Université Paris Dauphine Contrôle no1 du 18 Novembre 2011
DEGEAD 1ère Année Michael Tolédano
Analyse réelle et Optimisation
La qualité de la rédaction et la clarté des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.
Documents et calculatrices interdits. Barême indicatif. Durée : 1H30
Exercice 1 : Application du cours (5 Points)
1. Enoncer la formule de Taylor d’une fonctionf à l’ordren(n∈N∗) en précisant les hypothèses utilisées.
2. Quelle différence fondamentale y a t’il entre optimiser une fonction sur un intervalle fermé et optimiser une fonction sur un intervalle ouvert ?
3. Soit x = (x1, ..., xn) ∈ Rn, on a vu que l’application N(x) = (∑n
i=1
x2i )1
2
= √
x21+...+x2n est une norme car elle vérifie les trois propriétés du cours. D’ailleurs, c’est elle que l’on appelle "norme euclidienne", la plus connue permettant de calculer la distance entre deux points du plan. Mais il en existe une infinité. Montrer queN⋆(x) = max
i∈{1,...,n}|xi|est aussi une norme.
4. Montrer que l’ensemble{x= (x1, x2)∈R2 |N⋆(x)≤1}est compact. Quelle est sa forme géométrique ? Exercice 2 (5 Points)
Calculer lim
x→0f(x) = x3
x−ex+ ln(1−x) +1−1x (Indication: Effectuer un DL3(0) du dénominateur) Exercice 3 (10 Points)
La fonctionf définie parf(x) = e−(x−µσ ) σ.(
1 +e−(x−σµ))2 est une densité de probabilité, ce qui signifie que c’est une fonction continue et positive surR et que son intégrale surR vaut 1. f s’appelle la loi logistique, de paramètresµ∈R etσ >0.
En 1956, le géophysicien Hubbert a utilisé cette fonction pour modéliser le volume de production de pétrole aux USA.
Six est l’année,f(x) est la proportion produite. Il posef(x) = e−x+1970 (1 +e−x+1970)2. 1. Afin de vérifier quef est bien une densité de probabilité :
(i). Montrer quef est positive et de classe C∞ surR.
(ii). Montrer queF(x) = 1
1 +e−x+1970 est une primitive de f surR. (Bonus). Conclure en montrant que∫+∞
−∞ f(x) dx = 1.
2. Montrer quef′(x) = (−1 +e−x+1970).e−x+1970
(1 +e−x+1970)3 et en déduire le tableau de variations de f surR. En quelle année Hubbert a-t-il prévu que la production serait la plus forte ?
3. Après les années 2000 on a vu que la production était décroissante dû à l’épuisement progressif du pétrole. Dans combien d’année la production ne représentera t’elle plus que5%de ce qu’elle est aujourd’hui en 2011 ?
(On donnera une valeur approchée de la variation relative en utilisant l’approximation : −0,95.f(2011) f′(2011) ≈3.) 4. En tant que primitive def, F représente la production cumulée de pétrole à travers le temps. Donc F(x) est la production totale de pétrole aux USA jusqu’à l’annéex. Montrer qu’Hubbert pense qu’un jour ou l’autre il n’y aura plus de pétrole à exploiter dans le pays.
5. La production cumuléeF est croissante et augmente donc chaque année. A-t-il fallu attendre longtemps pour qu’à partir de 1970 (donc avant le choc pétrolier), la production augmente de50%? La réponse prouve à quel point on a pu tirer profit de cette énergie pendant cette décennie...
6. On souhaite estimer la production cumulée au milieu de l’année 1971 : (i). Effectuer le développement limité deF à l’ordre 2 en 1970.
(ii). Estimer ensuiteF(1971,5). Combien restera t’il de pétrole après le 1er Juillet 1971 ? (iii). Au vu de cette étude, le modèle de Hubbert vous semble t’il réaliste ? Justifier.
