Chapitre 13 : ESPACE

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Chapitre 13 : ESPACE

I) Solide :

1) Définition : Solide :

Un solide est un objet en trois dimensions, c’est-à-dire qu’il occupe un volume dans l’espace.

On peut distinguer deux catégories de solides : les polyèdres et les non polyèdres.

Exemples :

Boule Cône Pyramide Prisme droit Cylindre

Parallélépipède

rectangle Sphère Cube Dodécaèdre Pavé droit

Exercice :

Donner quelques exemples de solides de la vie courante.

2) Définitions : Polyèdre – Face – Arêtes - Sommets:

Un polyèdre est un solide composé de polygones appelés faces.

Les côtés de ces polygones sont appelées arêtes, ils sont délimités par des sommets.

Exemples :

Pyramide Cube Dodécaèdre

régulier

Grand dodécaèdre

Dodécaèdre étoilé

Exercice :

Préciser quels solides de l’exemple de la définition 1 ne sont pas des polyèdres.

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II) Description d’un Parallélépipède rectangle :

1) Définition : Parallélépipède rectangle (ou pavé droit) :

Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide dont les six faces sont des rectangles.

Exemple :

Le solide ci-dessous est un parallélépipède rectangle.

Ses 6 faces, ABFE – DCGH – ABCD – EFGH – ADHE – BCGF, sont des rectangles.

Exercice :

Chercher et coller l’image d’un pavé droit que l’on trouve dans la vie courante.

2) Propriété :

Un parallélépipède rectangle possède 6 faces, 8 sommets et 12 arêtes.

Un parallélépipède rectangle est défini par trois dimensions : sa longueur, sa largeur et sa hauteur.

Exercice :

Nommer toutes les faces, toutes les arêtes et tous les sommets de la figure de l’exemple précédent.

Remarque :

Un cube est un parallélépipède rectangle dont les 6 faces sont des carrés.

III) Perspective cavalière d’un parallélépipède rectangle :

1) Propriété :

Dans une représentation en perspective cavalière d’un parallélépipède rectangle :

- Les arêtes parallèles sur le solide sont représentées par des segments parallèles et de même longueur ; - Les faces qu’un observateur a face à lui (faces avant et arrières) sont représentées en vraie

grandeur (ou à l’échelle) ; les arêtes qui relient ces faces sont réduites ; - Les arêtes qu’un observateur ne voit pas sont représentées en pointillées.

Exemples :

Deux arêtes issues d’un même

sommet sont perpendiculaires.

Deux arêtes parallèles ont la même longueur.

Deux faces non opposées sont perpendiculaires.

Deux faces opposées sont

parallèles.

Exercice : Tracer un pavé droit de Longueur 5 cm, de largeur 3 cm, et de hauteur 4 cm en perspective cavalière Face BCGF

Sommet C

Arête [AB]

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IV) Patron d’un parallélépipède rectangle :

1) Définition : Parallélépipède rectangle (ou pavé droit) :

Un patron d’un solide est un dessin en un seul morceau qui permet de construire ce solide.

Sur un patron, toutes les faces sont dessinées en vraie grandeur.

Exemples :

Il y a plusieurs patrons différents pour un même parallélépipède rectange.

Exercice : Tracer un patron d’un pavé droit de Longueur 5 cm, de largeur 3 cm, et de hauteur 4 cm.

Remarque :

Un patron d’un cube est constitué de 6 carrés de même dimension.

V) Volume d’un solide :

1) Définition : Volume :

Le volume d’un solide est la mesure de son intérieur.

Exemple :

Dans la figure ci-contre, l’unité de volume choisie est le petit cube.

Sur chaque rangée du grand parallélépipède rectangle orange, on compte 5 cubes.

Sur chaque étage, on compte 4 rangées de 5 cubes, soit 20 cubes.

Ce solide est constitué de 2 étages de 20 cubes, soit 40 cubes.

Le volume du grand solide orange est donc 40 unités de volume.

Exercice : En prenant pour unité de volume le petit cube, donner le volume de chacun des solides ci-dessous : Unité de volume

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http://mathsreibel.free.fr 4 2) Définition : Unités internationale de volume :

L’unité internationale pour la mesure d’un volume est le mètre cube (m³) 1 m³ est le volume occupé par un cube de côté 1 m.

Exemple :

Dans la figure cet exemple, l’unité de volume choisie est le m³ :

Le solide orange ci-dessous est constitué de 40 cubes orange.

Le volume du grand solide orange est de 40 m³.

Exercice :

a. Imaginer un découpage du solide ci-dessous en m³.

b. A l’aide du découpage de la question a, exprimer le volume du parallélépipède rectangle ci-dessus en m³.

3) Exemple : conversion d’unité de volume : Enoncé : Convertir 5,8 m³ en dm³.

Correction détaillée :

Pour convertir des longueurs, on procède en trois étapes :

1. On place la virgule dans le tableau suivant dans l’unité de départ (toujours dans la colonne la plus à droite);

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

,

2. On place le nombre dans le tableau en respectant la place de la virgule ;

5, 8

3. On déplace la virgule dans l’unité souhaitant en ajoutant des 0 si nécessaires.

5, 8 0 0, 4. On obtient : 5,8 m³ = 5 800 dm³.

Exercice :

Convertir 40 m³ en cm³.

Remarque :

Pour restant cohérent avec le fait qu’il y ait 1 000 cm³ dans un dm³, etc.

il y a trois colonnes par unité dans le tableau de conversion des unités de volume.

Le …³ de m³ permet de s’en souvenir facilement.

1m³

1 cm³

1 dm

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http://mathsreibel.free.fr 5 4) Propriété :

Le volume d’un parallélépipède rectangle de longueur 𝐿, de largeur 𝑙 et de hauteur ℎ est :

𝑉 = 𝐿 × 𝑙 × ℎ

Exemple :

Dans la figure ci-contre,

𝑉 = 𝐿 × 𝑙 × ℎ

= 3 𝑐𝑚 × 2,5 𝑐𝑚 × 2 𝑐𝑚

= 15 𝑐𝑚³

Exercice :

Tracer en perspective cavalière un pavé droit de volume 63 cm³.

5) Propriété : Relation entre les unités de contenance :

1 litre (L) est la contenance d’un cube d’arête 1 décimètre : 1 𝐿 = 1 𝑑𝑚³

Exemple :

Sur la terre, l’eau a un volume d’environ 1400 milliards de km³.

Soit environ :

1 400 000 000 000 000 000 000 dm³ Et donc :

1 400 000 000 000 000 000 000 Litres

Exercice :

Pour abreuver ses poules, Pierrot utilise une cuve de récupération d’eau de pluie ayant la forme d’un parallélépipède rectangle, de longueur 1 m, de hauteur 50 cm et de profondeur 60 cm.

Calculer la capacité totale de la cuve, puis exprimer cette capacité en litres.

1 𝐿 = 1 𝑑𝑚³