DM07 TS4 Suites, logarithme et calcul intégral

Nom : . . . .

Prénom : . . . . Devoir n

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Fév. 2020 . . ./. . .

DM 07

Le soin et la rédaction seront pris en compte dans la notation.Faites des phrases claires et précises.

Le barème est approximatif. La calculatrice est autorisée.

Présentation : 2 points

Exercice 1 : Étude d’une équation ...

Partie A

Soitf la fonction définie sur l’intervalle ]1 ; +∞[ par

f(x) = x lnx 1 a. Déterminer les limites de la fonctionf en 1 et en +∞.

b. Étudier les variations de la fonctionf.

2 Soit (un) la suite définie paru0= 5 etun+1=f(un) pour tout entier natureln.

a. On a tracé la courbe représentativeCde la fonctionf sur la figure donnée en annexe qui sera rendue avec la copie. Construire la droite d’équationy=xet les pointsM₀, M₁etM₂de la courbeCd’abscisses respectives u0, u1etu2. Proposer une conjecture sur le sens de variation de la suite (u_n) et sur sa convergence.

b. Démontrer que pour tout entier natureln, on au_n>e (on pourra utiliser la question 1. b.).

c. Démontrer que la suite (u_n) est décroissante. En déduire qu’elle converge vers un réel`. Justifier que ` appartient à l’intervalle [e ; +∞[.

Partie B

1 Démontrer quef(`) =`.

2 En déduire la valeur de`.

1

Exercice 2 : Méthode des trapèzes ...

f est la fonction définie sur [0; 1] parf(x) =x²et on noteC_f sa courbe représentative dans le plan muni d’un repère orthonormal

O;→− ı ,→−

 .

On se propose de calculer par la méthode des trapèzes l’aireAde la partie du plan comprise entre l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équationx= 0 etx= 1.

1 1

0 n= 4

T_n= 0.34

A B

N

M

2

1 1

0

n= 10

T_n= 0.34

Mise en oeuvre avec GeoGebra : Saisir dans la zone de saisie

. un curseur que l’on nommenvariant de 0 à 60 avec une incrémentation de 1.

. f(x) = Fonction[x²,0,1]

. T_n=SommeTrapèzes[f,0,1,n]

. PourTnafficher dans le menu propriétés , Afficher l’étiquette valeur et nom.

1 On considère les pointsA k n; 0

!

, B k+ 1 n ; 0

!

puisM etN de la parabole d’abscisses respectives k

n et k+ 1 n , oùk est un entier tel que 0≤k≤n−1.

Vérifier que l’aire du trapèzeABN Mest

A_k= 1

2n³[k²+ (k+ 1)²] 2 On s’intéresse àS_n=

n−1

X

k=0

A_k=A₀+A₁+A₂+. . .+A_n−1.

a. S_nest-elle une valeur approchée par excès ou par défaut ? b. Construire un algorithme calculantS_n.

c. En déduireS₁₀etS₁₀₀.

d. Quelle conjecture peut-on émettre pour la valeur deA? 3 a. Démontrer que

Sn= 1 2n+ 1

n³

1²+ 2²+ 3³+. . .+ (n−1)²

= 1 2n+ 1

n³

n−1

X

k=0

k². b. En déduire l’expression deS_nen fonction den.

On utilisera le résultat démontré en cours :

1²+ 2²+ 3²+. . .+n²=n(n+ 1)(2n+ 1) 6 c. Calculer la limite deS_nquandntend vers +∞.Conclure.

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