Enonc´e noE533 (Diophante) Au festival off d’Avignon. . .
ntroupes de th´eˆatre prennent part au festival off d’Avignon. Chaque jour, certaines d’entre elles donnent une repr´esentation `a laquelle assistent les autres troupes qui sont en relˆache.
Elles organisent leurs programmes de telle mani`ere qu’en un minimum de jourskchacune d’elles voit au moins une fois la repr´esentation donn´ee par chacune des autres.
Le rapport n/k est ´egal `a 3. Trouvern.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
Chacun deskjours op`ere une partition des troupes entre celles qui jouent et celles en relˆache.
Celles de ces partitions o`u la troupe i joue n’ont pas d’autre troupe qui soit commune `a toutes, sinon la troupeimanquerait un ou des spectacles.
L’ensemble des jours o`u joue la troupein’est pas contenu (au sens large) dans l’ensemble des jours o`u joue une autre troupe.
Ainsi, avec leskjours, on peut former au moinsnsous-ensembles de jours dont aucun n’est contenu dans un autre.
Or (th´eor`eme de Sperner, voir en annexe), aveck´el´ements, on peut former au plusCkbk/2c sous-ensembles dont aucun n’est contenu dans un autre.
Pour satisfaire l’´enonc´e (n= 3k), il fautCkbk/2c≥3k, d’o`uk≥6.
Il faut de plus quek soit le minimum assurant cette in´egalit´e `a ndonn´e, doncCk−1b(k−1)/2c<3k, d’o`u k <8.
On en tire deux solutions : le nombre minimum de jours est 6 ou 7, il y a 18 ou 21 troupes.
Un programme possible pour 18 troupes est le suivant (les troupes sont not´ees de A `a R et chacune joue 3 jours ; les 3 autres jours, elle voit 3×9 = 27 spectacles couvrant ceux des 17 autres troupes).
jour jouent relˆache
1 ABCDEFGHI JKLMNOPQR
2 ABCDJKLMN EFGHIOPQR
3 AEFGJKOPQ BCDHILMNR
4 BEHILMOPR ACDFGJKNQ
5 CFHJLNOQR ABDEGIKMP
6 DGIKMNPQR ABCEFHJLO
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Annexe : th´eor`eme de Sperner
On consid`ere un ensembleE`ak´el´ements, l’ensembleP(E) de ses parties, et un sous-ensemble S de ces parties, tel qu’aucun ´el´ement (partie de E) appartenant `aS n’est inclus dans un autre.
Lemme : “in´egalit´e LYM” (Lubell-Yamamoto-Meshalkin)
Si mq est le nombre des ´el´ements de S qui sont des parties `a q ´el´ements de E,
X
q
mq Ckq ≤1 Preuve
J’appelle chaˆıne maximale (de P(E), vu comme treillis ordonn´e par l’in- clusion) une suite de parties de E obtenue en partant de l’ensemble vide et en ajoutant les ´el´ements de E un `a un jusqu’`a obtenir E tout entier. Il existek! telles chaˆınes.
Si un ´el´ement sdeS a q´el´ements, il appartient `a q!(k−q)! chaˆınes maxi- males, puisqu’il y aq! fa¸cons d’obtenirsen partant de l’ensemble vide, et (k−q)! fa¸cons de compl´eter sjusqu’`a obtenirE.
Aucune chaˆıne n’est commune `a deux ´el´ements deS : si deux ´el´ementss et s0 appartenaient `a une mˆeme chaˆıne, l’un serait inclus dans l’autre.
Le nombre total des chaˆınes maximales passant par les ´el´ements deS est donc, sans doubles comptes
P
qq!(n−q)!mq=Pqmqk!/Ckq et c’est au plus k!.
Le th´eor`eme de Sperner en d´ecoule imm´ediatement, carCkq≤Ckbk/2c, donc
Ckbk/2c≥X
q
mq
Ckbk/2c Ckq ≥X
q
mq=|S|
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