VECTEURS, DROITES ET PLANS DE L’ESPACE
Terminale Spé Maths − Chapitre G-01
Table des matières
I
Positions relatives dans l’espace 21) Positions relatives de deux droites . . . 2
2) Positions relatives de deux plans. . . 2
3) Positions relatives d’une droite et d’un plan . . . 2
II
Vecteurs de l’espace 3 1) Du plan à l’espace . . . 32) vecteurs colinéaires . . . 4
3) vecteurs coplanaires . . . 4
III
Droites et plans de l’espace 6 1) Caractérisation vectorielle d’une droite . . . 62) Caractérisation vectorielle d’un plan . . . 6
IV
Base et repérage dans l’espace 7 1) Bases de l’espace . . . 72) Repère de l’espace . . . 8
3) Coordonnées dans l’espace . . . 8
4) Calculs sur les coordonnées . . . 8
V
Représentations paramétriques 9 1) Représentation paramétrique d’une droite . . . 92) Représentation paramétrique d’un plan. . . 10
I Positions relatives dans l’espace
1) Positions relatives de deux droites
Deux droites de l’espace peuvent être :
COPLANAIRES :
SÉCANTES PARALLÈLES
d∩d′= {A}
detd′ sont sécantes en A.
d∩d′= ∅
detd′ sont (strictement) parallèles.
d∩d′=d=d′ detd′ sont confondues.
NON COPLANAIRES :
d∩d′= ∅
detd′ sont non coplanaires.
2) Positions relatives de deux plans
Deux plans de l’espace peuvent être :
SÉCANTS PARALLÈLES
P∩P′=d
P etP′ sont sécants end.
P∩P′= ∅
P etP′ sont (strictement) parallèles.
P∩P′=P =P′ P etP′ sont confondus.
3) Positions relatives d’une droite et d’un plan
Une droite et un plan de l’espace peuvent être :
SÉCANTS PARALLÈLES
d∩P = {A} d∩P = ∅ d∩P =d
dest incluse dans P (d⊂P).
II Vecteurs de l’espace
1) Du plan à l’espace
On étend à l’espace la notion de vecteurs :
Soient deux points distincts A etB de l’espace. Le vecteur Ð→
AB a pour :
●direction : celle de la droite (AB);
●sens : deA vers B;
●longueur (ou norme) : la distance AB. On la note∣∣Ð→
AB∣∣ ou plus simplementAB.
DÉFINITION
SiAetB sont confondus, alors le vecteurÐ→
AB=Ð→
AA= Ð→0, appelé vecteur nul. Sa norme vaut0et il n’a ni direction, ni sens.
REMARQUE
On étend également à l’espace les opérations associées aux vecteurs (addition de deux vecteurs, multiplication d’un vecteur par un réel). Les règles de calcul sont les mêmes que dans le plan, et la relation de Chasles aussi :
●Deux vecteurs sont égaux si et seulement si ils ont même direction, même sens et même norme.
●Ð→
AB=ÐÐ→
CD⇐⇒ABDC est un parallélogramme (éventuellement aplati).
●Pour tout point Ade l’espace et tout vecteur Ð→u, il existe un unique pointB tel queÐ→
AB= Ð→u.
● La translation de vecteur Ð→
AB est la transformation qui à tout point C associe le point D tel que ÐÐ→CD=Ð→
AB.
PROPRIÉTÉ admise
Règles de calculs :
Soit kun réel etÐ→u un vecteur de l’espace :
●kÐ→u =0⇐⇒k=0ou Ð→u = Ð→0.
●SiÐ→u ≠0 etk≠0, alors le vecteurkÐ→u a la même direction que le vecteur Ð→u, le même sens que Ð→u si k>0,et le sens contraire si k<0. Enfin,∣∣kÐ→u∣∣ = ∣k∣ × ∣∣Ð→u∣∣.
SoientA,B,C etDquatre points de l’espace :
●Ð→
AB+Ð→
BC=Ð→
AC (relation de Chasles).
●Ð→
AB+Ð→
AC=Ð→
AD⇐⇒ABDC est un parallélogramme.
Soit ketk′ deux réels et Ð→u etÐ→v deux vecteurs de l’espace :
● Ð→u − Ð→v = Ð→u + (−Ð→v);
●k(Ð→u + Ð→v) =kÐ→u +kÐ→v ;
● (k+k′)Ð→u =kÐ→u +k′Ð→u ... ;
PROPRIÉTÉ admise
2) vecteurs colinéaires
SoientÐ→u etÐ→v deux vecteurs non nuls de l’espace.
On dit que les vecteursÐ→u etÐ→v sont colinéairessi et seulement si il existe un réelktel queÐ→u =kÐ→v.
DÉFINITION
● On dit alors que les vecteursÐ→u etÐ→v ont même direction.
● Le vecteur nulÐ→
0 est colinéaire à tous les vecteurs de l’espace (puisque Ð→
0 =0Ð→u).
REMARQUES
SoientA,B,C etDquatre points de l’espace.
●Les pointsA,B, etC sont alignés si et seulement si les vecteurs Ð→
AB etÐ→
AC sont colinéaires.
●Les droites(AB)et(CD)sont parallèles si, et seulement si les vecteursÐ→
AB etÐÐ→
CD sont colinéaires.
PROPRIÉTÉ admise
3) vecteurs coplanaires
a Définition
SoientÐ→u,Ð→v etÐ→w trois vecteurs de l’espace.
On dit que les vecteurs Ð→u,Ð→v etÐw→sont coplanairessi pour tout point quelconqueO de l’espace, les points O,A,B etC tels queÐ→u =Ð→
OA,Ð→v =Ð→
OB etÐ→w =Ð→
OC sont dans un même plan.
DÉFINITION
Si deux vecteurs parmi les trois vecteurs u,⃗ ⃗vetw⃗ sont colinéaires, alorsu,⃗ v⃗etw⃗ sont nécessairement coplanaires. En effet, siu⃗etv⃗sont colinéaires, les pointsO,AetB sont alignés. Donc il existe au moins un plan qui contient la droite(OA)et le pointC, et les vecteursu,⃗ v⃗etw⃗ sont donc bien coplanaires.
REMARQUE
b Combinaison linéaire
Soient deux vecteurs de l’espaceu⃗etv.⃗
On dit que le vecteur w⃗ est une combinaison linéairedes vecteurs u⃗etv⃗si et seulement si il existe deux réels α etβ tels quew⃗=αu⃗+β⃗v.
DÉFINITION
● Si u⃗ etv⃗ sont colinéaires, alors il existe un réelk tel que u⃗=kv⃗ et par suite, les vecteursw,⃗ u⃗ etv⃗ sont colinéaires.
● On peut faire des combinaisons linéaires de plus de deux vecteurs.
REMARQUES
c Théorème
Soientu,⃗ ⃗v etw⃗ trois vecteurs tels que u⃗ et⃗v ne sont pas colinéaires.
Les vecteursu,⃗ v⃗etw⃗ sont coplanaires si et seulement si il existe deux réelsaetbtels quew⃗=au⃗+b⃗v.
THÉORÈME
On reprend les notations de la figure ci-dessus.
Puisque u⃗ et⃗v ne sont pas colinéaires, alors ce sont deux vecteurs directeurs du plan(OAB). Par définition, «u,⃗ ⃗vetw⃗ sont coplanaires » signifie queC appartient au plan (OAB). D’après le théorème dua), il existe alors deux réelsaetbtels queÐ→
OC=aÐ→
OA+bÐ→
OB, soitw⃗=au⃗+b⃗v.
DÉMONSTRATION
Conséquences :
●Quatre pointsA,B,C etDsont coplanaires ⇔les vecteursÐ→
AB,Ð→
AC etÐ→
AD sont coplanaires.
●Les droites (AB)et(CD)sont coplanaires⇔ les vecteursÐ→
AB,Ð→
AC etÐ→
ADsont coplanaires.
●Deux plans sont parallèles ⇔ deux vecteurs non colinéaires de l’un et deux vecteurs non colinéaires de l’autre sont coplanaires.
PROPRIÉTÉS admises
d Vecteurs linéairement indépendants
Soientu,⃗ ⃗v etw⃗ trois vecteurs de l’espace.
On dit que les vecteursu,⃗ v⃗etw⃗ sontlinéairement indépendants si l’un des vecteurs n’est pas une combinaison linéaire des deux autres.
DÉFINITION
Soientu,⃗ ⃗v etw⃗ trois vecteurs de l’espace.
Les vecteurs u,⃗ v⃗ et w⃗ sont linéairement indépendants si et seulement si l’égalité au⃗+bv⃗+cw⃗ = ⃗0 implique a=b=c=0.
PROPRIÉTÉ
Cette propriété étant la contraposée du théorème précédent, sa démonstration est immédiate.
DÉMONSTRATION
Trois vecteurs sont linéairement indépendants si et seulement si ils ne sont pas coplanaires.
REMARQUE
III Droites et plans de l’espace
1) Caractérisation vectorielle d’une droite
On appelle vecteur directeur d’une droite dde l’espace, tout vecteur Ð→u non nul dont la direction est celle de la droited.
SiA est un point dedetÐ→u un vecteur directeur de d, alors on dit que(A,Ð→u) est un repèrede d.
DÉFINITION
SoientA etB deux points distincts de l’espace.
La droite(AB)est l’ensemble des pointsM de l’espace tels que les vecteursÐÐ→
AM etÐ→
ABsont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel ktel que ÐÐ→
AM =kÐ→
AB.
PROPRIÉTÉ admise
2) Caractérisation vectorielle d’un plan
a Propriété et définition
SoientA,B etC trois points non alignés dans l’espace.
Le plan(ABC)est l’ensemble des pointsM pour lesquels les vecteursÐÐ→
AM,Ð→
ABetÐ→
AC sont coplanaires (c’est-à-dire il existe deux réelsx ety tels queÐÐ→
AM =xÐ→
AB+yÐ→
AC)
PROPRIÉTÉ admise
SoientÐ→u etÐ→v deux vecteurs non colinéaires d’un planP, etA un point deP.
On dit alors que (A;Ð→u ,Ð→v)est un repèredu plan P et que (Ð→u ,Ð→v)est une basede ce plan.
DÉFINITION
b Direction d’un plan
Soit P un plan de l’espace. On appelledirection du plan P l’ensemble des vecteurs Ð→
AB, oùA etB sont deux points distincts et quelconques appartenant àP.
DÉFINITION
c Comment définir un plan
Un plan peut être défini soit :
●par trois points distincts non alignés ;
●par une droite et un point n’appartenant pas à cette droite ;
●par deux droites sécantes ;
●par deux droites strictement parallèles.
DÉFINITION
IV Base et repérage dans l’espace
1) Bases de l’espace
Une base de l’espace est formée par trois vecteurs non coplanaires.
DÉFINITION
Soit (⃗ı,⃗,k⃗) une base de l’espace.
Pour tout vecteur u, il existe un unique triplet de réels⃗ (x;y;z)tel que u⃗=x⃗ı+y⃗+z⃗k.
PROPRIÉTÉ
1) Existence :
Soit O un point de l’espace et M le point tel queÐÐ→
OM = Ð→u.
Les vecteurs⃗ı,⃗et⃗kétant non coplanaires, le plan(O;⃗ı,)⃗ et la droite∆(M;⃗k)ne sont pas parallèles.
Soit M′ le point d’intersection plan(O;⃗ı,⃗)et de la droite ∆.
M′ est un point du plan(O;⃗ı,⃗)donc il existe deux réelsx ety tels queÐÐ→
OM′=x⃗ı+y⃗.
Les vecteurs ÐÐÐ→
M M′ etk⃗ sont colinéaires, il existe donc un réelz tel que ÐÐÐ→
M M′=zk.⃗ Or d’après la relation de Chasles, ÐÐ→
OM =ÐÐ→
OM′+ÐÐÐ→
M′M donc ÐÐ→
OM =x⃗ı+y⃗+zk.⃗ 2) Unicité :
Supposons qu’il existe un autre triplet de réels(x′;y′;z′)tel queÐ→u =x′Ð→ı +y′Ð→ +z′Ð→
k =xÐ→ı +yÐ→ +zÐ→ k. Alors (x−x′)Ð→ı + (y−y′)Ð→ + (z−z′)Ð→
k = Ð→0. Or les vecteurs Ð→ı ,Ð→ etÐ→
k ne sont pas coplanaires, doncx=x′,y=y′ etz=z′.
DÉMONSTRATION
Soient deux vecteursÐ→u(x;y;z) etÐ→v(x′;y′;z′) dans une base de l’espace et soitα un réel.
● Ð→u = Ð→v ⇐⇒x=x′,y=y′ etz=z′.
● Ð→u + Ð→v a pour coordonnées dans cette base (x+x′;y+y′;z+z′).
●αÐ→u a pour coordonnées (αx;αy;αz).
PROPRIÉTÉS admises
2) Repère de l’espace
Un repère de l’espace est un quadruplet composé d’un pointO (origine du repère) et d’une base(⃗ı,⃗,⃗k) de l’espace. On le note (O;⃗ı,⃗,k⃗).
DÉFINITION
3) Coordonnées dans l’espace
Soit (0;⃗ı,,⃗k)⃗ un repère de l’espace.
Pour tout pointM de l’espace, il existe un unique triplet de réels (x;y;z) tel que ÐÐ→
OM=x⃗ı+y⃗+z⃗k.
Ces trois réels sont les coordonnées du point M dans le repère(0;⃗ı,⃗,⃗k). x est l’abscisse,y l’ordonnéeetz lacote deM dans ce repère.
THÉORÈME admis
4) Calculs sur les coordonnées
Tous les résultats établis en géométrie plane s’étendent à l’espace par l’adjonction d’une 3e coordonnée :
Dans un repère (0;⃗ı,,⃗k⃗) :
●Siu⃗ etv⃗ont pour coordonnées respectives (x;y;z) et(x′;y′;z′), alors : - Pour tout réelk, le vecteurk⃗ua pour coordonnées (kx;ky;kz).
- Le vecteur u⃗+ ⃗v a pour coordonnées (x+x′;y+y′;z+z′).
●SiA etB ont pour coordonnées respectives(xA;yA;zA) etxB;yB;zB), alors : - Le vecteur Ð→
AB a pour coordonnées(xB−xA;yB−yA;zB−zA). - Le milieu I du segment [AB] a pour coordonnées(xA+xB
2 ;yA+yB
2 ;zA+zB 2 ).
PROPRIÉTÉS admises
Dans un repère orthonormé (0;⃗ı,⃗,k⃗) :
∣∣⃗u∣∣ =√
x2+y2+z2 AB= ∣∣Ð→AB∣∣ =√
(xB−xA)2+ (yB−yA)2+ (zB−zA)2.
PROPRIÉTÉ admise
V Représentations paramétriques
Dans toute cette partie, l’espace est muni d’un repère (0;⃗ı,,⃗k⃗)quelconque.
1) Représentation paramétrique d’une droite
Soit dune droite passant par le point A(xA;yA;zA)et dirigée par le vecteur u⃗(a;b;c). Alorsdest l’ensemble des points M(x;y;z) tels que :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
x=xA+at y=yA+bt z=zA+ct
,t∈R.
THÉORÈME
M(x;y;z) ∈dsi et seulement si il existe un réel ttel que ÐÐ→
AM =tu, si et seulement si :⃗ x−xA=at,y−yA=bt etz−zA=ct,t∈R.
DÉMONSTRATION
● Le système obtenu est appelé une représentation paramétrique de la droite d dans le repère (0;⃗ı,,⃗k⃗).test appelé le paramètre. (On peut utiliser toute autre lettre)
● A chaque valeur de t, on associe un pointM(xA+at;yA+bt;zA+ct) et un seul.
Réciproquement, à chaque point M de dcorrespond une unique valeur det tel que ÐÐ→
AM=tu.⃗
REMARQUES
Conséquence :
Si
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
x=x0+at y=y0+bt z=z0+ct
,t∈Rest une représentation paramétrique d’une droite d, alors on peut affirmer que
dpasse par le pointA(x0;y0;z0) et queu⃗(a;b;c) est un vecteur directeur ded.
PROPRIÉTÉ admise
Soit dune droite dont une représentation paramétrique est :d∶
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩ x=2t y=t−1 z=t+2
,t∈R.
1. Déterminer les coordonnées d’un pointM quelconque de la droite d.
2. Le pointP(−6;−4;−1)appartient-il à la droite d?
EXEMPLE
Soient A(1;−2; 3)etB(0; 0; 1).
1. Déterminer une représentation paramétrique de(AB).
2. C(−3; 6;−5)etD(2;−5; 5) appartiennent-ils à la droite(AB)? 3. Déterminer l’intersection de la droite(AB) avec le plan(O;⃗ı,⃗).
EXERCICE
2) Représentation paramétrique d’un plan
Soit P un plan caractérisé par un point A(xA;yA;zA) et deux vecteurs u(a;⃗ b;c) et ⃗v(α;β;γ) non colinéaires.
AlorsP est l’ensemble des points M(x;y;z) tels que :
⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎩
x=xA+at+αt′ y=yA+bt+βt′ z=zA+ct+γt′
,t∈Rett′∈R.
(représentation paramétrique deP)
THÉORÈME
M(x;y;z) ∈P si et seulement si il existe deux réels t ett′ tels que ÐÐ→
AM =tu⃗+t′⃗v, si et seulement si x−xA=at+αt′,y−yA=bt+βt′ etz−zA=ct+γt′, d’où le résultat.
