Exemples de démonstrations du chapitre orthogonalité et distance dans l’espace.
Exercice 1. SoientA un point de l’espace, P un plan de l’espace, H le projeté orthogonal deA sur P. Objectif :Montrer queH est le point deP leplus proche de A.
ConsidéronsM un point du plan P distinct deH.
1. Dans cette question l’on considère queARP. (a) Que peut-on dire du triangleAHM? Justifier.
(b) Utiliser alors le théorème bien connu dans ce cas pour montrer queAM ěAH.
(c) Dans quel cas a-t-on égalitéAM “AH?
2. Dans cette question l’on considère queAPP. Justifier queAM ěAH.
3. Conclure.
Exercice 2. SoientA un point de l’espace, P un plan de l’espace,ÝÑn un vecteur normal deP,H le projeté orthogonal deAsurP. On notedla droite passant parAet de vecteur directeurÝÑn etB un point du planP. Objectif : Montrer queAH “
ÝÝÑ AB¨ ÝÑn
kÝÑnk . 1. DéterminerÝÝÑ
HB¨ ÝÑn. 2. Montrer queÝÝÑ
AB¨ ÝÑn
“kÝÑnkˆAH.
3. En déduire que :
AH “
ÝÝÑ AB¨ ÝÑn
kÝÑnk
Exercice 3. Soient A un point de l’espace, d une droite de l’espace,ÝÑu un vecteur directeur de la droite d.
SoitH le projeté orthogonal deA surd.
Objectif :Montrer queH est le point dedle plus proche de A.
Soit M un point deddistinct deH.
1. Dans cette question nous considérons que ARd.
(a) Que peut-on dire du triangleAHM? Justifier.
(b) Utiliser alors le théorème bien connu dans ce cas pour montrer queAM ěAH.
(c) Dans quel cas a-t-on égalitéAM “AH?
2. Dans cette question l’on considère queAPd. Justifier que AM ěAH.
3. Conclure.
Exercice 4. SoientA un point de l’espace, dune droite de l’espace, ÝÑu un vecteur directeur de la droite det Ý
Ñv “ 1
kÝÑukÝÑu (doncÝÑv est un vecteur directeur unitaire de la droite d. On remarquera queÝÑv ¨ ÝÑv “kÝÑvk2“1) Soit H le projeté orthogonal de Asur detB un point ded.
Objectif :Démontrer que AH “
›
›
›
›
› ÝÝÑ AB´
ÝÝÑ AB¨ ÝÑu
kÝÑuk2 Ý Ñu
›
›
›
›
› 1. Justifier qu’il existe kPR tel queÝÝÑ
BH“kÝÑv, puis quek“ÝÝÑ BH¨ ÝÑv. 2. En utilisant queÝÝÑ
BH “ÝÝÑ BA`ÝÝÑ
AH, montrer que ÝÝÑ BH“ ´
ÝÝÑ AB¨ ÝÑu
kÝÑuk2 Ý Ñu
3. En déduire que :AH “
›
›
›
›
› ÝÝÑ AB´
ÝÝÑ AB¨ ÝÑu
kÝÑuk2 Ý Ñu
›
›
›
›
›
2020-2021 1
Exercice 5. SoientA un point de l’espace, dune droite de l’espace, ÝÑu un vecteur directeur de la droite det Ý
Ñv “ 1
kÝÑukÝÑu (doncÝÑv est un vecteur directeur unitaire de la droite d. On remarquera queÝÑv ¨ ÝÑv “kÝÑvk2“1) Soit H le projeté orthogonal de Asur detB un point ded.
Objectif :Démontrer que AH “
›
›
›
›
› ÝÝÑ AB´
ÝÝÑ AB¨ ÝÑu
kÝÑuk2 Ý Ñu
›
›
›
›
› 1. Justifier qu’il existe kPR tel queÝÝÑ
BH“kÝÑv, puis quek“ÝÝÑ BH¨ ÝÑv. 2. On considère les étiquettes :
Pour les égalités :
“
›
›
› ÝÝÑ AB`ÝÝÑ
BH
›
›
›
“ ´
´ÝÝÑ AB¨ ÝÑv
¯ÝÑv
“
›
›
›
›
› ÝÝÑ AB´
ÝÝÑ AB¨ ÝÑu
kÝÑuk2 Ý Ñu
›
›
›
›
›
“
´´ÝÝÑ BA`ÝÝÑ
AH
¯
¨ ÝÑv
¯ÝÑv
“ ´ ÝÝÑ AB¨ ÝÑu
kÝÑuk2 Ý Ñu
“
´ÝBHÝѨ ÝÑv
¯ÝÑv
“
´ÝÝÑ
BA¨ ÝÑv `ÝÝÑ AH¨ ÝÑv
¯ÝÑv.
Pour les justifications.
Linéarité du produit scalaire Relation de Chasles puisque ÝÝÑ
BA“ ´ÝÝÑ AB puisque ÝÝÑ
AH K ÝÑv
D’après la question 1
Utiliser les étiquettes précédentes pour répondre aux questions ci-dessous. Certaines étiquettes de justifi- cations peuvent être utilisées plusieurs fois.
(a) Montrer queÝÝÑ BH “ ´
ÝÝÑ AB¨ ÝÑu
kÝÑuk2 Ý Ñu
Egalités Justifications
ÝÝÑ
BH ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨
(b) Conclure. Donc :AH “
Exercice 6. 1. Déterminer la distance du pointAp1,1,1q aux plans définis par :
P: passant par O, de vecteur normal ~u:
¨
˝ 1 1 1
˛
‚puisP1 : passant parBp´1,0,0q, de vecteur normal ~v:
¨
˝ 0 0 1
˛
‚
2. Déterminer la distance du pointAp1,1,1q aux droites définies par :
D: passant par O, de vecteur directeur ~u:
¨
˝ 0 0 1
˛
‚puisD1 : passant parBp1,0,0q,de vecteur directeur ~v:
¨
˝ 1 1 1
˛
‚
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