Devoir N° 1

(1)

Devoir N° 1

Exercice 1

Traduire par des phrases simples toutes les données qui sont codées sur ces trois figures (et seulement les données).

Exercice 2

1. Construire un triangle HIJ tel que : HI = 8 cm; IJ = 7 cm et JH = 11 cm.

2. Construire le cercle circonscrit C au triangle HIJ.

Exercice 3

1. Tracer le quadrilatère ABCD vérifiant les conditions suivantes : AB = 6 cm, BC = 7 cm, CD = 7,5 cm, DA = 8 cm et BD = 9 cm.

2. Tracer les cercles circonscrits à chacun des deux triangles ABD et BDC.

3. Existe-t-il un cercle circonscrit au quadrilatère ABCD?

Exercice 4

ABCD est un quadrilatère tel que AB = 5 cm, BC = 6 cm, CD = 4 cm et AD = 3 cm.

1. Faire une figure à main levée.

2. Rédiger le programme de construction.

3. Construire la figure. Le quadrilatère obtenu est-il le seul à répondre aux conditions imposées?

4. Rajouter une condition supplémentaire pour que l'on ne puisse obtenir qu'une seule possibilité.

B A D

E C

D

G K

B

A

C I

O x

(2)

Corrigé du Devoir N° 1

Exercice 1

Première figure Deuxième figure Troisième figure

• [DB] diamètre de C

• DAB= DEB = 90°

• EDB = BDA

• EBD = DBA

• AB = EB

• DE = DA

• xBK = BKG = DBG = BDG

• (KB) ⊥ (BG)

• AO = OC

• (IO) ⊥ (AC)

• (AC) ⊥ (BC)

• OAI = BAI

Exercice 2

Sur ce dessin les dimensions ont été réduites.

Exercice 3

D

B A

C D

B A

C H

J

I O H

J

I O

(3)

Corrigé du Devoir N° 1

Il n'existe pas de cercle circonscrit au quadrilatère ABCD car le seul cercle qui passe par les trois points A, B et D est son cercle circonscrit, et il ne passe pas par C.

Exercice 4

Programme de construction :

• Tracer [AB] de 5 cm et [AD] de 3 cm.

• Tracer un arc de centre B , de rayon 6 cm et un arc de centre D, de rayon 4 cm. Ils se coupent en C.

La construction n'est possible que pour certaines positions du point D construit au début.

En modifiant la position de ce point D, lorsque la construction est possible, on obtient différentes formes pour le quadrilatère.

En voici deux exemples : (Les dimensions ont été modifiées)

A

B

C D

A

B

C D

A

B

C D

A

B

C D

Pour qu'il n'y ait qu'une seule construction possible, il faut fixer une condition supplémentaire; par exemple donner une mesure d'une des diagonales ou bien une mesure pour l'un des angles (mais ces données doivent être compatibles avec le reste de la construction).

(4)

Devoir N° 2

Exercice 1

Rédiger le programme de construction du triangle représenté ci-dessous à main levée:

Figure à main levée Programme de construction

………

Exercice 2

A partir de la figure codée proposée ci-dessous, dresser la liste des données.

Figure codée Données

………

37° 52°

5 cm

y x

C

B

A

F E D

C

B A

(5)

Devoir N° 2

Exercice 3

Voici l'énoncé d'un exercice; pour celui-ci, il faut :

• faire une figure et dresser la liste de données.(La figure doit tenir dans la case) Compléter la démonstration en citant les deux propriétés utilisées.

Énoncé :

ABC est un triangle quelconque. La bissectrice de l'angle BAC coupe la parallèle à (AB) passant par C en M. Démontrer que ACM est isocèle.

………

Démontrons que ACM est isocèle en C.

H BAM et AMC sont alternes internes pour les parallèles (MC) et (AB) coupées par la sécante (AM).

P

C BAM= AMC

H [AM) est la bissectrice de BAC P

C _{BAM = MAC}

H BAM = AMC et BAM = MAC

C AMC = MAC et le triangle ACM est isocèle car il a deux angles égaux.

(6)

Corrigé du Devoir N° 2

Exercice 1

• Tracer [AB] de 5 cm.

• Tracer [Bx) telle que ABx = 37°

• Tracer [Ay) telle que BAY = 52°

• Elles([Bx) et [Ay)) se coupent en C;

Exercice 2

Données :

• BAF = CAF (AC) ⊥ (DF) CE = EF.

Exercice 3

• [AM) bissectrice de BAC

• (CM) // (AB)

Démontrons que ACM est isocèle en C.

P1 Si deux droites sont parallèles, alors les angles alternes internes qu'elles font apparaître sont égaux.

P2 La bissectrice d'un angle partage l'angle en deux parties égales.

//

M C B

A

(7)

Devoir N° 3

Pour l'énoncé qui suit, il faut :

1. Écrire le programme de construction de la figure.

2. Faire une figure codée et la liste des données.

3. Compléter la démonstration préparée.

Énoncé :

ABC est un triangle tel que ABC = 55°, ACB = 35° et BC = 6 cm. O est le milieu de [BC] et F est le symétrique de A par rapport à O.

a) Démontrer que ABC est un triangle rectangle en A.

b) Démontrer que ABFC est un parallélogramme.

c) Démontrer que ABFC est un rectangle.

d) Démontrer que O est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

Démonstration à recopier et à compléter (question 3).

Montrons que ABC est rectangle en A.

H :

P : Dans un triangle, la somme des angles est égale à 180°.

C : BAC = 180 - (ABC + ACB) = 180 - (55 + 35) = 180 - 90 = 90°.

Donc ABC est rectangle en A, car il a un angle droit.

Montrons que ABFC est un parallélogramme :

H : O est le milieu de [BC] et O est le milieu de [EF] (car E et F sont sym. par rapport à O) P : Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c'est un

parallélogramme C :

Montrons que ABFC est un rectangle :

H : ABFC est un parallélogramme et BAC est un angle droit.

P :

C : ABFC est un rectangle.

Montrons que

H : ABFC est un rectangle.

P :

C : BC = AF.

H : OB = ½ BC ; OC = ½ BC et OA = ½ AF; Or BC = AF, donc OB = OC = OA.

P : Si un point est situé à la distance R de O, alors ce point est sur le cercle de centre O et de rayon R.

C :

(8)

Corrigé du Devoir N° 3

• Tracer [BC] de 6 cm.

• Tracer [Bx) telle que CBx = 55°

• Tracer [Cy) telle que BCy = 35°

• [Bx) et [Cy) se coupent en A.

• Placer O milieu de [BC]

• Tracer [AO) et placer F sur [AO) tel que OF = AO.

Figure Données :

B

C A

O

F B

C A

O

F • ABC = 55°

• ACB = 35 °

• BC = 6 cm

• O milieu de [BC]

• A et F symétriques par rapport à O

Les éléments qui complètent la démonstration :

H : ABC = 55° et ACB = 35°

C : ABFC est un parallélogramme

P : Si un parallélogramme a un angle droit, alors c'est un rectangle.

P : Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales ont la même longueur.

Montrons que : O est le centre du cercle circonscrit à ABC.

C : A, B et C sont sur un même cercle de centre O; donc O est le centre du cercle circonscrit à ABC.

(9)

Devoir N° 4

Marquer les points qui sont à la fois :

• Plus près de A que de B

• Plus près de C que de B.

• à plus de 3 cm de A

• à moins de 2 cm de B

• à moins de 2 cm de A

• à moins de 1 cm de (BC)

• Plus près de B que de C.

C

A

Décrire les points qui sont dans chacune des 2 zones hachurées.

………

………..

………

………..

C

B A

A

B

A C

B

(10)

Corrigé du Devoir N° 4

A B

C

A B

C

A

B A

B

A B

C

A B

C

A plus de 3,1 cm de A, plus près de C que de A et plus près de C que de B A moins de 3,1 cm de A, plus près de A que de C et plus près de B que de C

Œ

• Ž

(11)

Devoir N° 5

Exercice 1

L'énoncé qui suit n'est pas à traiter. Il faut le traduire par une figure codée (en utilisant toutes les marques habituelles) et par une liste de données (mais il ne s'agit pas de recopier mot à mot l'énoncé) .

Enfin donner la réponse à la question (sans explication) . Énoncé:

ABC est un triangle isocèle de sommet A . D est le symétrique de B par rapport à A . E est le milieu de [DC] . Le cercle C de centre C passant par A coupe (AE) en F . Quelle est la nature de ACFD ?

Exercice 2

L'aire totale d'un cylindre de révolution se calcule au moyen de la formule :

A = 2πR(R + h) où R est le rayon du disque de base et h est la hauteur du cylindre . 1. Calculer A lorsque R = 12 cm h = 5,8 cm et π ≈ 3,1. Donner l'arrondi au dixième . 2. Calculer h lorsque A = 942 cm² et R = 10 cm et π≈ 3,14

Exercice 3

a) Construire un carré dont le côté a une longueur quelconque notée c .

b) A l'extérieur de ce carré , construire quatre demi-cercles ayant pour diamètre chacun de côtés du carré et dont les extrémités sont les sommets du carré .

c) En prenant la valeur approchée 3,14 pour ππ, montrer que l'aire de la figure obtenue peut se calculer au moyen de la formule A ≈ 2,57 c²

d) Calculer c lorsque A ≈ 4 112 m² .

Exercice 4

C est un cercle de 10 cm de rayon . Pour π, on prendra la valeur 3,14.

1. Calculer l'aire de la portion de ce disque d'angle 40°. (Arrondir au cm²) 2. Calculer l'angle de la portion de ce disque d'aire 7,85 cm² .

(12)

Corrigé du Devoir N° 5

Exercice 1

Figure Hypothèses

• AB = AC

• D et B symétriques par rapport à A.

• E milieu de [DC]

• C, cercle de centre C et de rayon CA.

• C et (AE) se coupent en F.

______________________________________________

Conclusion

ACFD est un losange

Exercice 2

A = 2πR(R + h)

Lorsque R = 12 cm h = 5,8 cm et π ≈ 3,1.

A ≈ 2× 3,1 × 12 × (12 + 5,8) ≈ 1 324,3 cm² lorsque A = 942 cm² et R = 10 cm et π ≈ 3,14 :

De ce petit schéma, on peut déduire que : h = A

2π R −R, donc en remplaçant , on obtient :

h= cm

× 942× − = − = − = 2 3 14 10 10 942

62 8 10 15 10 5

, ,

Exercice 3

La figure est composée d'un carré de côté c et de quatre demi disques qui forment deux disques entiers de diamètre c. L'aire totale est donc égale à :A = ^c²⁺²^π

( )

^c² ²⁼ ^c²⁺^π²^c² ^{= +}^^^¹ ^π²^^^^c²^,

Si on prend π ≈ 3,14, on aura : AA ≈≈ 2,57 c²

Lorsque A ≈ 4 112 m², on obtient c² = 4 112 : 2,57 = 1 600, d'où c = 40 m.

Car 40 × 40 = 40² = 1 600

Exercice 4

Aire du disque entier : A = πR² ≈ 3,14 × 10² ≈ 314 cm².

x cm

y

= ×

= ≈

= × = °

314 40 360

314

9 35

7 85 360 314 9

² ,

+ R × 2πR

h → → A

← ←

- R : 2πR

Aire du disque 314 x 7,85 Angle au centre 360 40 y

C

(13)

Devoir N° 6

Expressions A B C D E ^Réponse

1 (- 4,5) × (-2,3) 6,8 - 10,25 - 6,8 10,35 - 10,35

2 (- 3) × (- 6) × (- 4,5) - 40,5 - 81 31,5 - 28,5 40,5

3 (- 8) × 5,4 13,4 - 2,6 43,2 - 13,4 - 43,2

4 (- 7) + (- 2,8) - 9,8 - 4,2 5,2 9,8 4,2

5 (-4,2) - (- 10) - 14,2 14,2 5,8 - 5,8 5,2

6 (- 3;5) - (+ 14) - 4,9 10,5 - 17,5 - 10,5 17,5

7 Si a = -15

14 et b = -5

7, alors ab = - 75

98 - 3 2

2 3

65 78

75 98 8 Si a = 84 et b = - 105 , alors b

a = - 5 4

3 5

5 3

- 3 5

15 12 9 Si a = - 55 et b = 72 , alors a

b = 9

4 - 3

4

108

144 - 4 3

- 27 - 36 10 Si a = 1

5 et b = - 15

8 , alors a

b = 8

75 - 3

8 - 8

75 - 15 40

3 8 11 Si a = 3

4 et b = 7

12 , alors a+b

a - b = - 5 3

2 9

5 3

8 - 2

9 12 Si a = 5

4, alors l'opposé de a = 3

- (1

- 3) 1 3

- 1

- 3 - 1 3 13 Si a = - 4

3, alors l'inverse de a = 4 - 3

3 4

- 3

- 4 - 3 4

- 4 3 14 Si a= 2,5 et b = - 3,5, alors a

b = 25

35

0,5 0,7

5 - 0,7

0,5

7 - 5

7 15 Si a = - 3, alors l'inverse de

l'opposé de a est

3 - (1

- 3) 1 3

- 1

- 3 - 1 3 16 Si b = 2

5, alors l'opposé de l'inverse de b est

5 2

- 2

- 5 - 2

5 - 5

2 - - 2 5 17 Si c =- 4

7, alors l'opposé de l'opposé de c est

7

4 - 4

7 - 7

4 - ( 4

7 ) - ( 7 - 4 ) 18 Si d = 3

12, alors l'inverse de l'inverse de d est

1 4

12

3 - 1

4 - 12

3 - 3

12 19 Si a = 3

4 et si b = 8

15 , alors l'inverse de ab est

24

60 - 60 24

5 2

32

45 - 5

2 20 Si a = 12

35 et si b = 18

25 , alors l'inverse de a

b est

- 21 10

10

21 - (- 10

21) 21

10 - 10 21

(14)

Corrigé du Devoir N° 6

Réponses au QCM

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

D B E A C C E A B C D C D E C* D B A* C D

* 15 : Les réponses B et D sont d'autres manières d'écrire le même nombre, mais la réponse qui est la plus directement en rapport avec la question est la réponse C.

*18 : Ici, le seul nombre qui corresponde à la question est A, dans sa forme simplifiée.

(15)

Devoir N° 7

Exercice 1

Pour chacun des nombres suivants

• Décomposer en partie entière + partie décimale.

• Vous direz s'il est décimal ou non décimal.

• Lorsqu'il est décimal , vous donnerez sa valeur . .Lorsqu'il est non décimal , vous donnerez l'arrondi au dixième en utilisant le signe ≈ .

93

8 ; 216

75 ; 625 111 ;

Exercice 2

1. Expliquer précisément pourquoi le quotient de 3 par 0 n'existe pas et pourquoi on ne peut pas parler du quotient de 0 par 0.

2. Traduire par une écriture algébrique chacune des phrases suivantes :

• x est l'inverse de l'opposé de a

• y est l'opposé du carré de a

Exercice 3

Résoudre les équations suivantes :

a x x x

) b) (-5) c) 8 x

3 d) 5 2

7

4

3 3 2

9

2

+ = − = × = = −7

Exercice 4

Effectuer les calculs suivants; les résultats seront sous forme de fraction irréductible : (Il vaut mieux toujours se demander si une petite simplification est possible)

A

C

= − +

 

 = −

 

× −

 

× +

 



= −

−

 

× +

 

 − + × −

 

 = − −

 

× −

 

 13

7 4 3

11 21

5 4

4 7

11 15 3 2

3 4 7

14 3

9 2

4 5

10 16

11 20

4 3

21 80 B

D = E

Ï - Î

(16)

Corrigé du Devoir N° 7

Exercice 1

93

8 Il est decimal

216

75 Il est decimal

625

111 Il n' est pas decimal

= + =

= + ≈

11 5

8 11625 2 66

75 2 88 5 70

111 5 6 , .

, . , .

Exercice 2

1. Le quotient de 3 par 0 serait le nombre q tel que q × 0 = 3. Or, quelle que soit la valeur de q, q × 0 = 0, et ce produit ne peut pas être égal à 3. Donc le quotient n'existe pas.

• Le quotient de 0 par 0 serait le nombre q tel que q × 0 = 0. Or, quelle que soit la valeur de q, q × 0 = 0, donc n'importe quel nombre pourrait être considéré comme le quotient de 0 par 0. Pour que l'on puisse parler du quotient, il faut qu'il soit unique. Donc on ne peut pas parler de ce quotient.

2.

• x est l'inverse de l'opposé de a : x

= −a 1

• y est l'opposé du carré de a : y = - a²

Exercice 3

a x x x

x

x x

) b) (-5) x = -5 - 3 = -8

c) 8

3 x = 2 9 8 3 d) 5

2 7

4 3

2 7

22

21 3

2 9

3 8

1 12 2

7

5 2 7

5 7 2

35 2

+ = = − = − =

× = = × =

= − =

− = − × = −

Exercice 4

A B

C

E

= − +

 

 = − − = = −

 

 × −

 

 × +

 

 = × ×

× × × =

= −

−

 

 × +

 

 =

− = − × = −

− + × −

 

 = − − = −

= − −

 

 × −

 

 = − = = 13

7 4 3

11 21

39 21

28 21

11

21 0 5

4

4 7

11 15

5 4 11

4 7 5 3

11 21

3 2

3 4 7

14 3

7 3 8 3

7 3

3 8

7 8 9

2 4 5

10 16

9 2

1

2 5

11 20

4 3

21 80

11 20

7 20

4 20 D =

1 5

(17)

Devoir N° 8

Exercice 1

P, A et U sont trois points alignés. Une droite passant par A coupe le cercle de diamètre [PA]

en I, et le cercle de diamètre [AU] en T.

Démontrer que (PI)//(UT).

Exercice 2

Dans chaque cas, calculer la longueur du côté manquant Le triangle MNP est

rectangle en ...

MN NP MP

M 5,76 5,2

N 12,96 59,04

P 549 99

Exercice 3

Recopier et compléter le tableau suivant:

Il faut faire les calculs nécessaires pour pouvoir conclure si le triangle est ou n'est pas rectangle.

Longueurs des côtés calculs nécessaires conclusion

13 ; 5 ; 12

Le triangle : - est rectangle - n'est pas rectangle 276 ; 1110 ; 1076

Le triangle : - est rectangle - n'est pas rectangle

Exercice 4

Construire un triangle ABC rectangle en A tel que BC = 12,5 cm et BA = 7,5 cm.

Tracer le cercle C de centre C passant par A. Calculer son rayon. Puis montrer que (AB) est tangente à C en A.

Exercice 5

On appelle a et b les longueurs des deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle. On appelle c la longueur de l'hypoténuse, h la longueur de la hauteur relative à l'hypoténuse, et α l'angle formé par les côtés de longueur a et c.

1. Faire une figure à main levée en y marquant toutes les indications de l'énoncé.

2. On donne α = 67°. Calculer, en écrivant et en résolvant une équation, la valeur du deuxième angle aigu que l'on appelle β.

3. En rappelant les deux manières de calculer l'aire d'un triangle rectangle, montrer comment l'on peut calculer h si l'on connaît a, b et c.

4. On donne a = 5 et b = 12

• Calculer c

• Calculer h .

(18)

Corrigé du Devoir N° 8

Exercice 1

P

U

A T

I P

U

A T

I

Données :

• C cercle de diamètre [PA]

• C ' cercle de diamètre [AU]

• T ∈ C '

• I ∈ C

Montrons que (PI) // (UT) :

C cercle de diamètre [PA] et I ∈ C; C ' cercle de diamètre [AU] et T ∈ C '.

Si un triangle est inscrit dans un cercle avec un de ses côtés pour diamètre, alors le triangle est rectangle.

Donc PIA et ATU sont rectangles en I et en T; d'où (PI) ⊥ (IT) et (UT) ⊥ (IT).

Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors ces droites sont parallèles.

Conclusion : (PI) // (UT).

Exercice 2

Le triangle MNP est rectangle en ...

MN NP MP Calculs

M 5,76 7,76 5,2 NP = 5 76², +5 2², = 60 2176, =7 76, N 57,6 12,96 59,04 MN = 59 04², −12 96², = 3317 76, = 57 6,

P 549 99 540 MP = 549²−99² = 291600 = 540

Exercice 3

Longueurs des

côtés

calculs nécessaires conclusion

13 ; 5 ; 12

12² + 5² = 144 + 25 = 169 13² = 169

13² = 12² + 5²

Le triangle est rectangle

276 ; 1110 ; 1076

1 110² = 1 232 100

1 076² + 276² = 1 157 776 + 76 176 = 1 233 952 1 076² + 276² ≠ 1 110²

Le triangle n'est pas rectangle

Exercice 4

(Figure page suivante) Calcul du rayon AC :

Dans le triangle ABC, rectangle en A, on applique la relation de Pythagore : AC² = BC² - AB² = 12,5² - 7,5² = 156,25 - 56,25 = 100 , donc AC = 10 cm.

(AB) ⊥ (AC) car ABC est un triangle rectangle en A.

Si une droite est perpendiculaire au rayon en son extrémité sur le cercle, alors la droite est tangente au cercle.

(19)

Corrigé du Devoir N° 8

Conclusion : (AB) est tangente à C C en A.

B

C A

B

C A

Données :

• ABC rectangle en A

• BC = 12,5 et AB = 7,5

• C cercle de centre C passant par A.

Exercice 5

Calcul de l'angle aigu :

Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires :

Donc : β + 67 = 90; d'où : β = 90 - 67 = 23°.

Formule pour le calcul de h :

Dans un triangle rectangle, il y a deux manières de calculer l'aire : A = ½ab ou A = ½ch. On a donc ½ab = ½ch donc ab = ch ; d'où h ab

= c Calcul de c et de h :

Par l'énoncé de Pythagore : c² = a² + b² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 = 13² . Donc c = 13.

En utilisant la formule précédente : h ab

= c = ×

= ≈

5 12 13

60 13 4 6,

α b

a h c

(20)

Devoir N° 9

Exercice 1

Citer précisément les propriétés permettant de montrer qu'un triangle est rectangle dans les circonstances suivantes:

1. On connaît la position du centre du cercle circonscrit.

2. On connaît les longueurs des 3 côtés.

3. On sait que trois longueurs sont égales.

Exercice 2

Soit ABC un triangle et I le milieu de [BC]. Tracer la médiane [AI] et la hauteur [CH].

Démontrer que le triangle BHI est isocèle.

Exercice 3

Deux cercles de centres O et O' se coupent en E et en F. Soient R le symétrique de E par rapport à O, et A le symétrique de E par rapport à O'.

Montrer que les points R, F et A sont alignés.

Exercice 4

1. Construire le triangle ABC, de hauteur BH, avec AB = 5, BC = 9, et AH = 2 2. Rédiger le programme de construction.

Si les deux premières questions ne sont pas traitées, on peut traiter les suivantes en n'utilisant qu'une figure à main levée

3. Calculer BH, puis en donner l'arrondi au dixième.

4. Calculer HC, puis en donner l'arrondi au dixième.

5. En justifiant par les calculs appropriés, dire si ABC est, ou n'est pas rectangle.

(21)

Corrigé du Devoir N° 9

Exercice 1

1. Si le centre du cercle circonscrit est le milieu d'un côté du triangle …

2. Si le carré du plus grand côté est égal à la somme de carrés des deux autres côtés…

3. Si la médiane relative à un côté est égale à la moitié de ce côté ……

Alors, dans chacun de ces cas, le triangle est rectangle.

Exercice 2

Figure Hypothèses

• I milieu de [BC]

• (CH) ⊥ (AB).

Démontrons que le triangle BHI est isocèle.

BHC est rectangle en H

Si un triangle est rectangle, alors la médiane relative à l'hypoténuse est égale à la moitié de l'hypoténuse.

Donc HI = BI.

BHI ayant deux côtés égaux est isocèle.

Exercice 3

Figure Hypothèses

• C cercle de centre O.

• C ' cercle de centre O'.

• [RE] diamètre de C

• [EA] diamètre de C '.

Montrons que les points R, F et A sont alignés.

[RE] diamètre de C et F ∈ C [EA] diamètre de C '.et F ∈C '

Si le centre du cercle circonscrit à un triangle est le milieu d'un côté, alors le triangle est rectangle.

Donc REF et EFA sont rectangles en F. D'où RFA = RFE + EFA = 90 + 90 = 180°.

Donc les points R, F et A sont alignés.

(22)

Corrigé du Devoir N° 9

Exercice 4

• Tracer [AH] de 2 cm.

• Tracer [Hx) ⊥ [AH]

• Tracer un arc de centre A et de rayon 5 cm; il coupe [Hx) en B.

• Tracer un arc de centre B et de rayon 9 cm; il coupe [AH) en C;

Calcul de BH :

Dans le triangle BAH, rectangle en H, on applique la propriété de Pythagore : AB² = BH² + AH², d'où : BH = AB²− AH² = 5²−2² = 25− =4 21 ≈4 6, Calcul de HC :

Dans le triangle BHC, rectangle en H, on applique la propriété de Pythagore : BC² = BH² + HC², d'où : HC = BC²−BH² = 9²−21 = 81−21 = 60 ≈7 7, Montrons que ABC n'est pas rectangle :

AB² + BC² = 5² + 9² = 25 + 81 = 106.

Si HC ≈ 7,7, alors AC ≈ 9,7 et AC² < 100. On aura donc pas AC² = AB² + BC². La propriété de Pythagore est donc contredite et le triangle n'est pas rectangle.

(23)

Devoir N° 10

Exercice 1

ABC est un triangle tel que BC = 10 cm, AB = 8 cm et AC = 9 cm. Les cercles C 1, de centre B, C 2de centre C et C 3de centre A, ont le même rayon 5 cm.

1. Rédiger le programme de cette construction avant de faire cette construction.

2. Démontrer que le milieu L de [BC] est un point de C 1 et de C 2.

3. Les cercles C 1 et C 3 se coupent en E et F. Les cercles C 2 et C 3 se coupent en R et en S.

Démontrer que les quadrilatères AEBF et ARCS sont des losanges. En déduire que (FE) est la médiatrice de [AB] et que (SR) est la médiatrice de [AC]

4. Les droites (FE) et (SR) se coupent en I. Démontrer que la droite (IL) est la médiatrice de [BC]

Exercice 2

1. Calculer l'aire de la figure ci contre lorsque R = 8 cm, et si l'on prend la valeur 3,1 pour π .

2. Exprimer l'aire A de la figure ci contre dans le cas général, en fonction de π et de R.

Exercice 3

Voici les cinq premiers éléments d'une suite.

1. Compter le nombre de carrés que comporte chaque élément en montrant quels calculs il faut faire à chaque fois.

2. Calculer de la même manière le nombre de carrés que comportera l'élément suivant de la suite.

3. Établir une formule qui permet de calculer le nombre de carrés contenus dans un élément de ce type s’il contient n carrés sur la longueur du bas.

Exercice 4

1. Effectuer les calculs suivants : (pour chaque résultat, on donnera la forme simplifiée et un arrondi au dixième)

A=11+ B= + − C= × D= ÷

3 35 45

56 48

21 28

52 117

456 20

30 9

2 7

18 28 2. Résoudre les équations suivantes :

4x + 13 = 101 3 - 7x = - 25 3 4

2 9

5 x+ = −4

R

2R

Longueur du bas.

(24)

Corrigé du Devoir N° 10

Exercice 1

Programme de construction : Tracer [BC] de 10 cm.

Tracer deux arcs : l’un de centre B et de rayon 8 cm, l’autre de centre C et de rayon 9 cm.

Ils se coupent en A.

Tracer C1 de centre B et de rayon 5 cm.

Tracer C2 de centre C et de rayon 5 cm.

Tracer C3 de centre A et de rayon 5 cm.

2. L est un point des deux cercles car BL = LC = 5 cm (rayon des cercles).

3. AEBF et ARCS sont des losanges car leurs côtés sont tous des rayons de cercles qui ont le même rayon. Donc toutes ces longueurs sont égales. Quand un quadrilatère a quatre côtés égaux, c’est un losange.

Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu, donc (FE) est la médiatrice de [AB] et que (SR) est la médiatrice de [AC].

4. I est sur la médiatrice de [AB], donc AI = BI.

I est sur la médiatrice de [AC], donc AI = CI.

Donc BI = CI et I est ainsi sur la médiatrice de [BC].

L étant le milieu de [BC], il est sur sa médiatrice.

Conclusion : (IL) est la médiatrice de [BC].

B C

A

L E

F R

S

I

(25)

Corrigé du Devoir N° 10

Exercice 2

1. La figure est composée d’un rectangle de dimensions R sur 2R et d’un demi disque de rayon R/2. On a donc : A = R × 2R + ½ × π × (R/2)².

Si R = 8 et π = 3,1 on obtient A = 8 × 16 + 4² 2

1 ,

3 × =128 + 24,8 = 152,8 cm².

2. Pour établir la formule, on repart de l’expression A = R × 2R + ½ × π × (R/2)² que l’on peut transformer pour lui donner une allure plus simple :

A = R²

8 ou 16

² R 8) 2 (

² 8 R

² R 4 2

² R

² 2 R

2 +π × = +π = +π +π

Exercice 3

Élément Calcul Nombre total de carrés

1 1 1

2 1 + 2 3

3 1 + 2 + 3 6

4 1 + 2 + 3 + 4 10

5 1 + 2 + 3 + 4 + 5 15

L’élément suivant est construit sur le même principe : on rajoute une ligne supplémentaire de six carrés. Il comportera donc six carrés de plus que le précédent.

On en aura donc 15 + 6 = 21.

Parmi les différents moyens pour mettre au point une formule, on peut utiliser une manière assez visuelle. En rajoutant par collage à l’élément son symétrique, on obtient un rectangle dont le nombre de carrés sur les côtés sont n et n + 1. (Par exemple pour l’élément 6 ci-contre, cela forme un rectangle de 6 sur 7). Il suffit ensuite de calculer le nombre de carrés contenus dans le rectangle, puis de diviser par 2.

Ce qui donne la formule : 2

) 1 n (

n +

Exercice 4

9 4 9 2 7

7 4 2 18 28 7 2 28 18 7 D 2 3 76

3 10 2

10 3 76 2 3 9 30 20 C 456

5 , 36 1 53 36

16 27 42 9 4 4 3 6 7 117

52 28 21 48 B 56

4 , 9 4 40 9

7 33 9 7 3 11 45 35 3 A 11

× =

×

= ×

×

=

÷

=

× =

×

= ×

×

=

≈

− =

= +

− +

=

− +

=

≈ + =

= +

=

4x + 13 = 101 4x = 101 – 13 = 88 x = 88

4 = 22

3 - 7x = - 25

-7x = - 25 – 3 = - 28 x =-28

-7 = 4

27 53 3

4 36 x 53

36 53 9

2 4 x 5 4 3

4 5 9 x 2 4 3

−

=

×

−

=

−

=

−

=

−

= +

(26)

Devoir N° 11

Exercice 1

Calculer dans chaque cas, les différences et les rapports pour comparer les deux grandeurs proposées. Quelles sont celles qui constituent une situation de proportionnalité ?

Vente de disques par correspondance

Nombre de disques vendus 1 2 3 4 5

Montant de la facture 100 170 240 310 380 Aire du triangle rectangle de hauteur 12 cm

Longueur de l’hypoténuse 20 35 42 51 83 Aire du triangle (en cm²) 120 210 252 306 498

Cartes téléphoniques

Nombre d’unités 120 50

Prix 97,50 40,60

Surface des ailes de quelques oiseaux

Surface des ailes (cm²) Faucon 900 Faisan 1 300 Aigle 6 500

Masse de l’oiseau (g) 800 1 400 3 500

Exercice 2

On considère l’application linéaire qui à tout x fait correspondre le nombre 2,4× x.

1. Quelle est l’image du nombre 12 ? 2. Quel est l’antécédent du nombre 25,2 ?

3. Existe-t-il des nombres qui ont plusieurs images ? aucune image ?

4. Existe-t-il des nombres qui ont plusieurs antécédents ? aucun antécédent ?

Exercice 3

Calculer le coefficient de chaque application linéaire (a.l.) définie par un nombre et son image.

a.l.n°1 a.l.n°2 a.l.n°3 a.l.n°4

Le nombre … 7 - 3 12 25

A pour image 56 0,15 6,6 - 4

Exercice 4

En calculant le coefficient de proportionnalité, compléter les trois tableaux suivants :

7 11 21 4 7 12 3,2 8 14

56 104 200 29,8 59,6 745 2,4 2,7 6

(27)

Corrigé du Devoir N° 11

Exercice 1

Vente de disques par correspondance

Nombre de disques vendus 1 2 3 4 5

Montant de la facture 100 170 240 310 380 Écart facture - Nombre 99 168 237 306 375 Rapport facture ÷ Nombre 100 85 80 77,5 76

Aire du triangle rectangle de hauteur 12 cm Longueur de l’hypoténuse 20 35 42 51 83 Aire du triangle (en cm²) 120 210 252 306 498 Écart Aire - Longueur 100 175 210 255 415

Rapport Aire - Longueur 6 6 6 6 6

Cartes téléphoniques

Nombre d’unités 120 50

Prix 97,50 40,60

Écart Nombre – Prix 22,5 9,4

Rapport Nombre ÷ Prix ≈ 1,230 ≈ 1,232

Surface des ailes de quelques oiseaux

Surface des ailes (cm²) Faucon 900 Faisan 1 300 Aigle 6 500

Masse de l’oiseau (g) 800 1 400 3 500

Écart Surface – masse 100 - 100 3 000

Rapport Surface ÷ masse 1,125 ≈ 0,929 ≈ 1,857

Il n’y a pas proportionnalité

Exercice 2

1. L’image du nombre 12 est 2,4× 12 = 28,8

2. L’antécédent du nombre 25,2 est 25,2÷ 2,4 = 10,5

3. Tous les nombres ont une image et une seule car il s’agit de multiplier par 2,4, ce qui est possible pour tous les nombres et ne donne qu’un seul résultat.

4. Tous les nombres ont un antécédent et un seul car il s’agit de diviser par 2,4, ce qui est possible pour tous les nombres et ne donne qu’un seul résultat.

Exercice 3

a.l.n°1 a.l.n°2 a.l.n°3 a.l.n°4

Le nombre … 7 - 3 12 25

A pour image 56 0,15 6,6 - 4

Coefficient 8 - 0,05 0,55 - 0,16

Exercice 4

En calculant le coefficient de proportionnalité, compléter les trois tableaux suivants :

7 11 13 21 25 4 7 8 12 10 3,2 8 9 14 20

56 88 104 168 200 29,8 52 ,15 59,6 89,4 745 0,96 2,4 2,7 6,2 6

Il n’y a pas proportionnalité

Il y a proportionnalité

Il n’y a pas proportionnalité

(28)

Corrigé du Devoir N° 12

Exercice 1

Représenter graphiquement dans un même repère les applications linéaires : x 5/7 x et x - 1,2 x

Exercice 2

Dans un repère orthonormé, les points A, B , C , D, et E sont placés avec les coordonnées suivantes :

A B C D E

(4 ; 2) (3 ; -1) (-4 ; -2) (-3 ; 1) (1 ; 3)

Montrer comment par des calculs appropriés, on peut prouver que ABCD est un parallélogramme, d’une part, et que OEAB est un carré, d’autre part.

Exercice 3

Dans un repère orthonormé, placer les points M (5 ; 19) et N (-4 ; - 16).

Les points M, O et N sont-ils alignés ? apporter des éléments sérieux de réponse.

Exercice 4

Montrer comment on peut retrouver les pentes de chacune des trois droites tracées dans ce repère.

y

x

(D₁) (D₂)

(D₃)

(29)

Corrigé du Devoir N° 12

Exercice 1

y

x (D₁) (D₂)

Exercice 2

1. ABCD est un parallélogramme

On détermine les coordonnées des milieux des deux diagonales : Pour [AC], le milieu I a pour coordonnées : (0 ; 0)

Pour [BD] ], le milieu J a pour coordonnées : (0 ; 0) O est donc le centre du parallélogramme ABCD.

2. OEAB est un carré

On montre que les diagonales ont le même milieu de cordonnées (2 ; 1).

On peut calculer la longueur des diagonales : OA = EB = 20 C’est donc déjà un rectangle.

On calcule les longueurs de deux côtés consécutifs : OE = EA = 10 Donc c’est un carré.

Exercice 3

M, O et N ne sont pas alignés car La droite (MO) a pour pente 19/5 = 3,8 et la droite (No) a pour pente –16/-4 = 4.

Puisque les deux droites n’ont pas la même pente, elles sont distinctes.

Exercice 4

Pour retrouver les pentes de chacune des trois droites tracées, on repère un point de la droite dont les coordonnées sont lisibles sur le repère.

Pour (D1) , on obtient le point A de coordonnées (5 ;14 ).Le point (1 ; 3) ne peut pas convenir , sinon le point (2 ; 6) devrait être aussi sur la droite, ce qui n’est pas le cas.

On obtient la pente en divisant l’ordonnée de A par son abscisse. La pente vaut 14/5 Pour (D2) , on obtient le point B de coordonnées (7 ; 9 ). La pente vaut 9/7 .

Pour (D3) , on obtient le point C de coordonnées ( 16; 5 ). Le point (3 ; 1) ne peut pas convenir , sinon le point (9 ; 3) devrait être aussi sur la droite, ce qui n’est pas le cas.

La pente vaut donc 5/16.

(30)

Devoir N° 13

Exercice 1

1. Une voiture roule à 85 km/h ; donner sa vitesse en mètres par seconde. (m/s)

2. Le débit d’une rivière est 27 m³ par seconde (m³ /s). Comment s ‘exprime ce débit en litres par minute ?

3. Un cycliste parcourt 13 km en 16 min. Quelle est sa vitesse en km/h ?

4. Une isolation thermique permet de réduire les frais de chauffage de 12%. Quelle était la dépense avant isolation si l’on paye après 4 254,80 Fr.

5. Combien représente cette somme (4 254,80 Fr.) en euro ?

Exercice 2

Sur une carte de l’I.G.N. au 1/25 000, la distance d correspond à une distance D sur le terrain.

1. Exprimer d en fonction de D , puis D en fonction de d.

2. A quelle distance sur le terrain correspond une distance de 12 cm sur la carte ? 3. A quelle distance sur la carte correspond une distance sur le terrain de 1,8 km ?

Exercice 3

La masse d’un mètre d’un certain fil de fer est de 30 g.

1. Déterminer et représenter graphiquement l’application linéaire exprimant la masse en fonction de la longueur du fil.

2. Montrer comment sur ce graphique on peut lire la masse de 5 mètres de fil.

3. Montrer comment sur ce graphique on peut lire la longueur d’un fil pesant 235 g.

Exercice 4

Une automobile consomme 6 litres d’essence pour parcourir 100 km à la vitesse de 90 km/h. On désigne par d la distance parcourue et par x la quantité d’essence utilisée.

1. Calculer la consommation d’essence pour 1 km.

2. Calculer la distance parcourue avec 1 litre d’essence.

3. Représenter graphiquement l’application linéaire donnant la distance en fonction de la quantité d’essence utilisée.

4. Montrer sur ce graphique la distance que l’on peut parcourir avec 14 litres.

5. Montrer sur ce graphique la quantité d’essence nécessaire pour parcourir 420 km.

(31)

Corrigé du Devoir N° 13

Exercice 1

1. 85 km/h = 85 × 1 000 ÷ 3 600 ≈ 23,61 m/s.

2. 27 m³ /s = 27 × 10 000 × 60 = 16 200 000 l/min.

3. 13 km en 16 min. = 0,8125 km/min. = 48,75 km/h.

4. En réduisant les frais de chauffage de 12%, on les multiplie par 0,88. Si l’on paye après 4 254,80 Fr., on payait avant 4 254,80 ÷ 0,88 = 4 835 Fr.

5. 4 254,80 Fr. = 4 254,80 ÷ 6,5 = 654,58 euro.

Exercice 2

Sur une carte de l’I.G.N. au 1/25 000, la distance d correspond à une distance D sur le terrain.

1. d en fonction de D : d = D/25 000 ; D en fonction de d : D = 25 000 × d.

2. 12 cm sur la carte : d = 12 cm. D = 25 000 × 12 = 300 000 cm = 3 000 m = 3 km.

3. Une distance sur le terrain de 1,8 km : D = 180 000 cm = 180 000 ÷ 25 000 = 7,2 cm.

Exercice 3

1. Si x désigne la longueur du fil en mètres et y représente la masse du fil en grammes, on obtient y = 30x. Il faut donc choisir des unités qui permettent une bonne utilisation du graphique. Par exemple, 1 cm pour un mètre en abscisse, et 1 cm pour 20 g en ordonnée.

2. Pour 5 mètres de fil, on cherche sur le graphique l’ordonnée du point d’abscisse 5.

C’est 150 g.

3. Pour un fil pesant 235 g, on cherche sur le graphique l’abscisse du point d’ordonnée 235. C’est environ 7,8 m.

Exercice 4

1. Pour 1 km, 6 ÷ 100 = 0,06 l.

2. Avec 1 litre d’essence., on parcourt 100 ÷ 6 ≈ 16,7 km.

3. Si x désigne la quantité d’essence et y représente la distance, on obtient y = 16,7x. Il faut donc choisir des unités qui permettent une bonne utilisation du graphique. Par exemple, 1 cm pour un litre en abscisse, et 1 cm pour 20 km en ordonnée.

4. Avec 14 litres, , on cherche sur le graphique l’ordonnée du point d’abscisse 14. C’est environ 234.

5. Pour parcourir 420 km, on cherche sur le graphique l’abscisse du point d’ordonnée 420 ; c’est environ 25,2.

(32)

Devoir N° 14

Exercice 1

ABC est un triangle rectangle en A.

M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [BC].

Montrer que (MN) est perpendiculaire à (AB).

Exercice 2

ABCD est un trapèze dont les deux côtés parallèles sont [AB] et [DC].

I est le milieu de [AD]. La parallèle à (AB) passant par I coupe [AC] en J. et [BC] en K.

1. Montrer que J est le milieu de [AC]

2. Montrer que K est le milieu de [BC]

Exercice 3

ABCD est un parallélogramme tel que : AB = 5, AC = 4,6 et BC = 2,8.

I est le milieu de [AD] et J est le milieu de [CD].

1. Montrer que (IJ) et (AC) sont parallèles .

2. La droite (BD) coupe (IJ) en E et (AC) en O. Montrer que E est le milieu de [OD] . 3. Quelle est la nature de DIOJ?

(33)

Corrigé du Devoir N° 14

Exercice 1

Données :

• ABC est rectangle en A.

• M milieu de [AB]

• N milieu de [BC]

Montrons que (MN) ⊥⊥ (AB) :

On sait que : M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [BC]

Propriété : Si une droite passe par les milieux de deux côtés d'un triangle, alors elle est parallèle au troisième côté.

Conclusion : (MN) // (AC).

On sait que : (MN) // (AC) et que (AC) ⊥ (AB).

Propriété : Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.

Conclusion : (MN) ⊥ (AB).

Exercice 2

Données :

• (AB) // (DC).

• I milieu de [AD]

• (IK) // (AB).

Montrons que J est le milieu de [AC] :

On sait que : I milieu de [AD] et que (IJ) // (AB). Comme (AB) // (DC), alors (IJ) // (DC).

Propriété : Si une droite est parallèle à un côté d'un triangle et coupe un deuxième côté en son milieu, alors elle coupe aussi le troisième côté en son milieu.

Conclusion : J est le milieu de [AC]

Montrons que K est le milieu de [BC] :

On sait que : J milieu de [AC] et que (JK) // (AB).

Conclusion : K est le milieu de [BC]

C B

A

M N

D C

B K I J

A

(34)

Corrigé du Devoir N° 14

Exercice 3

A B

O

C D

I

J E

A B

O

C D

I

J E

Données :

• ABCD est un parallélogramme.

• I milieu de [AD]

• J milieu de [CD]

1. Montrons que (IJ) // (AC) :

Dans le triangle ADC, I milieu de [AD] et J milieu de [CD],

Conclusion : (IJ) // (AC)

2. Montrons que E est le milieu de [OD] :

Dans le triangle AOD, I milieu de [AD] et (IE) // (AO).

Conclusion : E est le milieu de [OD]

3. Montrons que DIOJ est un parallélogramme :

O est le milieu de [BD] car c'est le centre du parallélogramme.

I est le milieu de [AD] et J est le milieu de [DC] , donc on peut appliquer dans le triangle ADC deux fois la propriété :

Conclusion : (IO) // (DC) et (OJ) // (AD).

(IO) // (DC) et (OJ) // (AD).

Propriété : Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux, alors c'est un parallélogramme.

Conclusion : DIOJ est un parallélogramme

(35)

Devoir N° 15

Exercice 1

Soit ABCD un quadrilatère tel que les diagonales [AC] et [BD] soient de même longueur. On appelle I le milieu de [AB], L le milieu de [BC], K le milieu de [CD] et J le milieu de [AD].

Déterminer la nature de IJKL .

Exercice 2

Recopier et compléter cet exercice partiellement rédigé .(Une figure à main levée est suffisante)

EDF est un triangle rectangle en E , tel que FD = 27 et EDF = 32°

Calcul de ED :

Par définition : ED = ...

DF = ……… et un arrondi au millième de Cos EDF : Je peux alors écrire : ED ≈ ...

Calcul de EF:

Sachant que EDF = 32° , j'en déduis que EFD = ...

Par définition : EF = ...

Cos EFD ≈ ...

Conclusion EF≈ ...

Exercice 3

Une figure proprement dessinée permettra de vérifier les résultats obtenus.

ABC est un triangle tel que AB = 152 mm , ABC = 56° et BAC = 64°

Tracer la hauteur [AH] .

a) Calculer ACB , BAH , CAH . b) Calculer AH puis BH .

c) Calculer AC et HC .

Exercice 4

Tracer avec la règle et le compas un angle dont le Cosinus est égal à 0,9. Donner les mesures utilisées.

(36)

Corrigé du Devoir N° 15

Exercice 1

D

B

A

C I

L

K J

D

B

A

C I

L

K J

Données :

• AC = BD

• I milieu de [AB]

• L milieu de [BC]

• K milieu de [CD]

• J milieu de [AD]

Montrons que IJKL est un losange :

Dans le triangle BAC, I milieu de [AB] et L milieu de [BC].

Propriété : Le segment joignant les milieux de deux côtés d'un triangle a une longueur égale à la moitié de celle du troisième côté.

Conclusion : IL = ½AC.

De la même manière, on montre que :

• Dans le triangle ABD : IJ = ½BD

• Dans le triangle BDC : LK = ½BD

• Dans le triangle ACD : JK = ½AC.

Comme par ailleurs on sait que AC = BD, on a donc IJ = JK = KL = LI.

Propriété : Si un quadrilatère a quatre côtés de même longueur, alors c'est un losange.

Conclusion : IJKL est un losange.

Exercice 2

Calcul de ED :

Par définition : ED = DF ×× Cos EDF.

DF = 27 et un arrondi au millième de Cos EDF : Cos 32° ≈ 0,848 Je peux alors écrire : ED ≈ 27 × 0,848 ≈≈ 22,9

Calcul de EF:

Sachant que EDF = 32° , j'en déduis que EFD = 90 - 32 = 58°

Par définition : EF = DF × Cos EFD.

Cos EFD = Cos 58 ≈ 0,53.

Conclusion : EF≈ 27 × 0,53 ≈ 14,3.

(Vérification : 14,3² + 22,9² = 204,49 + 524,41 = 728,9 et 27² = 729)

(37)

Corrigé du Devoir N° 15

Exercice 3

A B

C

55.73 63.52

H

A B

C

56 64

H

Calcul des angles :

Dans le triangle ABC, la somme des angles est égale à 180°. Donc : ACB = 180 - (ABC + BAC) = 180 - (56 + 64) = 180 - 120 = 60°

Dans le triangle ABH, la somme des angles est égale à 180°. Donc : BAH = 180 - (AHB + ABH) = 180 - (90 + 56) =180 - 146 = 34°.

Dans le triangle ACH, la somme des angles est égale à 180°. Donc : CAH = 180 - (AHC + ACH) = 180 - (90 + 60) =180 - 150 = 30°.

Calcul des longueurs :

AH = AB × Cos BAH = 152 × Cos 34 ≈ 152 × 0,83 ≈126 mm BH = AB × Cos ABH = 152 × Cos 56 ≈ 152 × 0,56 ≈ 85 mm.

AC AH

CosCAH Cos mm

HC AC CosACH mm

= ≈ ≈ ≈

= × ≈ × ≈

$ , ,

126 30

126

0 866 145 5 145 5 0 5 73

Exercice 4 :

Pour obtenir un angle dont le cosinus est égal à 0,9, il suffit de tracer un triangle ABC, rectangle en A vérifiant : AB = 9 et BC = 10.

• Tracer [AB] de 9 cm.

• Tracer [Ax) ⊥ [AB]

• Tracer un arc de centre B, de rayon 10 cm; il coupe [Ax) en C.

(38)

Devoir N° 16

Exercice 1

Quatre bocaux cylindriques sont disposés sur le fond circulaire d'une marmite, les plus serrés possibles. Si le rayon d'un bocal vaut 1, combien vaut le rayon R de la marmite?

Exercice 2

Parmi ces dessins, un seul ne représente pas un patron de cube. Lequel et pourquoi?

Exercice 3

10 grains de sable font un volume de 1 mm³ . Sur une plage de 125 m de large et de 2 km de long, il y a une épaisseur de 4 m de sable. Donner un ordre de grandeur du nombre de grains de sable sur cette plage sous forme d'une puissance de 10.

Exercice 4

Un industriel fabrique des boîtes de conserve cylindriques de deux types différents : un modèle que l'on appelle "la haute" et un autre que l'on appelle "la large". En effet la large a un diamètre double de celui de la haute, qui elle, a une hauteur double de celle de la large.

1. Comparer les quantités de métal nécessaires pour fabriquer ces boîtes. C'est à dire quelle est celle qui en nécessite le plus, et combien en plus.

2. Comparer les contenances de ces deux boîtes. C'est à dire quelle est celle qui contient le plus et combien de fois plus.

Ž

• •

• Œ

(39)

Corrigé du Devoir N° 16

Exercice 1

Les quatre centres des bocaux forment un carré, dont le centre est le centre du fond de la marmite.

Les côté du carré est égal à deux rayons de bocal, c'est à dire 2.

Le diamètre D de la marmite est composé de l'hypoténuse h du triangle rectangle (dont les deux côtés de l'angle droit sont égaux à 2.) et de deux rayons de bocal.

En appliquant la relation de Pythagore à ce triangle rectangle, on obtient : h² = 2² + 2² = 8.

Donc h = 8 et D = 8 + 2 ; le rayon de la marmite est la moitié de D, soit 2,4 2

2 8+ ≈

Exercice 2

C'est le patron n° 4 qui ne convient pas car le carré du haut vase superposer avec le dernier carré du bas.

Exercice 3

La plage peut être considérée comme un pavé de dimensions 125 m , 2 000 m et 4 m. Son volume est égal à : 125 × 2 000 × 4 = 1 000 000 m³ = 10⁶ m³

1 m³ = 10⁹ mm³ . Donc V = 10¹⁵ mm³

Étant donné qu'il y a 10 grains par mm³ , il y aura en tout 10¹⁶ grains de sable sur cette plage.

Exercice 4

Si R est le rayon de base de la haute, la large a pour rayon de base 2R.

Si h est la hauteur de la large, la haute a pour hauteur 2h.

1. C'est l'aire du cylindre qui donne la quantité de métal nécessaire.

Pour la haute : AH = (2πR × 2h) + 2πR² = 4πRh + 2πR².

Pour la large : AL = (2π × 2R × h) + 2π(2R)² = 4πRh + 8πR².

La différence entre ces deux aires est donc égale à :

AL - AH =(4πRh + 8πR²) - (4πRh + 2πR²) = 4πRh + 8πR² - 4πRh - 2πR² = 6ππR² La large nécessite donc (6ππR²) cm² de métal en plus.

2. Les contenances sont données par les volumes : Pour la haute : VH = πR² × 2h = 2πR²h Pour la large : VL = π(2R)² × h = 4πR²h Le rapport entre ces deux volumes est donc égal à :

V V

R² h R² h

L H

= × ×

× × =

4

2 π 2

π

La large contient donc deux fois plus que la haute .

(40)

Devoir N° 17

Exercice 1

Un cône de révolution a les dimensions suivantes: le diamètre de base est 5 cm, la hauteur est 15 cm. Quel est le volume du cône?

Exercice 2

La pyramide de Chéops est régulière, de base carrée. Les côtés de la base mesurent 230 m, sa hauteur est de 140 m. Calculer le volume de cette pyramide.

Exercice 3

Deux récipients ont le même volume.

• L'un a la forme d'un cylindre de hauteur 10 cm et de rayon de base 6 cm.

• L'autre a la forme d'un cône de rayon de base 6 cm.

1. Quel est le volume du récipient cylindrique?

2. Quelle est la hauteur du récipient conique?

Exercice 4

Le parallélépipède rectangle ci-contre a les dimensions suivantes :

AB = 1,5 cm ; AE = 2,5 cm ; EH = 2 cm.

1. Quelle est la nature du solide ABDE?

2. Calculer le volume de ce solide ABDE.

Exercice 5

Dans un disque de papier de 5 cm de rayon, on découpe un secteur de 144°. On forme un cône avec la partie restante.

Quel est le volume de ce cône en cm³ , parmi les propositions suivantes :

4 21

3

π ; 4π ; 12π ; 15π ; 36π

C B

A D

F

G

E H

144°