E533. Au festival off d'Avignon
n troupes de théâtre prennent part au festival off d'Avignon. Quotidiennement, certaines d'entre elles donnent chacune une représentation tandis que les autres sont en relâche. Tous les membres des seules troupes en relâche assistent comme spectateurs à toutes les représentations du jour qui ont lieu à des horaires différents. Elles organisent leurs programmes de telle manière qu'en un minimum de jours k chacune d'elles voit au moins une fois la représentation donnée par chacune des autres. Le rapport n/k est égal à 3. Trouver n.
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Si chaque troupe ne joue qu’une fois, il ne peut y en avoir que n=k en k soirées. Si une troupe joue p soirées, il y a Ckp façons de les placer dans le programme; pour que deux troupes puissent voir leurs représentations respectives, celles-ci ne peuvent être toutes coïncider. Si p est le nombre maximum de représentations données par une troupe, on pourra programmer au plus n=Ckp troupes en k soirées.
Or le maximum des coefficients du binôme est obtenu pour p=[k/2]. D’où le nombre N maximum de troupes qui peuvent jouer en k soirées:
k 1 2 3 4 5 6 7 8
N 1 2 3 6 10 20 35 140
3k 3 6 9 12 15 18 21 24
La valeur 3k n’est comprise dans la plage possible que pour k=6 ou 7, d’où les deux solutions admissibles: k=6, n=18, et k=7, n=21.
