217 - Sous variétés de R^n. Exemples.
I) Généralités
1) Théorèmes d’inversion TIL, TFI
2) Immersions et submersions
Submersion, immersion Théorèmes à ce propos
II) Les sous variétés
1) Gros théorèmes, définitions Déf de sous variété
Gros théorème
Exemples de sous variétés, de non sous variétés 2) Espaces tangents
III) Exemples et applications
1) Exemples simples 2) Groupe classiques Isomph exceptionnel
3) Contour d’un ellipsoïde 4) Matrice de rang donné
Développements :
1 - SO3(C) isomorphe à PSL_2(C) [???] (**) Matrice de rang donné [Rou] (**)
Contour apparent d’un ellipsoïde [Rou] (**)
Bibliographie : Rouvière
Lafontaine – Introduction aux variétés différentielles
Rapport du jury : cette leçon est nouvelle et ne saurait être réduite à un cours de géométrie différentielle abstrait. Le jury attend une leçon concrète, montrant une compréhension géométrique locale. Aucune notion globale n’est exigible, ni de notion de variété abstraite. Le candidat doit pouvoir être capable de donner plusieurs représentations locales (paramétriques, équations ...) et d’illustrer la notion d’espace tangent sur des exemples classiques. Le jury invite les candidats à réfléchir à la pertinence de l’introduction de la notion de sous-variétés. En ce qui concerne les surfaces de R^3, les candidats sont invités à réfléchir aux notions de formes quadratiques fondamentales et à leurs interprétations géométriques. Le théorème des extrema liés peut être évoqué dans cette leçon. Les groupes classiques donnent des exemples utiles de sous-variétés.
Questions du jury 2010 :
- interprétation géométrique des extrema liés ? - montrer qu’un cône n’est pas une sous variété
- Exo : S={(x,y,z), f(x,y,z)=0}, f C^1. P un point pas dans S. Mq il existe A dans S tq (PA) est perpendiculaire au plan tangeant à S en A.
