁¹a₁¹)^c ˆb₁^{1 s}a₁^c

e [a1;c]ˆb₁^s. Siccome a1ˆa^lr risulta [a1;c]ˆc^{1 (1‡t)lr} 2 hci e dunque l'elementob2ˆb^s₁appartiene ahbi \ hci. Ma allora

b₂ˆb^c₂ˆb^(1‡s)₂

ebdovrebbe avere ordine finito, contraddicendo le ipotesi.

Tenendo presente chea,bechanno ordine finito si ottiene ha^lri ˆ ha^ri; hb^msi ˆ hb^si e hc^nti ˆ hc^ti;

utilizzando tali uguaglianze si dimostra facilmente (1).

Il punto (2) si ricava ragionando come nella dimostrazione del punto (4) del Lemma 2.

Dal punto (2) si ottiene

1ˆ[a^rr;b]ˆa^r2r; 1ˆ[b^ss;c]ˆb^s2s e 1ˆ[c^tt;a]ˆc^t2t; il che prova il punto (3).

Tenendo conto cheG eÁ finito, la Proposizione 3 porge chea^r,b^s e c^t commutano tra loro. Per (1) si puoÁ scriverea^rˆb^isc^jt(i;j2Zopportuni) e quindia^srˆ(b^isc^jt)^sˆb^issc^jst. PoicheÂ, per (2),b^ss2 hcisi puoÁ concludere chea^sr2 hci. In maniera del tutto analoga si prova cheb^ts2 haiec^rt2 hbi.

Infine, per dimostrare (5), si puoÁ scriverea^srˆc^k(k2Zopportuno) da cuia^srˆ(c^k)^aˆc^k(1‡t) ˆa^(1‡s)trea^strˆ1. Allo stesso modo si verifica che

b^rtsˆ1 ec^rstˆ1. p

DIMOSTRAZIONE DEL TEOREMA1. Sia G un quoziente di M(r;s;t) con r;s;t2Z. Il fatto che, ser6ˆ0; 2,s6ˆ0; 2 et6ˆ0; 2,GeÁ finito discende dal Lemma 7 (la dimostrazione fornita in [7], dove viene esplicitato solo il caso r;s;t2N, non eÁ molto chiara). I fatti cheGeÁ supersolubile, cheG⁰⁰Z(G) e cheg₃(G)Z(G⁰) discendono direttamente dalla Proposizione 3. Per dimo- strare che, sotto tali ipotesi, l'ordine diGdividej(r;s)(s;t)(t;r)rstjsi ragiona per induzione sujGj(la base dell'induzione essendo triviale).

Il gruppoLˆ ha^r;b^s;c^tieÁ un sottogruppo diGcontenuto ing₃(G), in particolareLeÁ abeliano. InoltreL/Ginfatti [a^r;b]ˆa^rr2Lpoi, siccome rdivider, si p uoÁ scrivererˆrke poiche [c;a^r]ˆc^tec^t commuta conce cona^r(in quantoa^r2G⁰) si ha [a^r;c]ˆ[c;a^rk] ¹ˆ[c;a^r] ^kˆc ^kt2L. In maniera analoga si prova che [b^s;a];[b^s;c];[c^t;a];[c^t;b]2L.

SeLˆ f1gallora l'ordine diGdividejrstje l'asserto eÁ dimostrato. Si puoÁ quindi assumere cheL6ˆ f1g. Siapun divisore primo dell'ordine diL.

SeLnon eÁ unp-gruppo si puoÁ scrivereLˆL1L2conL1p-sottogruppo non banale eL₂p⁰-sottogruppo non banale. Per l'ipotesi induttiva gli ordini dei due gruppi G=L₁ e G=L₂ dividono entrambi j(r;s)(s;t)(t;r)rstj e sic- come (jL₁j;jL₂j)ˆ1 anche l'ordine diGdeve dividere tale numero.

Si supponga quindi cheLsia un p-gruppo. PoicheÂG=Lha ordine che dividejrstjper dimostrare l'asserto eÁ sufficiente far vedere che l'ordine di Ldivide (r;s)(s;t)(t;r); per far questo si sfrutta il fatto che il reticolo dei sottogruppi di unp-gruppo ciclico eÁ totalmente ordinato.

Siarˆp^ar⁰,sˆp^bs⁰,tˆp^gt⁰con (r⁰s⁰t⁰;p)ˆ1; si puoÁ supporre (even- tualmente rinominando gli elementi a, b e c) che abg oppure che agb. Si p uoÁ inoltre considerare solamente il casoabgin quanto l'altro caso eÁ del tutto simile. Siccome (r;s)ˆp^a(r⁰;s⁰), (s;t)ˆp^b(s⁰;t⁰) e (t;r)ˆp^a(t⁰;r⁰) saraÁ sufficiente dimostrare chejLjdividep^2a‡b.

Dal Lemma 7 si ottieneLˆ ha^r;b^si.

Ancora dal Lemma 7 si ottiene a^p2arˆ1 da cui a^pa‡brˆ1 e a^rsrˆ1;

poicheÂc^rstˆ1 risulta ancheb^rssˆ1.

Sempre per il Lemma 7 si ha a^rr2A\B; a questo punto si possono dare due casi

ha^rri hb^ssi.

Siccome a^rr;b^ss2 hb^ssi l'ordine di L=hb^ssi divide p^a‡b e poiche b^rssˆ1 l'ordine diLdividep^2a‡b.

ha^rri hb^ssi.

Siccome a^rr;b^ss2 ha^rri l'ordine di L=ha^rri divide p^a‡b e poiche a^r2sˆ1 l'ordine diLdividep^2a‡b.

Dunque in ogni casojLjdivide (r;s)(s;t)(t;r) e l'asserto eÁ dimostrato. p OSSERVAZIONE5. SiaGˆM(r;s;t) e si supponga cheGsia finito. SepeÁ il piuÁ piccolo divisore primo dijGj, siccomeGeÁ supersolubile esso ammette unp-complemento normale (si veda 5.4.8 di [12]). In particolare essendo

G=G⁰'CrCsCt

serˆp^a,sˆp^betˆp^galloraRM(r;s;t) (il quoziente diGtramite il suo residuale nilpotente) eÁ unp-gruppo isomorfo a unp-sottogruppo di Sylow di G. Inoltre il residuale nilpotenteN diGeÁ abeliano e non eÁ difficile dimo- strare che il suo ordine eÁjrstj_p0 (sen2Nconn_p⁰ si indica lap⁰-parte din cioeÁ quel numeron⁰tale chenˆp^ln⁰con (n⁰;p)ˆ1 mentre connpˆp^lsi indica lap-parte din).

L'esatta determinazione dell'ordine vˆvp(a;b;g) di RM(p^a;p^b;p^g) sembra peroÁ abbastanza difficile. Numerosi esperimenti condotti col soft- wareGAPportano a congetturare chevdivida sempre il numero

VˆV_p(a;b;g)ˆ (p^a;p^b)(p^b;p^g)(p^g;p^a)[rst]_p=(p^a;p^b;p^g) sep6ˆ3 3(3^a;3^b)(3^b;3^g)(3^g;3^a)[rst]₃=(3^a;3^b;3^g) sepˆ3 (

Per l'Osservazione 3 si havp(g;g;g)ˆVp(g;g;g) ma, in generale, puoÁ ac- cadere chev6ˆVcome mostrano i risultati riportati nella Tabella 2. Si osservi che in tutti i casi considerati si havp(a;b;g)ˆvp(a;g;b); risulta peroÁ (ad esempio)jM(2;4;8)j ˆ2¹⁶313313 mentrejM(2;8;4)j ˆ2¹⁶35²41².

Un altro problema che sembra di non facile soluzione eÁ la determina- zione dell'esatta classe di nilpotenza diRM(r;s;t).

TABELLA2.

pˆ2 pˆ3 pˆ5

a b g v V=v classe v V=v classe v V=v classe

1 1 1 2¹¹ 1 4 3⁹ 1 5 5⁸ 1 3

1 1 2 2¹² 1 5 3¹¹ 1 5 5¹⁰ 1 4

1 2 2 2¹⁴ 1 6 3¹³ 3 5 5¹³ 1 5

2 2 2 2¹⁶ 1 3 3¹⁷ 1 4 5¹⁶ 1 3

1 2 3 2¹⁶ 1 6 3¹⁵ 3 5 5¹⁵ 1 5

1 3 2 2¹⁶ 1 7 3¹⁵ 1 6 5¹⁵ 1 6

2 2 3 2¹⁸ 1 4 3¹⁹ 1 4 5¹⁸ 1 4

2 2 4 2²⁰ 1 4 3²¹ 1 5 5²⁰ 1 4

1 3 5 2²² 2 7 3²¹ 9 6 5²¹ 5 6

1 5 3 2²² 2 9 3²¹ 9 8 5²¹ 5 8

3 3 3 2²⁴ 1 3 3²⁵ 1 4 5²⁴ 1 3

1 4 6 2²⁶ 4 8 3²⁵ 27 7 5²⁵ 25 7

1 6 4 2²⁶ 4 10 3²⁵ 27 9 5²⁵ 25 9

2 4 5 2²⁸ 1 5 3²⁸ 1 5 5²⁸ 1 5

2 4 6 2³⁰ 1 5 3³⁰ 3 5 5³⁰ 1 5

OSSERVAZIONE6. Non eÁ difficile dimostrare che sep6ˆ2 o sep^a,p^bep^g sono tutti maggiori di 4 alloraRM(p^a;p^b;p^g) eÁ un p-gruppopowerfulnel senso della definizione data in [8]. Ne segue che seM(r;s;t) eÁ finito allora un suop-sottogruppo di Sylow eÁ unp-gruppopowerfulper ogni numero primo disparip(si rammenti cheM(r;s;t) eÁ supersolubile e si veda 5.4.8 di [12]).

OSSERVAZIONE7. Vi eÁ un altro caso in cuiM(r;s;t) risulta finito. Si sup- ponga infattirˆ 2 e siasˆ2s1‡1 dispari; allorarˆ(1‡r)^jsj 1ˆ 2, sˆ(1‡s)^jtj 1 etˆ(1‡t)² 1. Condizione necessaria e sufficiente af- fincheÂM( 2;2s1‡1;t) sia finito eÁ cher,setsiano tutti diversi da 0, il che accade se e solo set62 f 2;0g. In questo caso si puoÁ dimostrare che

jM( 2;2s1‡1;t)j ˆ jrstj:

OSSERVAZIONE8. Mentre questo lavoro era in fase di revisione eÁ ap- parsa la pubblicazione [2] in cui vengono studiati i gruppiG(a;b;c;d;e;f) definiti dalla presentazione

hx;y;zj(x^a)^yˆx^b;(y^c)^zˆy^d;(z^e)^xˆz^fi; a;b;c;d;e;f 2Z:

Si ha ovviamente M(r;s;t)ˆG(1;1‡r;1;1‡s;1;1‡t) e quindi i gruppi G(a;b;c;d;e;f) costituiscono una generalizzazione di quelli considerati nel presente lavoro. Il Teorema 2 di [2] stabilisce che, se (a;b)ˆ

ˆ(c;d)ˆ(e;f)ˆ1 e se nessuna delle tre coppie di parametri eÁ uguale a (1;1), allora G(a;b;c;d;e;f) ammette un quoziente universale QˆQ(a;b;c;d;e;f) tra quelli in cui x, y e z hanno ordine finito, Q eÁ finito e risolubile e Q⁰ eÁ nilpotente di classe al piuÁ due.

Non eÁ difficile vedere come, utilizzando con poche modifiche la dimo- strazione del Teorema 1, sia possibile affermare che risultaQ⁰⁰Z(Q) (si veda l'Osservazione 2).

Si osservi anche che in [11] eÁ dimostrato che, se 1a<b, 1c<d e (a;b)ˆ(c;d)ˆ1, allora G(a;b;c;d;1;f) ha ordine finito (si veda anche il Lemma 6 di [2]). D'altro canto eÁ facile dimostrare che Q(n;n‡1;n;n‡1;n;n‡1)ˆ f1g per ogni n2Z; tenendo conto di al- cuni risultati ottenuti in [2] appare ragionevole formulare la seguente

CONGETTURA. Il gruppo G(n;n‡1;n;n‡1;n;n‡1) risulta infinito per ogni n2Zn f 2; 1;0;1g.

In [10] Neumann afferma che se 2a jbj, 2c jdj e 2e jfj alloraG(a;b;c;d;e;f) eÁ un gruppo infinito; purtroppo la dimostrazione da lui fornita non eÁ corretta.

Ringraziamenti. L'autore esprime la sua gratitudine all'anonimo re- feree per l'attenta e puntigliosa lettura del testo, grazie alla quale alcuni errori e parecchie inesattezze hanno potuto essere eliminati dalla versione finale di questo lavoro.

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Manoscritto pervenuto in redazione il 4 luglio 2008