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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

N.B

:

Le sujet comporte 5 exercices, qui sont indépendank.

Les excrcices peuvent ôtrc traités daris un ordrc quelconquc.

Toutefois, pour chaque exercice,

il

est demandé d'exposer les questions dans l'ordre de l'énoncé.

Les candidats pourront admettre certains résultats intermédiaires et les utiliser dans la suite de I'exercice, même s'ils ne les ont pas dérnontrés, à condition de le mentionner expliciteurent.

Les resultats devront être soulignés ou encadrés.

Il

sera tenu le plus grand eompte de la qualité de la rédaetion, de la clarté et de la rigueur des raisonnements, ainsi que de la présentatiou rnatérielie.

Les calculatrices sont autorisées, toutefois, tous les calculs formels nécessaires pour obtenir un résultat doivent fignrer sur la copie.

Si, au cours de l'épreuve, un candiclat pense avoir repéré une erreur d'énoncé,

il

le signale slu sa copie et poursuit sa composition en expiiquant les raisons de$ initiatives

qu'il

est amené à prendre.

Exercice

1

on

considère l'espace uectariel

E = Ra[x], et

I'application

e qui à

tout palynôme

P

de

E

associe le polynôme Q

: ô(P)

dé,fini par :

Ç(x) : (x, - LlP,(x) _ (4X+ l)P(x)

P'

d,ésigne le polynome d,ériué. de P.

1)

Monhvr

que

Q

est un end,omorphisme d,e E.

9)

Donner Ia

natrice

cle

& par

rapport

à Ia

base cananique

B

d,e

E,

soit

B: (I,X,X2,Xt,Xo).

'3)

Montrer que

(x - rla

est

un

uecteur propre d,e

e

et préciser Ia ualeur propre associée.

l)

Montrer que si,

P

est un uebteur propre associé

à la

valeur propre

À,

le

polynôme

Q

défi,ni par :

A{x): P(-x)

est uecteur prcpre de Q associé à, une ualeur propre dont on donnera [,enpression

en, fonctian, de À.

En déduire alors un deuû,ème uecteur propre rl,e $, et la ualeur propre associêe.

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