EX E631
On peut repr´esenter le mˆeme probl`eme de mani`ere plus r´ealiste en con- sid´erantn=p+qchariots tournant `a la mˆeme vitesse sur un circuit (avec deux voies parall`eles),ptournant dans un sens (not´esA1, ..., Ap),qdans l’autre (not´es B1, ..., Bq). On peut supposer quep>1 etq>1 (sinon le probl`eme est trivial), que les chariotsA1etB1vont se rencontrer en premier et queA2, ..., Apsuivent dans cet ordreA1(idemB2, ..., BqsuiventB1); par exemple, pourp= 5 etq= 3, on peut trouver dans l’ordre autour du circuit: A1, A2, B3, A3, A4, B2, A5, B1 . Au top d´epart,npersonnes montent sur les chariots, une par chariot ; ensuite, quand deux chariots se rencontrent, les passagers de ces deux chariots ´echangent leur place.
Deux remarques pr´eliminaires:
1. les personnes restent continuellement dans le mˆeme ordre sur le circuit 2. quand les chariots ont fait un demi-tour, chacun des Ai a rencontr´e ex-
actement une fois chacun desBj.
Int´eressons-nous aux d´eplacements de la personne P1 plac´ee au d´epart sur A1. Elle passe d’abord surB1, puis surA2, puis surB2, etc. A la fin du premier demi-tour, les chariots se retrouvent dans l’ordre initial; il y a deux cas:
• soit P1 est arriv´ee sur un Bk et n’est donc pas pass´ee sur Ak+1 (Ak+1 n’existe pas ou Bk l’a rencontr´e avant queP1 arrive) ; cela entraine qu’il y a (k−1) + (p−k) =p−1 chariots entreA1 etBk (lesBj de 1 `ak−1 et lesAi dek+ 1 `a p)
• soitP1est arriv´ee sur un Ak et n’est donc pas pass´ee surBk; cela signifie qu’il y a (k−1) + (p−k) =p−1 chariots entreA1 et Ak (lesBj de 1 `a k−1 et lesAi dek+ 1 `a p).
Dans les deux casP1et donc aussi tous les autres ont avanc´e depchariots dans le sens des chariotsAi. Quand les chariots on fait un tour complet toutes les personnes ont donc avanc´e de 2pchariots. Sidest le pgcd denet 2p, au bout de t= n
d tours les personnes retrouvent leur chariot initial (et donc dans le mˆeme sens).
Pour l’application num´erique,n612 et t divise 5. Il y a deux cas: soitn est pair etp=q=n/2, soitn= 5 oun= 10 avec pet qquelconques.
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