Orthogonalité et Distance Dans l’espace.

1 I) DROITES ORTHOGONALESDANS L’ESPACE

1) Droites orthogonales

EXEMPLE

On considère le parallélépipède rectangle 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 ci- contre.

• Les droites (∆) et (𝑑) sont orthogonales car la droite (𝑑) est parallèle à la droite (𝐴𝐷) elle-même perpendiculaire à (∆).

• De même, les droites (∆) et (𝑑′) sont orthogonales.

2) Droite orthogonale à un plan

REMARQUE

Certaines propriétés vraies dans le plan ne le sont plus dans l’espace. Par exemple, les droites (𝑑₁) et (𝑑₂) sont toutes les deux orthogonales à la droite (∆) et pourtant elles ne sont pas parallèles entre elles.

Orthogonalité et Distance Dans l’espace.

• Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment un angle droit en leur point d’intersection ;

• Deux droites (𝑑) et (𝑑′) sont orthogonales si elles sont perpendiculaires, ou s’il existe une droite parallèle à (𝑑) et une droite parallèle à (𝑑′) qui sont perpendiculaires.

DEFINITIONS

Si deux droites sont parallèles alors toute droite orthogonale à l’une est orthogonale à l’autre.

THEOREME

Une droite est orthogonale à un plan si cette droite est orthogonale à toute droite contenue dans ce plan.

DEFINITION

Une droite est orthogonale à un plan si et seulement si elle est orthogonale à deux droites sécantes de ce plan.

THEOREME

( 𝑑₁)

2 REMARQUE

C’est pour cela que les portes tournent !

EXEMPLE

Dans le cube 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻, la droite (𝐴𝐸) est orthogonale aux droites sécantes (𝐴𝐵) et (𝐴𝐷) du plan (𝐴𝐵𝐷). On en déduit que la droite (𝐴𝐸) est orthogonale au plan (𝐴𝐵𝐷).

EXERCICE

On considère un cube ABCDEFGH.

• Justifier que les droites (HE) et (EB) sont perpendiculaires.

• Les droites (GE) et (EB) sont-elles perpendiculaires ?

• Justifier que la droite (DB) est perpendiculaire au plan (EAG).

• Soient I et J les milieux de [AB] et [AE].

- Justifier que (IJ) est parallèle au plan (BCH).

- Justifier que (IJ) et (BF) sont sécantes.

Construire K leur point d’intersection.

- Justifier que (IJ) est sécante au plan (DBF) en K.

• Deux plans orthogonaux à une même droite sont parallèles.

• Si deux plans sont parallèles, alors toute droite orthogonale à l’un est orthogonale à l’autre.

• Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles.

• Si deux droites sont parallèles, alors tout plan orthogonal à l’une est orthogonal à l’autre.

THEOREMES

3 II) PRODUIT SCALAIRE DANS L’ESPACE

1) Repères orthonormés de l’espace :

REMARQUE

Lorsque le repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) de l’espace est orthonormé, chaque axe est perpendiculaire à toute droite passant par le point O et contenue dans le plan défini par les deux autres axes.

Ainsi la droite (𝑂𝐼) est perpendiculaire à toute droite du plan (𝑂𝐽𝐾) passant par O.

EXEMPLE

Un cube dont l’arête mesure une unité de longueur fournit un modèle de repère orthonormé de l’espace.

On note le repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) ou (𝑂 ; 𝑂𝐼⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐽⃗⃗⃗⃗ , 𝑂𝐾⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) 𝑂𝑀 = √1² + 1² + 1² = √3

2) Définition du produit scalaire dans l’espace :

Un repère (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) de l’espace est orthonormé lorsque les droites (𝑂𝐼) , (𝑂𝐽) et (𝑂𝐾) sont deux à deux perpendiculaires et qu’on a les égalités de distances :

𝑶𝑰 = 𝑶𝑱 = 𝑶𝑲 = 𝟏.

DEFINITION

Soit (𝑂 ; 𝐼 ; 𝐽 ; 𝐾) un repère orthonormé de l’espace et 𝑀 un point de coordonnées (𝑥 ; 𝑦 ; 𝑧) dans ce repère.

La longueur 𝑂𝑀 et la norme du vecteur 𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ vérifient :

𝑂𝑀 = ‖𝑂𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ‖ = √𝑥² + 𝑦² + 𝑧²

PROPRIETE

Soient 𝑢⃗ et 𝑣 deux vecteurs de l’espace et 𝐴, 𝐵 et 𝐶 trois points tels que 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ . Les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 appartiennent à un plan P et le produit scalaire 𝑢⃗ ∙ 𝑣 dans l’espace est par définition égal au produit scalaire des vecteurs 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ calculé dans le plan P.

DEFINITION

4 CONSEQUENCES

• Le produit scalaire ne dépend que des vecteurs 𝒖⃗⃗ et 𝒗⃗⃗ , et non du choix de leurs représentants ou du plan P, car ce produit scalaire peut s’exprimer au moyen des normes de 𝑢⃗ et de 𝑣 seulement :

𝒖

⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ =𝟏

𝟐[‖𝒖⃗⃗ ‖² + ‖𝒗⃗⃗ ‖² − ‖𝒖⃗⃗ − 𝒗⃗⃗ ‖²]

• Pour calculer un produit scalaire, on choisit deux représentants des vecteurs situés dans un même plan. Outre la formule des normes, on dispose alors des autres méthodes vues en classe de première pour effectuer ce calcul :

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩 × 𝑨𝑪 × 𝐜𝐨𝐬(𝑩𝑨𝑪̂ )

𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑪⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑨𝑩⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑨𝑯⃗⃗⃗⃗⃗⃗ où 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐶 sur la droite (𝐴𝐵).

EXEMPLE

Soit le tétraèdre régulier ABCD de côté 1.

On a 𝐼𝐽⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ et comme ABC est équilatéral, le point C se projette orthogonalement sur [𝐴𝐵] en son milieu K :

𝐼𝐽⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝐴𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ ²=1 4

EXERCICES

1) Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tétrèdre régulier de côté 𝑎. Les points 𝐼, 𝐽 et 𝐾 sont les milieux respectifs des segments [𝐵𝐶], [𝐴𝐶] et [𝐴𝐷].

a) Calculer les produits scalaires suivants : i. 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

ii. 𝐴𝐼 ⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

b) i) Justifier que 𝐽𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ =1

2 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

ii) Calculer le produit scalaire 𝐽𝐾 ⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐵𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

Le carré scalaire d’un vecteur 𝑢⃗ de l’espace est le réel noté 𝑢⃗ ^² vérifiant 𝑢⃗ ^² = 𝑢⃗ ∙ 𝑢⃗ . On a, comme dans le plan : 𝑢⃗ ^² = ‖𝑢⃗ ‖² et par suite ‖𝑢⃗ ‖ = √𝑢⃗ ²

DEFINITION ET PROPRIETE

5

2) Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷 un tétrèdre régulier d’arête de longueur 𝑎 et 𝐸 le point défini par : 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =1

3𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

a) Calculer les produits scalaires : 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . b) Calculer 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐶𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ .

c) En déduire que le triangle 𝐴𝐵𝐸 est rectangle en 𝐴.

III) PROPRIETES DU PRODUIT SCALAIRE

1) Expression dans un repère orthonormé

EXEMPLE

Dans un repère orthonormé de l’espace, si : 𝑢⃗ (

−1 2 3

) et 𝑣 ( 3 2

−1

) alors on obtient : 𝑢

⃗ ∙ 𝑣 = −3 + 4 − 3 = −2.

2) Propriétés algébriques

3) Vecteurs orthogonaux

Dans un repère orthonormé de l’espace, soit 𝑢⃗ ( 𝑥 𝑦 𝑧

) et 𝑣 ( 𝑥′

𝑦′

𝑧′

) deux vecteurs, alors : 𝒖

⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ = 𝒙𝒙′ + 𝒚𝒚′ + 𝒛𝒛′.

PROPRIETE

Pour tous vecteurs 𝑢⃗ , 𝑣 et 𝑤⃗⃗ du plan, pour tout réel 𝑘 on a les relations suivantes :

∗ 𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ = 𝒗⃗⃗ ∙ 𝒖⃗⃗ ∗ 𝒖⃗⃗ ∙ (𝒗⃗⃗ + 𝒘⃗⃗⃗ ) = 𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ + 𝒖⃗⃗ ∙ 𝒘⃗⃗⃗

∗ 𝒖⃗⃗ ∙ (𝒌𝒗⃗⃗⃗⃗⃗ ) = (𝒌𝒖⃗⃗ ) ∙ 𝒗⃗⃗ = 𝒌(𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ ) ∗ (𝒖⃗⃗ − 𝒗⃗⃗ ) ∙ (𝒖⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ) = 𝒖⃗⃗ ² − 𝒗⃗⃗ ²

∗ (𝒖⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ )² = 𝒖⃗⃗ ² + 𝟐𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ² ∗ (𝒖⃗⃗ − 𝒗⃗⃗ )² = 𝒖⃗⃗ ² − 𝟐𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ + 𝒗⃗⃗ ² PROPRIETES

Soient 𝑢⃗ = 𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝑣 = 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ deux vecteurs de l’espace

Le produit scalaire 𝒖⃗⃗ ∙ 𝒗⃗⃗ est nul, si et seulement si : 𝒖⃗⃗ = 𝟎⃗⃗ ou 𝒗⃗⃗ = 𝟎⃗⃗ ou 𝑩𝑨𝑪̂ = ^𝝅 𝟐 PROPRIETE

6

EXERCICES

1) L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ).

On considère les points 𝐴(1 ; 7 ; −2), 𝐵(4 ; 6 ; −5) et 𝐶(3 ; 1 ; 2).

a) Justifier que les vecteurs 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐴𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ sont orthogonaux.

b) Que peut-on en déduire pour le triangle 𝐴𝐵𝐶 ?

2) On considère le pavé droit 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 tel que 𝐴𝐵 = 4, 𝐴𝐸 = 3 et 𝐴𝐷 = 12.

Le point 𝐿 est le milieu de [𝐴𝐺]. On définit les vecteurs 𝑖 , 𝑗 et 𝑘⃗ par : 𝑖 =1

4 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝑗 = 1

12𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑒𝑡 𝑘⃗ =1 3𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . a) Justifier que le repère (𝐴 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ) est orthonormé.

b) Donner les coordonnées des points 𝐵, 𝐶 𝑒𝑡 𝐺.

Calculer les coordonnées du point 𝐿.

c) Calculer le produit scalaire 𝐿𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝐿𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . d) Calculer les longueurs 𝐿𝐵 et 𝐿𝐶.

e) En déduire une valeur approchée de l’angle 𝐵𝐿𝐶̂ à 0,1 degré près.

IV) ORTHOGONALITE DANS L’ESPACE

1) Orthogonalité entre une droite et un plan

CONSEQUENCES

Pour montrer qu’une droite D est orthogonale à un plan P, il suffit d’établir qu’un vecteur directeur de la droite D est orthogonal à un couple de vecteurs directeurs du plan P.

Deux vecteurs sont orthogonaux lorsque leur produit scalaire est nul.

Deux droites D et ∆ sont orthogonales lorsque leurs vecteurs directeurs respectifs sont orthogonaux.

DEFINITION

Si une droite D est orthogonale à deux droites sécantes d’un plan P, alors D est orthogonale à toute droite du plan P.

On dit que la droite D est orthogonale au plan P.

PROPRIETE ET DEFINITION

7 EXERCICES

1) L’espace est rapporté à un repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ).

On considère les points 𝐴(2 ; −3 ; 4), 𝐵(1 ; 2 ; −11), 𝐶(−4 ; 5 ; −9), 𝐷(−8 ; 3 ; 4) et 𝐸(−3 ; 10 ; 6).

a) Démontrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 définissent un plan.

b) Démontrer que les droites (𝐴𝐵) et (𝐷𝐸) sont orthogonales.

c) Démontrer que la droite (𝐷𝐸) est orthogonale au plan (𝐴𝐵𝐶).

2) C est un cercle de diamètre [𝐴𝐵] d’un plan P et 𝑑 est la perpendiculaire à P passant par 𝐴.

Soit 𝐸 un point distinct de C distinct de 𝐴 et 𝐵, et 𝐹 un point de 𝑑 distinct de 𝐴.

a) Justifier que les droites (𝐴𝐸) et (𝐵𝐸) sont perpendiculaires.

b) En déduire que la droite (𝐵𝐸) est perpendiculaire au plan (𝐴𝐸𝐹).

2) Vecteur normal à un plan – équation cartésienne

EXEMPLE

Dans un repère orthonormé on donne le point 𝐴(2 ; −1 ; 0) et le vecteur 𝑛⃗ (

−1 2 3

).

Le plan P passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝑛⃗ a pour équation :

−1(𝑥 − 2) + 2(𝑦 + 1) + 3𝑧 = 0 → −𝑥 + 2 + 2𝑦 + 2 + 3𝑧 = 0 soit −𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 + 4 = 0 L’ensemble (E) des points 𝑀 de l’espace dont les coordonnées (𝑥 , 𝑦 , 𝑧) vérifient l’équation 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0 où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont trois réels non tous nuls est un plan de vecteur normal 𝑛⃗ (

𝑎 𝑏 𝑐

) PROPRIETE

Soit P un plan, on appelle vecteur normal à P, tout vecteur directeur 𝑛⃗ d’une droite orthogonale au plan P.

DEFINITION

Soit P un plan de vecteur normal 𝑛⃗ et 𝐴 un point de P.

Le plan P est l’ensemble des points 𝑀 de l’espace vérifiant : 𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝑛⃗ = 0, et dans tout repère orthonormé de l’espace, le plan P a une équation cartésienne de la forme : 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 + 𝑑 = 0, où 𝑎, 𝑏 et 𝑐 sont les coordonnées de 𝑛⃗ dans ce repère.

PROPRIETE

8 REMARQUE

L’équation cartésienne d’un plan n’est pas unique.

Par exemple le plan d’équation 𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 − 1 = 0 a aussi pour équation 2𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧 − 2 = 0.

3) Exercices :

a) L’espace étant muni d’un repère orthonormé, on considère les points 𝐴(2 ; −3 ; 5), 𝐵(1 ; 0 ; 7) et 𝐶(−4 ; 1 ; 3).

i. Démontrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 définissent un plan.

ii. Démontrer que le vecteur 𝑛⃗ (¹1

−1) est un vecteur normal au plan (𝐴𝐵𝐶).

b) Soit 𝐴(−1 ; 2 ; 5) un point de l’espace et 𝑛⃗ (⁻³1

4) un vecteur.

i) Déterminer une équation du plan P passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝑛⃗ . ii) Soit 𝐵(3 ; 8 ; 7).

Déterminer une équation du plan médiateur P ’ du segment [𝐴𝐵].

c) Soit 𝐴(1 ; 0 ; 3), 𝐵(2 ; 2 ; 7) et 𝐶(−1 ; 5 ; 4) trois points de l’espace et P le plan d’équation cartésienne 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 + 1 = 0.

i) Démontrer que les points 𝐴, 𝐵 et 𝐶 définissent un plan.

ii) Démontrer que P est le plan (𝐴𝐵𝐶).

En déduire un vecteur normal au plan (𝐴𝐵𝐶).

d)

1) On considère un cube ABCDEFGH.

• Justifier que 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ est un vecteur normal au plan (𝐴𝐵𝐶𝐷).

• En déduire la valeur de 𝐴𝐸⃗⃗⃗⃗⃗ ∙ 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗

• Montrer que le vecteur 𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ est normal au plan (𝐻𝐷𝐵𝐹).

2) L’espace est rapporté au repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ).

On considère les points 𝐴(3 ; 1 ; 2) ; 𝐵(1 ; −1 ; 1) et 𝐶(5 ; 2 ; 3).

• Déterminer une équation cartésienne du plan P passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ .

• Déterminer une équation cartésienne du plan (𝐴𝐵𝐶).

9 3) L’espace est rapporté au repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 , 𝑗 , 𝑘⃗ ).

Soient P et P ’ les plans d’équations respectives : 2𝑥 + 𝑦 − 𝑧 − 3 = 0 et 𝑥 + 2𝑦 − 2𝑧 + 5 = 0.

Montrer que l’intersection de P et de P ’ est une droite dont on donnera une représentation paramétrique.

4) L’espace est rapporté au repère orthonormé (𝑂 ; 𝑖 ; 𝑗 ; 𝑘⃗ ).

On considère la droite 𝛿 de représentation paramétrique {

𝑥 = 1 + 2𝜆 𝑦 = −4 − 𝜆 𝑧 = 1 + 3𝜆

avec 𝜆 ∈ ℝ, ainsi que le plan P d’équation 2𝑥 − 𝑦 − 4𝑧 + 12 = 0 et le plan P ‘ ’ d’équation 5𝑥 + 𝑦 − 3𝑧 + 2 = 0.

• Déterminer l’intersection de 𝛿 et de P.

• Déterminer l’intersection de 𝛿 et de P ‘.

• Déterminer l’intersection de P et de P ’.

V) PROJETE ORTHOGONAL D’UN POINT SUR UNE DROITE OU SUR UN PLAN.

PROPRIETE

« Le projeté orthogonal du point 𝑀 sur une droite 𝑑 est le point de la droite 𝑑 le plus proche du point 𝑀. »

PROPRIETE

« Le projeté orthogonal d’un point 𝑀 sur un plan P est le point du plan P le plus proche du point 𝑀. » PROJETE ORTHOGONALE SUR UNE DROITE

Soit 𝑀 un point et 𝑑 une droite de l’espace.

On appelle PROJETE ORTHOGONAL de 𝑀 sur 𝑑, l’unique point 𝐻 vérifiant :

• si 𝑀 appartient à 𝑑 alors 𝐻 est confondu avec 𝑀.

• sinon, 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝑀 sur 𝑑 dans l’unique plan P passant par 𝑀 et contenant la droite 𝑑.

DEFINITION

PROJETE ORTHOGONALE SUR UN PLAN

Soit 𝑀 un point de l’espace et P un plan.

On appelle PROJETE ORTHOGONAL de 𝑀 sur P , le point 𝐻 intersection de P avec sa perpendiculaire passant par 𝑀.

DEFINITION

10 VI) EXERCICES DIVERS

a) L’espace étant muni d’un repère orthonormé, on considère les points 𝐴(2 ; 3 ; 3), 𝐵(−1 ; 17 ; −17) et le vecteur 𝑛⃗ (²3

−4

). On note P le plan passant par 𝐴 et de vecteur normal 𝑛⃗ . i) Démontrer que le point 𝐻(−9 ; 5 ; −1) appartient à P.

ii) Démontrer que 𝐻 est le projeté orthogonal de 𝐵 sur P.

En déduire la distance du point 𝐵 au plan P.

iii) Soit 𝐶(5 ; 11 ; −5).

Justifier que 𝐶 est le projeté orthogonal de 𝐻 sur la droite (𝐵𝐶).

Calculer la distance du point 𝐻 à la droite (𝐵𝐶).

b) Soit 𝑑 la droite passant par le point 𝐴(1 ; −2 ; 1) et de vecteur directeur 𝑢⃗ (⁻³1

4). Déterminer les coordonnées du point 𝐻, projeté orthogonal du point 𝐵(−15 ; −10 ; 4) sur la droite 𝑑.

c) Soit P le plan d’équation 2𝑥 + 3𝑦 − 7𝑧 − 14 = 0 et 𝑑 la droite dont une représentation paramétrique est : {

𝑥 = −2 + 𝑡 𝑦 = −11 + 3𝑡 𝑧 = 19 − 5𝑡

𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑡 ∈ ℝ.

Déterminer l’intersection du plan P et la droite 𝑑.

d) Soit 𝐴(8 ; 10 ; 5) un point de l’espace et P le plan d’équation 2𝑥 + 3𝑦 − 𝑧 + 1 = 0.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal 𝐻 du point 𝐴 sur le plan P.

e) Soit 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹𝐺𝐻 un cube.

L’espace est muni d’un repère orthonormé (𝐴 ; 𝐴𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 𝐴𝐸 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ).

Soit 𝐼 le milieu du segment [𝐴𝐵], 𝐽 le milieu du segment [𝐸𝐻] et 𝐾 le milieu du segment [𝐵𝐶].

i) Déterminer les coordonnées de 𝐼, 𝐽 et 𝐾.

ii) Démontrer que le triangle 𝐼𝐽𝐾 est rectangle en 𝐼.

iii) Déterminer l’aire A du triangle 𝐼𝐽𝐾.

iv) On admet que le point 𝑀 (¹₂

;

;

Déterminer le volume V du tétraèdre 𝐼𝐽𝐾𝐹.