E533. Au festival off d'Avignon
troupes de théâtre prennent part au festival off d'Avignon. Quotidiennement, certaines d'entre elles donnent chacune une représentation tandis que les autres sont en relâche. Tous les membres des seules troupes en relâche assistent comme spectateurs à toutes les représentations du jour qui ont lieu à des horaires différents. Elles
organisent leurs programmes de telle manière qu'en un minimum de jours chacune d'elles voit au moins une fois la représentation donnée par chacune des autres. Le rapport est égal à 3. Trouver .
Source : d'après Olympiades canadiennes de mathématiques 1981.
Solution
Proposée par Fabien Gigante
Numérotons les troupes de 1 à et les jours de 1 à . Notons l’ensemble des jours où la troupe donne une
représentation ( ).
La troupe peut assister à une représentation de la troupe si et seulement si il existe un tel que , c'est- à-dire si et seulement si .
Pour que chaque troupe puisse voir toutes les autres, il faut donc que les forment une famille de sous- ensembles de sans inclusions.
Le théorème de Sperner affirme qu’une telle famille contient un maximum de sous-ensembles. (Ce maximum est atteint par exemple en prenant les sous-ensembles à éléments.)
Les solutions du problème sont donc les nombres qui vérifient :
On calcule :
1 3 1 1
2 6 1 2
3 9 2 3
4 12 3 6
5 15 6 10
6 18 10 20
7 21 20 35
8 24 35 70
Deux solutions conviennent : ou .
