ILLUSTRER PAR DES EXEMPLES QUELQUES MÉTHODES DE CALCUL D’INTÉGRALES DE FONCTIONS D’UNE OU PLUSIEURS VARIABLES.

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�� ILLUSTRER PAR DES EXEMPLES QUELQUES MÉTHODES DE CALCUL D’INTÉGRALES DE FONCTIONS D’UNE OU PLUSIEURS VARIABLES.

I. Méthodes de calcul directes

I. A. Calculs de primitives

[Gou��, §�.�, p��] [Gou��, §�.�, p��]

T��. SiFest une primitive defsur[a, b], alors on asb

a f(t)dt=F(b)≠F(a).

E��. Pour–>1,s+Œ

1 1

t^–dt= _–+1¹ . Pourxœ R,sx 0 1

1+x²dx= arctan(x).

T��. [�� ]

Soitf œ K(X)non nulle (K = RouC), écrivonsf = N/DavecN, D œ K[X]premiers entre eux etDunitaire. EcrivonsD =rn

i=1D^–_iⁱsa décomposition en facteurs irréductibles.

Alorsfs’écrit de manière unique sous la formef =E+qn i=1q–i

j=1Ai, j

D^j_i avecE œK[X], Ai, jœK[X]etdeg(Ai, j)<deg(Di).

A��. Pour calculer une intégrale d’une fraction rationnelle réelle, on la décompose en éléments simples. Il su�it alors de connaître les intégrales :

• dex‘≠æ _(x≠a)¹ ^hpouraœRethœN^ú. On calcule facilement une primitive :

x‘≠æ 1

(1≠h)(x≠a)^h≠1 sih”= 1 x‘≠æln(|x≠a|) sih= 1

• dex‘≠æ _(x²_+cx+d)^ax+b ^h pourc²≠4d <0ethœN^ú. Ecrivons_(x2+cx+d)^ax+b ^h = _[(x^2–(x≠p)_≠_p)2+q²]^h +

[(x≠p)—²+q²]^h. On calcule facilement la première primitive, et on procède par récurrence sur hpour la seconde.

E��. En décomposant en éléments simples_x(x2¹+1) =_x¹≠x²^x+1≠_(x²^x₊₁₎², on obtient quex‘≠æln(|x|)≠¹₂ln(x²+ 1) +¹₂_1+x¹2 est une primitive dex‘≠æ _x(x²¹₊₁₎.

I. B. Intégration par parties

[Gou��, §�.�, p��]

T��. [�� ]

Soientu, v: [a, b]≠æCdeux fonctions de classeC¹. Alors

⁄ b a

u(x)v^Õ(x)dx= [uv]^b_a≠

⁄ b a

u^Õ(x)v(x)dx

A��. L’intégrales+Œ 0 sin(x)

x dxest semi-convergente.

E��. [I�� W��]

PosonsIn =sﬁ/2

0 sinⁿ(x)dxpournœN. AlorsIn=ⁿ^≠1_n In≠2pournØ2.

E��. Soit :x‘≠æs+Œ

0 e^≠tt^x≠1dtpourxœR^ú+. Alors (x+ 1) =x (x)pourx >0.

On en déduit (n+ 1) =n!pournœN.

I. C. Changement de variables

[Gou��, §�.�, p��] [BP��, §��.�, p��]

T��. [�� 1]

SoitÏ: [a, b]≠æRde classeC¹dont la dérivée ne s’annule pas def :I≠æRcontinue par morceaux telle queÏ([a, b])µI. Alors

⁄ b a

f(Ï(t))Ï^Õ(t)dt=⁄ Ï(b) Ï(a) f(u)du A��. [�� B��]

On cherche à calculer une primitive de fraction rationnelle en cos(x),sin(x). Notons-là R(cos(x),sin(x)).

• SiR(cos(x),sin(x))dxest inchangé parx‘≠æﬁ≠x, on poset= sin(x),

• SiR(cos(x),sin(x))dxest inchangé parx‘≠æ ≠x, on poset= cos(x),

• SiR(cos(x),sin(x))dxest inchangé parx‘≠æﬁ+x, on poset= tan(x),

• Sinon, on peut toujours essayert= tan(x/2) E��. sﬁ

0 sin³(x) 1+cos²(x)=s1

≠11≠t²

1+t²dt=ﬁ≠2via le changement de variablest= cos(x).

T��. [�� ]

SoitU, Vdeux ouverts deRⁿet„unC¹-di�éomorphisme deUsurV. Alors pour toute fonction boréliennef :V ≠æR+, on a :

s

V f(v)dv=s

Uf(„(u))|J„(u)|du où J„(u) = det(d„u)

De plus, toute fonctiongmesurable et définie surÏ(U)est intégrable si et seulement si(g¶ Ï)|JÏ|est intégrable surUet dans ce cas la formule précédente reste vraie pourg.

A��. [�� ]

Pourf :R²≠æR+borélienne, on as

R²f(x, y)dxdy=s

R^ú+◊]≠ﬁ,ﬁ[f(rcos(◊), rsin(◊))rdrd◊.

E��. s

Re^≠^x²dx=Ôﬁ.

ÉNS Paris-Saclay –��/�� AntoineB��–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur��

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Agrégation – Leçons ��– Illustrer par des exemples quelques méthodes de calcul d’intégrales de fonctions d’une ou plusieurs variables.

I. D. Théorèmes de F��

[BP��, §��.�, p��–��]

Soient(E,A, µ)et(F,B,‹)des espaces mesurés. On suppose queµet‹sont‡-finies.

T��. [�� F��-T��]

Soitf : (E◊F,A¢B, µ¢‹)≠æR⁺mesurable positive. Alorsx‘≠æs

Ff(x, y)d‹(y)et y‘≠æs

Ef(x, y)dµ(x)sont mesurables et on a :

⁄

E◊F

f(x, y)d(µ¢‹)(x, y) =⁄

E

⁄

F

f(x, y)d‹(y)dµ(x) =⁄

F

⁄

E

f(x, y)dµ(x)d‹(y) œ[0,+Œ]

E��. SoitD=)(x, y)œR²+|x+yÆ1* . Alorss

Dxydxxy=₂₄¹. T��. [�� F��-L��]

Soitf : (E◊F,A¢B, µ¢‹)≠æKintégrable. Alors

• x‘≠æs

Ff(x, y)d‹(y)est définieµ- p.p. et est intégrable surE,

• y‘≠æs

Ef(x, y)dµ(x)est définie‹- p.p. et est intégrable surF,

• s

E◊Ff(x, y)d(µ¢‹)(x, y) =s

E

s

Ff(x, y)d‹(y)dµ(x) =s

F

s

Ef(x, y)dµ(x)d‹(y) E��. Considérons f : [0,+Œ[◊[0,1] ≠æ R

(x, y) ‘≠æ 2 e^≠2xy≠e^xy . Elle est continue maiss1

0 sŒ

0 f(x, y)dxdy= 0<sŒ 0 s1

0 f(x, y)dydx.

A��. Calcul du volume de la boule unité euclidienne deRⁿ: Vn= Lebn(B(0,1)) = ﬁ^n/2

(n/2 + 1)

II. Techniques indirectes

II. A. Paramétrisation, interversions somme-intégrale

[BP��, Ch�/�, p��–��]

Soit(E,A, µ)un espace mesuré.

T��. [�� ]

Soit(fn)nœNune suite de fonctions mesurables telles que :

• limnæ+Œfnexisteµ- p.p.,

• il existegintégrable surEtelle que|fn(x)|Æg(x)µ- p.p.pour toutnØ0.

Alorsfest intégrable etlimnæ+Œs

E|fn≠f|dµ= 0(et doncs

Efndµ _n≠æ_æ+Œ s

Ef dµ).

E��. L’hypothèse de domination est cruciale : considérerfn=n1_[0,1/n].

A��. Pourx >0, (x) = limnæ+Œsn

0(1≠t/n)ⁿt^x^≠1= limx(x+1)...(x+n)^n!n^x . A��. Lorsque l’on peut écrirefcomme série de fonctions, on peut souvent appliquer le théorème de convergence dominée.

⁄ 1 0

ln(x)

x≠1dx= ÿ

nœN^ú

1 n² =ﬁ²

6

T��. [�� ]

SoientIun intervalle deRetf :I◊E≠æKtelles que :

• pour toutuœI,x‘≠æf(u, x)est intégrable surE,

• pourµ-presque toutx,u‘≠æf(u, x)est dérivable surI,

• il existegintégrable telle que pour toutuœI,---^ˆfˆu(u, x)---Æg(x)µ- p.p..

AlorsF :u‘≠æs

Ef(u, x)dµ(x)est définie, dérivable surIetF^Õ:u‘≠æs

E ˆf

ˆu(u, x)dµ(x).

A��. La transformée deF��d’une gaussienne est une gaussienne. SiG‡ : x‘≠æ ^Ô_2ﬁ‡¹ 2e^≠^2‡2^x² pour un‡>0, alorsGˆ‡ :’‘≠æe^≠^‡²²^’².

A��. Prenantf : (t, x)‘≠æ ^sin(x)x e^≠tx, on montre ques+Œ 0 sin(x)

x dx=^ﬁ₂.

II. B. Analyse complexe

[Tau��, §��.�.�, p��]

T��. [�� ]

SoitUun ouvert convexe ou étoilé (ou simplement convexe). Soitf méromorphe surU. On notePl’ensemble de pôles def. Alors pour“: [0,1]≠æU \Pchemin fermé, on a :

1 2iﬁ

⁄

“

f(z)dz=ÿ

aœP

Res(f, a) Ind(“, a)

A��. Pour–œR^ú+, on as

R+exp(≠x²) cos(–x)dx= ^Ô₂^ﬁexp(≠–²/4).

A��. On retrouves

R 1

1+x²dx=ﬁous2ﬁ 0 sin(x)

x dx= ^ﬁ₂. E��. Soit≠1<–<1. AlorsI–=⁄ +Œ

0

x^–ln(x)

x²≠1 dx= ﬁ² 4 cos²(^ﬁ₂–).

(3)

III. Méthodes d’approximation numérique

III. A. Méthodes de quadrature

[Dem��, ChIII, p��]

Soitf : [a, b]≠æ Rune fonction continue. On cherche des formules pour approcherI(f) = sb

af(t)dt. Fixonsa=x₀< x₁<· · ·< xn=bune subdivision de[a, b]. On posehi=x_i+1≠xi. D��. [�� ]

Une méthode de quadrature consiste, pour0 Æ i Æ n≠1à approcherIi = sx_i+1 xi f par Ai(f) = hiq¸j

j=0Êi jf(’i j)où les(’i j)jsont dans[xi, xi+1]et les(Êi j)0ÆjÆnsont des réels fixés tels queq

jÊi j= 1.

On note alorsE(f) =I(f)≠qn≠1

i=0 Ai(f)l’erreur de la méthode.

D��. [�� ]

On dit qu’une méthode de quadrature est d’ordreNsi elle est exacte (E(f) = 0) pour tout f œRN[X]et s’il existef œRN+1[X]telle qu’elle soit inexacte.

D��. [�� L��]

Fixonsiet(’j)j. La méthode d’interpolation deL��associée consiste à prendreÊj =

1 hi

s

[xi,xi+1]¸joù¸j=r

k”=j X≠’k

’j≠’k. A��. Commeq

j¸j = 1, on utilise souvent comme fonction de poids les(¸j)j

associés à une subdivision de[xi, x_i+1]: ce sont les méthodes par interpolation deL��.

(i) [M�� ]

On approximeI(f)parqn≠1

i=0 hif(zi)où(zi)i= (xi)iou(xi+1)i. Méthode d’ordre0.

(ii) [M�� ]

De même avec(zi)i= (^xⁱ⁺¹₂^≠^xⁱ)i. Méthode d’ordre1etE(f)Æ ¹3Îf^ÕÕÎ_ŒsifestC². (iii) [M�� ]

i=0 hif(xi+1)+f(xi)

2 . Méthode d’ordre1etE(f)Æ²3Îf^ÕÕÎŒsif estC².

(iv) [M�� S��]

i=0 hif(xi+1)+4f(^xi+1₂^≠^xi)+f(xi)

6 . Méthode d’ordre3etE(f) = O(..f⁽⁴⁾..

Œ)sifestC⁴. E��. Approximation desﬁ

0 cos²(x)dx= ^ﬁ₄ : (i) méthode des rectangles (à gauche ou à droite) :ﬁ, (ii) méthode des points milieux :0,

(iii) méthode des trapèzes :ﬁ, (iv) méthode deS��:^ﬁ₃.

III. B. Méthode de M��-C��

[BL��, §V.�, p��] et [Mé��, §�.�/�.�, p��/��]

Soit( ,A,P)un espace probabilisé.

T��. [�� ]

Soit(Xi)_iœN^údes variables aléatoires i.i.d. intégrables. Alors :

1 n

qn

i=1Xi _n_æ+Œ≠æ E[X1] p.s.

A��. [�� M��-C��]

Soitf : [0,1]^d ≠æRintégrable par rapport à la mesure deL��. Soit(Xi)nœN^úune suite de variables aléatoires i.i.d. de loiU([0,1]^d). Alors

In= 1 n

ÿn i=1

f(Xi) _n≠æ_æ+Œ I=⁄

[0,1]^df(x)dxp.s.

T��. [�� ]

Soit(Xi)_iœNúune suite de variables aléatoires réelles i.i.d. de carré intégrable. Alors :

Ô1 n

qn

i=1(Xi≠E[X1]) _næ+Œ≠æ^L Z ≥N(0,Var(X1))

A��. Supposonsf telle queVar(f) = s

[0,1]^df(x)²dx≠! s

[0,1]^df(x)dx"2

soit majorée parM. AlorsIC_–^Œ=#

In±q_1≠_–/2Ò

M n

$est un intervalle de confiance asymptotique de niveau–pourI(f), oùq_1≠–/2est le quantile de niveau1≠–/2deN(0,1).

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��

Contours utilisés en analyse complexe.

Illustration des di�érentes méthodes numériques.

��

Calculer la valeur d’une intégrale est une question fréquente pour laquelle nous n’avons pas de procédure automatique donnant la solution : on a donc besoin de nombreux outils de calculs.

Dans la première partie, on regarde ce qu’il se passe en dimension1.

En dimension supérieure, on doit parfois se ramener en dimension1, ou encore utiliser le théo- rème de changement de variables multidimensionnel, par exemple pour passer en coordon- nées polaires.

Ensuite on donne des résultats issus de la théorie de l’intégration, qui permettent par exemple dans le cas d’intégrales à paramètres ou d’intégrales d’une série de fonctions d’obtenir des ré- sultats sur les intégrales aux limites.

Enfin, d’autres méthodes comme l’analyse complexe et la transformée deF��permettent d’éto�er les outils à notre disposition.

��

Q Calculers+Œ

0 x

1+e^xdx.

R C’est l’intégrale d’une fonction continue surq R+, intégrable en+Œcaro(1/x²). On a_1+t¹ =

nØ0(≠1)ⁿtⁿpourtœ]≠1,1[, donc : x

1 + e^x = x e^x

1

1 + e^≠^x = x e^x

ÿ

nØ0

(≠1)ⁿe^≠^nx

On a s+Œ

0 xe^≠(n+1)xdx = _(n+1)¹ 2, donc on peut appliquer le théorème de F��-

L��: ⁄ +Œ

0

x

1 + e^xdx=ÿ

nœN

(≠1)ⁿ 1 (n+ 1)² et :

ÿ

nœN

(≠1)ⁿ 1

(n+ 1)² =ÿ

pœN

1

(2p+ 1)² ≠ ÿ

pœN^ú

1

(2p)² =ÿ

pœN

1

(2p+ 1)² ≠ﬁ² 24

=ﬁ²

6 ≠ ÿ

pœN^ú

1

(2p)² ≠ﬁ² 24 = ﬁ²

12

Q Quel avantage/inconvénient voyez vous à la méthode deM��-C��?

R Avantage : valable même pourftrès irrégulière, et temps de calcul linéaire en la dimension.

Inconvénient : approximation aléatoire, donc pas de contrôle déterministe de l’erreur.

��

[BL��] P.B��et M.L��:Probabilité. EDP Sciences,��.

[BP��] M.B��et G.P��:Théorie de l’intégration. Vuibert,�^èmeédition,��.

[Dem��] J.-P.D��: Analyse numérique et équations di�érentielles. Collection Grenoble Sciences,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Analyse. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Gou��] X.G��:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�^èmeédition,��.

[Mé��] S.M��: Aléatoire : introduction à la théorie et au calcul des probabilités. Les éditions de l’École Polytechnique,��.

[Tau��] P.T��:Analyse complexe pour la Licence�. Dunod,��.

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