Commençons par étudier ce problème avec « de petite » valeurs de k.
Pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 2
Le programme ci-dessous (écris en VBA pour Excel) va nous permettre de trouver les entiers m et n :
Pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 3
Pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 4
Comment déterminer la valeur de m ? Pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 2
Cherchons le plus petit entier divisible par 1 , 2 et 3 , c’est évidemment 6.
Formons ensuite le nombre 𝑚 = 6 + 1 = 7 Considérons l’entier 𝑛 = 1
On a alors : 1 divise 7 ; 2 divise 8 ; 3 divise 9
Résultat :
Résultat :
Résultat :
Pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 3
Cherchons le plus petit entier divisible par 1 , 2 , 3 et 4 , c’est 22× 3 = 12 Formons ensuite le nombre 𝑚 = 12 + 1 = 13
Considérons l’entier 𝑛 = 1
On a alors : 1 divise 13 ; 2 divise 14 ; 3 divise 15 et 4 divise 16 Pour 0 ≤ 𝑘 ≤ 4
Cherchons le plus petit entier divisible par 1 , 2 , 3 , 4 et 5 , c’est 22× 3 × 5 = 60 Formons ensuite le nombre 𝑚 = 60 + 1 = 61
Considérons l’entier 𝑛 = 1
On a alors : 1 divise 61 ; 2 divise 62 ; 3 divise 63 , 4 divise 64 et 5 divise 65
De façon général, soit p un entier tel que 𝑝 ≥ 2 et donc 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑝 Formons le nombre : 𝑚 = 𝑃𝑝+ 1
où 𝑃𝑝 est la décomposition en produit de facteurs premiers du nombre divisible par 1,2,3, … , 𝑝, 𝑝 + 1 Et considérons l’entier 𝑛 = 1
On a alors :
𝑃𝑝+ 1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 1
𝑃𝑝+ 2 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 2 (𝑐𝑎𝑟 𝑖𝑙 𝑦 𝑎 𝑙𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 2 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑃𝑝) 𝑃𝑝+ 3 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 3 (𝑐𝑎𝑟 𝑖𝑙 𝑦 𝑎 𝑙𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 3 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑃𝑝)
…
𝑃𝑝+ 𝑝 + 1 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑖𝑏𝑙𝑒 𝑝𝑎𝑟 𝑝 + 1 (𝑐𝑎𝑟 𝑖𝑙 𝑦 𝑎 𝑙𝑒 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟 𝑝 + 1 𝑑𝑎𝑛𝑠 𝑃𝑝) Dans notre cas, 𝑝 = 23
Et on a : 𝑃23= 24× 32× 5 × 7 × 11 × 13 × 17 × 19 × 23 On obtient alors : 𝑚 = 𝑃23+ 1 = 5 354 228 881 et 𝑛 = 1 Ce sont les deux nombres recherchés.
Vérification :
