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Sur la quartique circulaire dite « Cappa »

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N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

D ’O CAGNE

Sur la quartique circulaire dite « Cappa »

Nouvelles annales de mathématiques 5e série, tome 3 (1924), p. 153-155

<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1924_5_3__153_1>

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SUR LA QUARTIQUE CIRCULAIRE DITE « CAPPA »;

PAR M. D ' O C A G N E .

L'objet de cette courte Note est de faire connaître un exemple particulièrement simple d'application de la

Ann. de Mathémat., 5* série, t. III. (Janvier 1925.) 12

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double notion de cercle des inflexions des trajectoires et de cercle des rebroussements des enveloppes de droites à une détermination de centre de courbure. Il s'agit de la quartique circulaire qui, en raison de sa forme, a reçu le nom de cappa, et qui est le lieu du sommet M d'un angle droit dont un côté passe cons- tamment par un point fixe O tandis qu'un point A

marqué sur l'autre côté (MA = a) parcourt une droite fixe passant par O. Si l'on prend cette droite pour axe OcT, avec O pour origine, et Oy perpendiculaire à Ox, on voit immédiatement que cette courbe a pour équation

Symétrique par rapport aux axes, elle a en O à la fois un foyer singulier et un point tacnodal, où la tangente est O y et le rayon de courbure ~i et elle pos- sède comme asymptotes, outre les droites isotropes issues de O, les droites y = ± a, chacune d'elles tétant double, car la courbe est de sixième classe; elle est d'ailleurs unicursale.

La perpendiculaire élevée en O à OM (normale à

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l'enveloppe de ce côté) et la perpendiculaire élevée en A à O A (normale au lieu du point A) se coupant en I, centre instantané de rotation de l'angle droit mobile, la normale en M au cappa est MI. Le centre de courbure est dès lors le point [x où MI touche son enveloppe.

Or, le rayon de courbure de l'enveloppe de OM, réduite au point O, est nul; le point O appartient donc au cercle des rebroussements des enveloppes de droites, et, par suite, son symétrique P par rapport à I au cercle des inflexions des trajectoires ( ' ). Mais la seconde extrémité H du- diamètre issu de I, dans ce cercle des inflexions, se trouve sur O x (tous les points de O i étant d'inflexion puisque cette trajectoire de A est rectiligne) ; il en résulte que le point H est à la ren- contre de O # et de la perpendiculaire élevée en P à OP.

Une fois H obtenu, la construction que nous avons établie d'une façon purement géométrique pour le cas le plus général (2) montre que, si MH coupe en K la perpendiculaire élevée en I à Ml, la parallèle menée

par K à IH passe par le centre de courbure jx,

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