G10270. Le cube et la mouche
Un cube d’arˆeteaest plac´e dans un globe en verre (sph`ere de diam`etreD, centr´ee au centre du cube). Quand une mouche se pose (au hasard) sur le globe, elle peut voir, selon le cas, une, deux ou trois faces du cube. Chose remarquable, la mouche a la mˆeme probabilit´e de voir une face ou trois faces. En d´eduire la dimension du globe.
N.B. Le recours au calcul int´egral n’est nullement n´ecessaire.
Solution
Je note p1, p2, p3 respectivement les probabilit´es de ne voir qu’une face, deux faces ou trois faces.
Les parties de la sph`ere d’o`u l’on voit une, deux ou trois faces du cube sont d´ecoup´ees dans la sph`ere (d’aire S) par les plans des faces du cube.
Ceux-ci d´eterminent :
• 6 quadrilat`eres curvilignes, en regard des faces du cube, d’o`u on ne voit qu’une face ; chacun a pour aire Sp1/6 ;
• 12 quadrilat`eres curvilignes, en regard des arˆetes du cube, d’o`u on voit exactement deux faces ; chacun de ces quadrilat`eres a pour aireSp2/12 ;
• 8 triangles curvilignes, en regard des sommets du cube, d’o`u on voit exactement trois faces ; chacun a pour aire Sp3/8.
Deux plans de faces parall`eles du cube d´elimitent sur la sph`ere une zone d’aire Sa/D. Cette zone contient quatre quadrilat`eres d’aire Sp1/6 et quatre quadrilat`eres d’aireSp2/12, donc
Sa/D = 4S(2p1+p2)/12,
et si p1 =p3, 2p1+p2 =p1+p2+p3 = 1, donca/D = 1/3.
Le diam`etre du globe est le triple de l’arˆete du cube.
Remarque.
Le recours au calcul int´egral s’impose pour d´eterminer les valeurs de p1, p2, p3. On a les relations
p2 = 3a/D−2p1, etp3 = 1−p1−p2 =p1+ 1−3a/D, comme on l’a vu.
Il suffit de d´eterminer directement p1.
En partageant un quadrilat`ere curviligne en 8 triangles par ses plans de sym´etrie, Sp1/48 est l’aire d´efinie par z < 0 < y < x < a/2, (origine des coordonn´ees au centre de la sph`ere, plans de coordonn´ees parall`eles aux faces du cube)
soit, avecy=xtanϕ, Sp1
48 = Z π/4
0
S 4π
1− s
1− a2 D2cos2ϕ
dϕ,
d’o`u p1 = 3−12 π
Z π/4 0
s
1− a2
D2cos2ϕdϕ.
Le changement de variableatanϕ=√
D2−a2sinα conduit `a p1 = 3−12
π
arctan D
a tanα
− a Dα
,et finalement p1 = 3−12
π
arctan D
√
D2−2a2 − a
Darctan a
√
D2−2a2
.
PourD= 3a, on a en particulier p1 =p3 = 2
π arcsin 87
256 = 0,220748386. . . p2= 2
π arcsin25199
32768 = 0,558503227. . . PourD=a√
3 (sph`ere circonscrite au cube), on aurait p1 =√
3−1,p2 = 2−√
3,p3 = 0.
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