Exemples de démonstrations par récurrence

(1)

Exemples de démonstrations par récurrence

Exemple 1 :

Montrer par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Exemple 3 :

Montrer par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³= 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 .

Exemple 5 :Montrer que pour tout entier𝑛,𝑛≥1, on a :2^𝑛−1≤𝑛!

Exemple 7 :Montrer que la suite(𝑢_𝑛)définie par𝑢₀= 3et𝑢_𝑛+1= 5𝑢_𝑛+ 3

𝑢𝑛+ 3 est constante.

Exemple 10 :

Soit(𝑢𝑛)la suite définie par𝑢₀= 1et𝑢_𝑛+1= 5𝑢𝑛

3𝑢_𝑛+ 5. Montrer que𝑢_𝑛≥0pour tout entier naturel𝑛.

En déduire que(𝑢_𝑛)est bien définie.

Exemple 15 :

Soit𝑥≥0. Montrer que pour tout entier naturel𝑛,(1 +𝑥)^𝑛≥1 +𝑛𝑥.

Exemple 19 :

Soit(𝑢_𝑛)la suite définie par𝑢₀= 2et𝑢_𝑛+1=√ 6 +𝑢_𝑛. Montrer que pour tout entier naturel𝑛, on a : 2≤𝑢_𝑛≤3.

Exemple 20 :

Soit(𝑢_𝑛)la suite définie par𝑢₀= 0et𝑢_𝑛+1= 2(𝑢_𝑛+ 2^𝑛).

Montrer que pour tout entier naturel𝑛, on a : 𝑢_𝑛=𝑛2^𝑛.

Exemple 21 :

Soit(𝑢_𝑛)la suite définie par𝑢₀= 0et𝑢_𝑛+1=√ 2 +𝑢_𝑛. Montrer que pour tout entier naturel𝑛, on a : 0≤𝑢𝑛≤2.

Montrer que si𝑥∈[0; 2]alors𝑥≤√ 2 +𝑥. En déduire le sens de variation de la suite(𝑢𝑛).

Exemple 23 :

Soit(𝑢_𝑛)une suite telle que pour tout𝑛∈ℕ,𝑢_𝑛+1=𝑢_𝑛². Montrer par récurrence que pour tout𝑛∈ℕon a la formule :𝑢_𝑛= (𝑢₀)²

𝑛

.

1/ 11

(2)

Exemple 1 :

Montrer par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Notons𝑃_𝑛 la propriété :1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 .

∙Initialisation :

La propriété𝑃₁ est-elle vraie ? A-t-on1 = 1(1 + 1)

2 ?

1(1 + 1)

2 = 1. Donc𝑃₁ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛,𝑛≥1on a :1+2+⋅ ⋅ ⋅+𝑛=𝑛(𝑛+ 1)

2 ; montrons alors que1+2+⋅ ⋅ ⋅+(𝑛+1) = (𝑛+ 1)(𝑛+ 2)

2 .

On a :

1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1) =[1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛]+ (𝑛+ 1) Ord’après l’hypothèse de récurrence : 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 .

Donc

1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1) = 𝑛(𝑛+ 1)

2 + (𝑛+ 1) De plus, on a :

𝑛(𝑛+ 1)

2 + (𝑛+ 1) = 𝑛(𝑛+ 1) + 2(𝑛+ 1)

2 =(𝑛+ 1)(𝑛+ 2) 2 Donc on a1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1) = (𝑛+ 1)(𝑛+ 2)

2 et𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃_𝑛 est vraie pour𝑛= 1et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛≥1.

C’est à dire : pour tout𝑛entier, 𝑛≥1, 1 + 2 +⋅ ⋅ ⋅+𝑛= 𝑛(𝑛+ 1)

2 .

2/ 11

(3)

Exemple 3 :

Montrer par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³= 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 .

Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout𝑛entier,𝑛≥1, on a : 1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³= 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 .

Notons𝑃_𝑛 la propriété :1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³= 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 .

∙Initialisation :

La propriété𝑃₁ est-elle vraie ? A-t-on1 = 1²(1 + 1)²

4 ?

1²(1 + 1)²

4 = 1. Donc𝑃₁ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛,𝑛≥1 on a :1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³=𝑛²(𝑛+ 1)²

4 ; montrons alors que1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1)³=(𝑛+ 1)²(𝑛+ 2)²

4 .

1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1)³=1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³+ (𝑛+ 1)³= 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 + (𝑛+ 1)³ card’après l’hypothèse de récurrence :1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³=𝑛²(𝑛+ 1)²

4 .

De plus, on a : 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 + (𝑛+ 1)³=𝑛²(𝑛+ 1)²+ 4(𝑛+ 1)³

4 =(𝑛+ 1)²(𝑛²+ 4(𝑛+ 1))

4 =(𝑛+ 1)²(𝑛²+ 4𝑛+ 4) 4

On reconnaît l’identité remarquable𝑛²+ 4𝑛+ 4 = (𝑛+ 2)². Donc on a1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+ (𝑛+ 1)³=(𝑛+ 1)²(𝑛+ 2)²

4 et 𝑃_𝑛+1est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃_𝑛 est vraie pour𝑛= 1et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛≥1.

C’est à dire : pour tout𝑛entier, 𝑛≥1, 1³+ 2³+⋅ ⋅ ⋅+𝑛³= 𝑛²(𝑛+ 1)²

4 .

3/ 11

(4)

Exemple 5 :

Montrer que pour tout entier𝑛,𝑛≥1, on a : 2^𝑛−1≤𝑛! Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout entier𝑛≥1, on a : 2^𝑛−1≤𝑛! Notons𝑃_𝑛 la propriété :2^𝑛−1≤𝑛!

∙Initialisation :

La propriété𝑃₁ est-elle vraie ? A-t-on2⁰≤1!? 2⁰= 1 et1! = 1. Donc𝑃₁est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛≥1 on a :2^𝑛−1≤𝑛!; montrons alors que2^𝑛≤(𝑛+ 1)!

D’après l’hypothèse de récurrence, on a2^𝑛−1≤𝑛!. Donc2×2^𝑛−1≤2×(𝑛!)

Or(𝑛+ 1)! = (𝑛+ 1)×(𝑛!). Donc puisque 1≤𝑛,2≤𝑛+ 1et 2×(𝑛!)≤(𝑛+ 1)×(𝑛!) = (𝑛+ 1)!

Et on a donc2^𝑛 ≤2×(𝑛!)≤(𝑛+ 1)!

Donc2^𝑛 ≤(𝑛+ 1)! et𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃𝑛 est vraie pour𝑛= 1et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛≥1.

C’est à dire : pour tout𝑛≥1 ,2^𝑛−1≤𝑛!

4/ 11

(5)

Exemple 7 :

Montrer que la suite(𝑢_𝑛)définie par𝑢₀= 3et 𝑢_𝑛+1=5𝑢_𝑛+ 3

𝑢_𝑛+ 3 est constante.

Démonstration :

Montrons par récurrence que𝑢_𝑛= 3pour tout𝑛∈ℕ. Notons𝑃_𝑛 la propriété :𝑢_𝑛= 3.

∙Initialisation :

La propriété𝑃₀ est-elle vraie ? A-t-on𝑢₀= 3? Ceci est vrai d’après l’énoncé. Donc𝑃₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : 𝑢𝑛= 3; montrons alors que𝑢_𝑛+1= 3.

D’après l’hypothèse de récurrence,𝑢_𝑛 = 3; et d’après l’énoncé, on a𝑢_𝑛+1= 5𝑢_𝑛+ 3 𝑢_𝑛+ 3 . Donc 𝑢_𝑛+1=5𝑢_𝑛+ 3

𝑢_𝑛+ 3 = 5×3+ 3 3+ 3 De plus, on a :

5×3 + 3 3 + 3 = 3 Donc on a𝑢_𝑛+1= 3et 𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃_𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, 𝑢_𝑛= 3 .

5/ 11

(6)

Exemple 10 :

Soit(𝑢_𝑛)la suite définie par𝑢₀= 1et𝑢_𝑛+1= 5𝑢_𝑛 3𝑢_𝑛+ 5. Montrer que𝑢_𝑛≥0pour tout entier naturel𝑛.

En déduire que(𝑢_𝑛)est bien définie.

Démonstration :

Montrons par récurrence que𝑢_𝑛≥0pour tout entier naturel𝑛. Notons𝑃_𝑛 la propriété :𝑢_𝑛≥0.

∙Initialisation :

La propriété𝑃₀ est-elle vraie ? A-t-on𝑢₀≥0?

Ceci est vrai car d’après l’énoncé𝑢₀= 1. Donc𝑃₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : 𝑢_𝑛≥0; montrons alors que𝑢_𝑛+1≥0.

𝑢_𝑛+1= 5𝑢𝑛

3𝑢_𝑛+ 5

Etd’après l’hypothèse de récurrence :𝑢_𝑛≥0. Donc5𝑢_𝑛≥0et3𝑢_𝑛+ 5≥5>0.

Par conséquent, 5𝑢_𝑛

3𝑢_𝑛+ 5 ≥0. Donc on a𝑢_𝑛+1≥0 et𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃_𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, 𝑢_𝑛≥0.

Puisque l’on a : pour tout𝑛∈ℕ,𝑢_𝑛≥0, on a : pour tout𝑛∈ℕ,3𝑢_𝑛+ 5>0. Et la suite(𝑢_𝑛)est bien définie.

6/ 11

(7)

Exemple 15 :

Soit𝑥≥0. Montrer que pour tout entier naturel𝑛,(1 +𝑥)^𝑛≥1 +𝑛𝑥. Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel𝑛,(1 +𝑥)^𝑛 ≥1 +𝑛𝑥. Notons𝑃_𝑛 la propriété :(1 +𝑥)^𝑛≥1 +𝑛𝑥.

∙Initialisation :

La propriété𝑃₀ est-elle vraie ? A-t-on(1 +𝑥)⁰≥1? Ceci est vrai car(1 +𝑥)⁰= 1. Donc𝑃₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : (1 +𝑥)^𝑛≥1 +𝑛𝑥; montrons alors que(1 +𝑥)^𝑛+1≥1 + (𝑛+ 1)𝑥. (1 +𝑥)^𝑛+1= (1 +𝑥)^𝑛(1 +𝑥)

D’aprèsl’hypothèse de récurrence :(1 +𝑥)^𝑛≥1 +𝑛𝑥. Et1 +𝑥≥0. Donc on a(1 +𝑥)^𝑛(1 +𝑥)≥(1 +𝑛𝑥)(1 +𝑥).

Et(1 +𝑛𝑥)(1 +𝑥) = 1 + (𝑛+ 1)𝑥+𝑛𝑥²≥1 + (𝑛+ 1)𝑥. Par conséquent(1 +𝑥)^𝑛+1≥1 + (𝑛+ 1)𝑥et 𝑃_𝑛+1est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃_𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, (1 +𝑥)^𝑛≥1 +𝑛𝑥.

7/ 11

(8)

Exemple 19 :

Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel𝑛, on a : 2≤𝑢_𝑛≤3.

Notons𝑃_𝑛 la propriété :2≤𝑢_𝑛≤3.

∙Initialisation :

La propriété𝑃₀ est-elle vraie ? A-t-on2≤𝑢₀≤3? Ceci est vrai car𝑢₀= 2. Donc𝑃₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : 2≤𝑢_𝑛≤3; montrons alors que2≤𝑢_𝑛+1≤3.

𝑢_𝑛+1 =√

6 +𝑢_𝑛 et d’après l’hypothèse de récurrence : 2 ≤𝑢_𝑛 ≤ 3. Donc 8 ≤ 6 +𝑢_𝑛 ≤ 9. Et 2√ 2 = √

8 ≤

√6 +𝑢_𝑛≤3.

De plus,2≤2√

2 donc on a2≤√

6 +𝑢_𝑛≤3.

Et par conséquent2≤𝑢_𝑛+1≤3 et𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, 2≤𝑢_𝑛+1≤3.

8/ 11

(9)

Exemple 20 :

Soit(𝑢_𝑛)la suite définie par𝑢₀= 0et𝑢_𝑛+1= 2(𝑢_𝑛+ 2^𝑛).

Montrer que pour tout entier naturel𝑛, on a : 𝑢𝑛=𝑛2^𝑛. Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel𝑛, on a : 𝑢_𝑛 =𝑛2^𝑛. Notons𝑃_𝑛 la propriété :𝑢_𝑛=𝑛2^𝑛.

∙Initialisation :

La propriété𝑃₀ est-elle vraie ? A-t-on𝑢₀= 0? Ceci est vrai d’après l’énoncé. Donc𝑃₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : 𝑢_𝑛=𝑛2^𝑛; montrons alors que𝑢_𝑛+1= (𝑛+ 1) 2^𝑛+1. 𝑢_𝑛+1= 2(𝑢_𝑛+ 2^𝑛)et d’aprèsl’hypothèse de récurrence :𝑢_𝑛=𝑛2^𝑛.

Donc𝑢_𝑛+1= 2(𝑢_𝑛+ 2^𝑛) = 2(𝑛2^𝑛+ 2^𝑛) = 2(2^𝑛(𝑛+ 1)) = 2^𝑛+1(𝑛+ 1).

Par conséquent𝑢_𝑛+1 = (𝑛+ 1) 2^𝑛+1 et𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, 𝑢_𝑛=𝑛2^𝑛.

9/ 11

(10)

Exemple 21 :

Montrer que si𝑥∈[0; 2]alors𝑥≤√ 2 +𝑥. En déduire le sens de variation de la suite(𝑢𝑛).

Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout entier naturel𝑛, on a : 0≤𝑢_𝑛≤2.

Notons𝑃_𝑛 la propriété :0≤𝑢_𝑛≤2.

∙Initialisation :

La propriété𝑃₀ est-elle vraie ? A-t-on0≤𝑢₀≤2? Ceci est vrai car𝑢₀= 0. Donc𝑃₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : 0≤𝑢_𝑛≤2; montrons alors que0≤𝑢_𝑛+1≤2.

𝑢_𝑛+1=√

2 +𝑢_𝑛et d’après l’hypothèse de récurrence :0≤𝑢_𝑛≤2. Donc2≤2 +𝑢_𝑛 ≤4. Et√ 2≤√

2 +𝑢_𝑛≤2.

De plus,0≤√

2donc on a0≤√

2 +𝑢𝑛≤2.

Et par conséquent0≤𝑢_𝑛+1≤2 et𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃_𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, 0≤𝑢_𝑛≤2.

Montrons que si𝑥∈[0; 2]alors𝑥≤√ 2 +𝑥. Soit𝑥∈[0; 2]fixé ; alors 𝑥≤√

2 +𝑥équivaut à𝑥²≤2 +𝑥car la fonction 𝑥7→𝑥² est croissante surℝ⁺. Or si on pose 𝑃(𝑥) =𝑥²−𝑥−2, polynôme de degré 2, on trouveΔ = 9 et les racines−1 et 2. Et 𝑃(𝑥) est négatif entre les racines. Donc on a en particulier𝑥²−𝑥−2≤0pour tout𝑥∈[0; 2].

On a donc𝑥≤√

2 +𝑥pour tout𝑥∈[0; 2].

Puisque 𝑥≤√

2 +𝑥pour tout𝑥∈[0; 2]et que pour tout 𝑛∈ℕ on a0≤𝑢_𝑛 ≤2alors pour tout 𝑛∈ℕon a 𝑢_𝑛≤√

2 +𝑢_𝑛.

Donc pour tout𝑛∈ℕon a𝑢_𝑛 ≤𝑢_𝑛+1. Et la suite(𝑢𝑛)est croissante.

10/ 11

(11)

Exemple 23 :

Soit(𝑢_𝑛)une suite telle que pour tout𝑛∈ℕ,𝑢_𝑛+1=𝑢_𝑛². Montrer par récurrence que pour tout𝑛∈ℕon a la formule :𝑢_𝑛= (𝑢₀)²

𝑛

. Démonstration :

Montrons par récurrence que pour tout𝑛∈ℕon a𝑢_𝑛= (𝑢₀)²

𝑛

. Notons𝑃_𝑛 la propriété :𝑢_𝑛= (𝑢₀)²

𝑛

.

∙Initialisation :

La propriété𝑃₀ est-elle vraie ? A-t-on𝑢₀= (𝑢₀)²⁰? Ceci est vrai car(𝑢₀)²⁰=𝑢₀. Donc𝑃₀ est vraie.

∙Hérédité :

Supposons que pour un entier𝑛∈ℕon a : 𝑢𝑛= (𝑢₀)²

𝑛

; montrons alors que𝑢_𝑛+1 = (𝑢₀)²^𝑛+1. On a𝑢_𝑛+1=𝑢_𝑛² et d’après l’hypothèse de récurrence :𝑢_𝑛= (𝑢₀)²

𝑛

. Donc𝑢_𝑛+1=(

(𝑢₀)²

𝑛)²

= (𝑢₀)²

𝑛×2

= (𝑢₀)²^𝑛+1 et𝑃_𝑛+1 est vraie.

∙Conclusion :

La propriété𝑃_𝑛 est vraie pour𝑛= 0et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout 𝑛∈ℕ. C’est à dire : pour tout𝑛∈ℕ, 𝑢_𝑛= (𝑢₀)²

𝑛

.

11/ 11