Section européenne Géométrie plane 2
Vecteurs du plan
A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
• savoir que l’égalité−AB−−→=
−−−−→
C Déquivaut au fait queABDC est un parallélo- gramme, éventuellement aplati ;
• construire géométriquement la somme de deux vecteurs ;
• caractériser alignement et parallélisme par la colinéarité de vecteurs.
Translation et vecteurs
5.1 En mathématiques, une translation est une transformation géométrique qui cor- respond à l’idée intuitive de « glissement » d’un objet, sans rotation, retournement, ni déformation de cet objet.
1. Sur la figure ci-contre, on a construit l’imageC′ du point C par latransla- tion qui transforme A en B. En ob- servant la figure, proposer une con- struction simple du point C′.
2. En utilisant la méthode précédente, construire les images de D, E et F par la même translation.
3. Construire de même l’image de la cocotte par la translation qui trans- forme A en B.
×
C
×
C′
×
D
×E F ×
G×
×
A
×
B
5.2
Í
On s’intéresse à l’algorithme ci-dessous : 1. Appliquer cet algorithme dans cha-cun des cas suivants :
a. A(2;−1) ; B(−3; 1) ; C(5; 4) ; b. A(2; 2) ; B(−4; 6) ; C(−1; 3).
2. Tracer un repère orthonormé et placer dans chacun des cas les points A, B, C etD.
3. Quel semble être le rôle de cet algo- rithme ?
begin
Input: (xA, yA), (xB, yB), (xC, yC) coordinates of three points;
xA+xC
2 →xI ; yA+yC
2 →yI ; 2xI−xB →xD ; 2yI−yB →yD ; Output: (xD, yD) ; end
5.3 Construire à l’aide du quadrillage les pointsM1,M2,M3,M4, etM5, images respec- tives de M par les translations de vecteurs −v→1, −v→2,−v→3, −v→4, et −v→5.
bM
−→
v1
−→
v2
−→
v3
−→
v4
−→
v5
5.4 On considère la figure suivante, composée de triangles isométriques :
+
A0
+
A2
+
A4
+
A6
+
A8 +
B1
+
B3
+
B5
+
B7
+
B9 +
C0
+
C2
+
C4
+
C6
+
C8 +
D1
+
D3
+
D5
+
D7
+
D9 +
E0
+
E2
+
E4
+
E6
+
E8 +
F1
+
F3
+
F5
+
F7
+
F9
1. Par la translation qui transforme F1 en F3 :
a. Quelle est l’image du pointE2? du pointD5? b. Quel est l’antécédent du point F5? du point C6? 2. Par la translation qui transforme E6 en C4 :
a. Quelle est l’image du pointE2? du pointD5? b. Quel est l’antécédent du point A0? du point C6? 3. Par la translation qui transforme F5 en E8 :
a. Quelle est l’image du pointE4? du pointD5? b. Quel est l’antécédent du point D3? du point A8? 5.5
Í
On s’intéresse à l’algorithme ci-dessous :begin
Input: (xM, yM) coordinates of a point ;
xM + 2 →xM′ ; yM + 3→yM′ ; Output: (xM′, yM′) ; end
1. Appliquer cet algorithme à chacun des points suivants : A(1; 2) ; B(−2; 2) ; C(2;−3).
2. Placer les points A, B, C ainsi que les points A′, B′, C′ dans un repère or- thonormé.
3. Quel semble être le rôle de cet algo- rithme ?
5.6 Use the graph to check if the following answers are true or false.
1. −AB−−−−→=−EF−−−−→ 2. −CD−−−−→=−−AB−−−−→ 3. −DA−−−−→=−DB−−−−→
4. −ED−−−−→=−BD−−−−→ 5. −AE−−−−→=−BF−−−−→ 6. −EF−−−−→=−−DC−−−−→ 5.7 With the same picture :
1. Give two vectors equal to −DB.−−−−→ 2. Give three vectors opposite to −AB−−−−→. 3. Plot the point Gsuch that −DG−−−−→=→0 .
b A b B
b C
b D
b E b F
5.8 Let ACKI be a rectangle where B, G,J are E are the midpoints of segments AC, CK, KI and IA. Give (without any explanation) :
1. all the vectors equal to −AB−−−−→; 2. all the vectors equal to −F K−−−−−→; 3. all the vectors equal to −CD−−−−→; 4. all the vectors equal to −IE−−→; 5. all the vectors equal to −HC.−−−−→
A B C
G
K J
I
E F
D
H
5.9 Soient A et B deux points quelconques.
1. Déterminer l’ensemble des points M tels que ||−AM−−−−−→||= 3.
2. Déterminer l’ensemble des points M tels que ||−AM−−−−−→||=||−M B||.−−−−−−→
3. Déterminer l’ensemble des points M tels que ||−AM−−−−−→||2+||−M B−−−−−−→||2 =||−AB−−−−→||2 . 5.10 Soit ABCD un parallélogramme etM un point sur la diagonale [BD].
1. Construire les points E et F tels que −DE−−−−→=−AM−−−−−→ et −BF−−−−→=−AM−−−−−→.
2. Trouver deux vecteurs égaux à −AD−−−−→et justifier ces égalités. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère M BCE?
3. Trouver deux vecteurs égaux à −AB−−−−→ et justifier ces égalités. Que peut-on en déduire pour le quadrilatère M DCF ?
4. Démontrer que les points E, C etF sont alignés.
5.11 Soient ABC etEF G deux triangles quelconques.
1. Construire le triangle A′B′C′, image de ABC par la translation de vecteur −EF−−−−→. 2. Construire le triangle A′′B′′C′′, image de A′B′C′ par la translation de vecteur −F G−−−−→. 3. Par quelle transformation le triangle A′′B′′C′′ est-il l’image de ABC?
4. Par quelle transformation le triangle ABC est-il l’image de A′B′C′? 5. Par quelle transformation le triangle ABC est-il l’image de A′′B′′C′′?
Opérations sur les vecteurs
5.12 En utilisant le quadrillage, construire : 1. Le point A′ tel que
−−−−−−→
AA′ =→u 2. Le point B′ tel que
−−−−−−→
BB′ =→v +→w 3. Le point C′ tel que
−−−−−−→
CC′ =→u +→v 4. Le point D′ tel que
−−−−−−−→
DD′ =→w−→v 5. Le point E′ tel que−EE−−−−−→′ =→u+→v +→w 6. Le point F tel que −AF−−−→=−CD−−−−→+−DE−−−−→ 7. Le point Gtel que −BG−−−−→=−BD−−−−→+−AE−−−−→ 8. Le point H tel que −CH−−−−→=−EA−−−−→+−BA−−−−→ 9. Le point I tel que −DI−−−→=−CA−−−−→−−BC−−−−→
10. Le pointJtel que−EJ−−−→=−BA−−−−→+−AC−−−−→+−CD−−−−→+−DB−−−−→
b A
b B
b C
b D
b E
→u
→w →v
5.13 Let ABC be a scalene triangle.
1. Place the point E such that −AE−−−−→=−BC−−−−→+−CA.−−−−→ 2. Place the point F such that −BF−−−−→=−BA−−−−→+−AC−−−−→. 3. Place the point G such that −BG−−−−→=−BA−−−−→+−CA−−−−→. 4. Let H be the point such that −HA−−−−→=−CB−−−−→+−BA−−−−→.
a. Transform the definition of−HA−−−−→ to find a known vector equal to−AH.−−−−→ b. Place the point H.
5. Let I be the point such that−IA−−→=−BA−−−−→+−CA.−−−−→
a. Transform the definition of−IA−−→to express −AI−−→as a sum of two known vectors.
b. Place the point I.
6. Let J be the point such that −JA−−−→=−BA−−−−→+−BC.−−−−→
a. Transform the definition of−JA−−−→ to express −AJ−−−→as a sum of two known vectors.
b. Place the point J.
5.14 Let A and B two points such thatAB = 6cm.
1. Place the points defined below : a. E such that−AE−−−−→= 13
−−−−−→
AB; b. F such that −AF−−−→= 13
−−−−−→
BA; c. Gsuch that −AG−−−−→=−−AB−−−−→;
d. H such that −BH−−−−−→=−32
−−−−−→
AB; e. I such that−AI−−→= 14
−−−−−→
AE. f. J such that−BI−−→=−12−F A.−−−→
2. Give the magnitudes of the vectors −AE−−−−→, −AF−−−→, −AG−−−−→, −AH−−−−→,−AI−−→,−AJ−−−→.
5.15 Construire un carré ABCD de côté 5cm au centre d’une feuille puis placer les points définis ci-dessous :
1. E tel que −AE−−−−→=−AC−−−−→+−AB−−−−→; 2. F tel que −AF−−−→= 2−AB−−−−→; 3. G tel que −CG−−−−→=−CB−−−−→−−AC−−−−→; 4. H tel que −DH−−−−−→= 2−DC−−−−→+ 2−EF−−−−→;
5. I tel que −GI−−→= 12
−−−−−→
GH;
6. J tel que −AJ−−−→= 12−AI−−→− 12−DC−−−−→; 7. K tel que −JB−−−→=−BK−−−−−→.
5.16 Soit [OA] un segment de longueur 6 cm. On fera une figure en plaçant [OA] au centre de la page.
1. Reproduire la figure et placer les points définis par :
−−−−−→
OB =−1 2
−−−−−→
OA ; −BC−−−−→= 2 3
−−−−−→
BA ; −AD−−−−→=−1 3
−−−−−→
OA ; −CE−−−−→= 1 6
−−−−−→
CB 2. Déterminer les nombres réels, x, y, z tels que :
−−−−−→
BC =x−ED−−−−→ ; −CB−−−−→=y−CA−−−−→ ; −AE−−−−→=z−BD−−−−→ 5.17 On considère la figure suivante.
b
A
b
C
b
O
b
I
b
B
b
D
1. Exprimer les vecteurs −AB,−−−−→ −CA,−−−−→ −OD,−−−−→ −DB−−−−→en fonction du vecteur −OI.−−→ 2. Déterminer les nombres réels x, y, z tels que :
−−−−−→
BC =x−BD−−−−→ ; −CD−−−−→=y−AC−−−−→ ; −DA−−−−→=z−OB−−−−→
5.18 Sans utiliser de quadrillage, reproduire la figure et construire dans chaque cas, un représentant du vecteur →u+→v à partir du pointM.
+M
~ u
~v M+
~ u
~v
bM
b
M
→u
→v →
u
→v
5.19 Sans utiliser de quadrillage, reproduire la figure ci-dessous et construire : 1. le représentant de 2→u d’origine A;
2. le représentant de 12
→u d’origine B; 3. le représentant de −12→u d’origine C.
bA
bB
bC
→u
5.20 On considère deux vecteurs →u et →v non colinéaires tels que ||→u||= 2 et||→v||= 3.
1. Construire les vecteurs →u et→v au centre d’un espace de 100 cm2. 2. Construire les vecteurs suivants en utilisant des couleurs différentes.
→u+→v ; 2→u ; −23
→v ; −3→u +→v ; 2→v + 0,5→u ; 1,5→u− 13
→v.
Relation de Chasles
5.21 Recopier et compléter chaque égalité en utilisant la relation de Chasles.
1. −A . . .−−−−−−−→=−AI−−→+−. . . B−−−−−−−→ 2. · · ·=−OB−−−−→+−. . . M−−−−−−−−−→ 3. −T S−−−→=−. . . A−−−−−−−→+−. . . B−−−−−−−→+. . . 4. −AP−−−→=−AB−−−−→+. . .
5. →0 =−BI−−→+−. . . C−−−−−−−→+−C . . .−−−−−−−→ 6. · · ·=−U . . .−−−−−−−→+−KB−−−−−→+−. . . S−−−−−−→ 7. −A . . .−−−−−−−→=−. . . P−−−−−−−→+· · ·+−T B−−−→ 8. −EF−−−−→=−. . . C−−−−−−−→+−. . . B−−−−−−−→+. . . 5.22 Consider the following vectors :
• −u→1 = 2−AB−−−−→−3−AC−−−−→+−BC−−−−→
• −u→2 =−CA−−−−→+−BC−−−−→+ 3(−AC−−−−→−−AB)−−−−→
• −u→3 = 2−CA−−−−→−−BC−−−−→+ 3−AC−−−−→−−AB−−−−→
• −u→4 =−BA−−−−→−
−−−−−→
AC−−BC−−−−→
−−AB−−−−→
• −u→5 =−BC−−−−→−2
−−−−−→
AB +1 2
−−−−−→
CA
1. Write each of the previous vectors as a linear combination of vectors −AB−−−−→ and −AC−−−−→. 2. Write each of the previous vectors as a linear combination of vectors −AB−−−−→ and −BC.−−−−→ 3. Write each of the previous vectors as a linear combination of vectors −BC−−−−→ and −AC.−−−−→ 5.23 Soit ABCD un parallélogramme. SoitP, Q, R et S les points définis par :
−−−−→
AP = 2−AB−−−−→; −BQ−−−−→= 2−BC−−−−→; −CR−−−−→= 2−CD−−−−→ et−DS−−−→= 2−DA.−−−−→ 1. Faire une figure.
2. Exprimer −P Q−−−−→ en fonction de−AB−−−−→et −BC−−−−→. 3. Exprimer −SR−−−→en fonction de −AD−−−−→ et−DC−−−−→. 4. En déduire la nature du quadrilatère P QRS. 5.24 Soit ABC un triangle.
1. Placer le point E tel que −AE−−−−→= 2−BC−−−−→+−CA−−−−→. 2. Placer le point F tel que −BF−−−−→= 2−BA−−−−→+−AC−−−−→. 3. Placer le point Gtel que −BG−−−−→=−BA−−−−→+ 12
−−−−−→
AC.
4. Exprimer les vecteurs −AE−−−−→, −AF−−−→ et−AG−−−−→ en fonction de −AB−−−−→ et−AC−−−−→. 5. Soit D le point tel que 3−AD−−−−→+ 2−BD−−−−→=−CD−−−−→.
a. Exprimer le vecteur −AD−−−−→ en fonction de−AB−−−−→ et−AC−−−−→. b. Placer le point D.
5.25 Soit ABC un triangle scalène.
1. Soit M le point tel que−M A−−−−−→−2−M B−−−−−−→=−AB.−−−−→ a. Exprimer −AM−−−−−→ en fonction de−AB−−−−→. b. Placer le point M.
2. Soit N le point tel que−N A−−−−→+−N B−−−−−→= 2−BC.−−−−→ a. Exprimer −AN−−−−→en fonction de −AB−−−−→et −BC.−−−−→ b. Placer le point N.
3. Soit P le point tel que −P A−−−→+−P B−−−−→+−P C−−−−→=→0 . a. Exprimer −P A−−−→en fonction de −AB−−−−→et −AC−−−−→. b. Placer le point P.
5.26 On se place dans un triangle quelconque ABC. On fera une figure différente pour chaque partie de cet exercice.
Partie A – Un cas particulier Soient M et N les points tels que −AM−−−−−→= 3
4
−−−−−→
AB et−CN−−−−→=−1 4
−−−−−→
AC.
1. Placer les points M et N.
2. Exprimer le vecteur −AN−−−−→ en fonction de −AC.−−−−→
3. Exprimer les vecteurs −BC−−−−→ et−M N−−−−−−→ en fonction de −AB−−−−→ et−AC.−−−−→ 4. Que peut-on en déduire pour les droites (M N) et (BC) ?
Partie B – Le cas général
Considérons maintenant un nombre réel positif k, M un point de la droite (AB) tel que
AM
AB =k etN le point de (AC) tel que ANAC =k. On suppose queA,B, M etA,C,N sont dans le même ordre.
1. Exprimer le vecteur −AM−−−−−→ en fonction −AB−−−−→. 2. Exprimer le vecteur −AN−−−−→ en fonction de −AC.−−−−→ 3. En déduire une relation entre −M N−−−−−−→ et−BC.−−−−→ 4. Que peut-on en déduire :
a. pour les droites (M N) et (BC) ? b. pour le rapport M NBC ?
5. Quel célèbre théorème vient-on de démontrer ?
Colinéarité
5.27 On s’intéresse à la figure ci-dessous, composée d’un carré ABCD de côté 2 unités et du carré formé par les milieux de ses côtés.
A B
C D
E
F
G
H
1. Déterminer les normes des vecteurs suivants :−AF−−−→,
−−−−−→
DC, −EF−−−−→,−BD−−−−→, −EB−−−−→,−F H−−−−→.
2. Trouver et nommer deux vecteurs opposés à cha- cun des vecteurs précédents.
3. Dans chacun des cas suivants, préciser si les deux vecteurs sont colinéaires ou non. S’ils le sont, écrire les deux égalités qui les unit. Par exemple, les vecteurs −AF−−−→ et −AB−−−−→ sont colinéaires et vérifient
−−−−−→
AB = 2−AF−−−→ et−AF−−−→= 12
−−−−−→
AB.
• −AE−−−−→et −BC−−−−→;
• −BC−−−−→ et −DA−−−−→;
• −DB−−−−→ et−F E−−−−→;
• −AG−−−−→ et−EH−−−−−→;
• 3−F G−−−−→ et 2−EH−−−−−→;
• −−BE−−−−→ et−AG.−−−−→
4. Dresser la liste exhaustive de tous les vecteurs construits avec les points de la figure colinéaires à −HC. Même question pour−−−−→ −EF−−−−→puis pour −GD.−−−−→
5.28 Soient ABC un triangle ;M etN les points tels que
−−−−−−→
AM =−1 2
−−−−−→
AC ; −CN−−−−→= 3−AB−−−−→ 1. Placer les points M et N.
2. a. Exprimer −M B−−−−−−→ en fonction de−AB−−−−→et −AC.−−−−→ b. Exprimer −M N−−−−−−→en fonction de −AB−−−−→et −AC.−−−−→ 3. Conclure sur l’alignement des points M, B et N.
5.29 Soient ABCD un parallélogramme etI est le milieu de [DC].
1. Construire les points M et N tels que −AM−−−−−→= 32−AB−−−−→et −AN−−−−→= 3−AD.−−−−→ 2. a. Exprimer −M N−−−−−−→en fonction de −AB−−−−→et −AD−−−−→.
b. Exprimer −BI−−→ en fonction de −AB−−−−→ et−AD.−−−−→ c. En déduire que (M N) et (BI) sont parallèles.
3. a. Exprimer −CM−−−−−−→en fonction de −AC−−−−→ et−AD−−−−→. b. Exprimer −CN−−−−→en fonction de −AC−−−−→ et−AD−−−−→.
c. En déduire que les points C,M et N sont alignés.
