D´enombrabilit´e et sommabilit´e

D´enombrabilit´e et sommabilit´e

Table des mati` eres

1 Ensembles d´enombrables 2

2 Le probl`eme des s´eries semi-convergentes. 6

3 Familles sommables de r´eels positifs 6

4 Familles sommables de complexes 11

5 Propri´et´es des familles sommables 14

5.1 Lin´earit´e . . . 14 5.2 Commutativit´e . . . 16

1 Ensembles d´ enombrables

D´efinition.

Un ensemble est d´enombrable si et seulement s’il est en bijection avec N. Exemples. L’ensemble des nombres pairs est d´enombrable.

Propri´et´e. Toute partie infinie de Nest d´enombrable.

D´emonstration.

Soit P une partie infinie de N. On va montrer qu’il existe une unique bijection stricte- ment croissante deN sur P.

• Unicit´e. Supposons qu’il existe une bijection ϕ : N−→P strictement croissante.

Pour tout p∈P, il existe k ∈N tel que p=ϕ(k). Or ϕ(k)≥ ϕ(0), donc pour tout p∈P, p≥ϕ(0), ce qui prouve que (1) : ϕ(0) = min(P).

Soit n∈N^∗. Si p∈P \ {ϕ(0), . . . , ϕ(n−1)}, il existe k ∈Ntel que p=ϕ(k).

k ≥n, donc ϕ(k)≥ ϕ(n), donc pour tout p ∈P \ {ϕ(0), . . . , ϕ(n−1)}, p≥ϕ(n). De plus ϕ(n)∈P \ {ϕ(0), . . . , ϕ(n−1)},

donc (2) : ∀n∈N^∗ ϕ(n) = min(P \ {ϕ(0), . . . , ϕ(n−1)}) .

Les relations (1) et (2) d´efinissent par r´ecurrence ϕde mani`ere unique.

• Existence.Notons ϕ l’application de Ndans P d´efinie par les relations (1) et (2).

ϕest correctement d´efinie, car pour toutn ∈N^∗,P\ {ϕ(0), . . . , ϕ(n−1)}est non vide (P est suppos´e infini), donc il poss`ede un minimum dans N.

Montrons que ϕest une bijection strictement croissante.

Soient p∈P et n∈N. Supposons que p /∈ {ϕ(0), . . . , ϕ(n)}.

Sin = 0, p6=ϕ(0) =min(P), doncp > ϕ(0).

Sin >0,p∈P\ {ϕ(0), . . . , ϕ(n−1)}, doncp≥min(P\ {ϕ(0), . . . , ϕ(n−1)}) = ϕ(n).

Or p6=ϕ(n), doncp > ϕ(n).

Ainsi, pour tout p∈P et n∈N, (3) : p /∈ {ϕ(0), . . . , ϕ(n)}=⇒p > ϕ(n).

Soit n∈N. D’apr`es (2), ϕ(n+ 1)∈ {ϕ(0), . . . , ϕ(n)},/ donc d’apr`es (3), ϕ(n+ 1) > ϕ(n).

Ainsiϕ est strictement croissante. En particulier, elle est injective.

De plus, siϕ(n)≥n,ϕ(n+ 1)> ϕ(n)≥n, doncϕ(n+ 1)≥n+ 1. Ainsi, on montre par r´ecurrence que, pour tout n ∈N, ϕ(n)≥n.

Soitp∈P.p≤ϕ(p), donc d’apr`es la contrapos´ee de (3) avecn =p,p∈ {ϕ(0), . . . , ϕ(p)}.

Ainsi il existek ∈N tel que p=ϕ(k), ce qui prouve la surjectivit´e.

Exemple. L’ensemble P des nombres premiers est d´enombrable et en notant p_n le ni`eme nombre premier, on a P={p_n/n ∈N^∗}.

Propri´et´e. On dit qu’un ensemble est au plus d´enombrable si et seulement si il est fini ou d´enombrable.

Un ensemble est au plus d´enombrable si et seulement s’il est en bijection avec une partie de N.

´

Les s´eries 1 Ensembles d´enombrables D´emonstration.

Supposons que I est un ensemble et qu’il existe une partie P de N et une bijection ϕ :P −→I.

SiP est finie, alorsI est fini.

Sinon, d’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente, il existe une bijection de N dans P, donc par composition, il existe une bijection de N surI, ce qui prouve que I est d´enombrable.

La r´eciproque est claire.

Lemme technique :

Un ensembleI est fini ou d´enombrable si et seulement s’il existe une suite croissante (Jn)n∈N de parties finies de I dont la r´eunion est ´egale `aI.

Dans ce cas, on dira que (Jn)n∈N est une suite adapt´ee `aI. Remarque. Dans ce cas, pour tout n ∈ N, J_n =

n

[

k=0

J_k et I =

∞

[

k=0

J_k, donc, en un certain sens, que l’on ne tentera pas de formaliser, I est la limite des J_n.

D´emonstration.

• Supposons que I est fini ou d´enombrable.

SiI est fini, on pose, pour tout n∈N, J_n=I. La suite (J_n) convient.

Supposons que I est infini. Il existe une bijectionf deN dans I.

PosonsJn =f([0, n]). [

n∈N

Jn=f [

n∈N

[0, n]

=f(N) = I, donc la suite (Jn) convient.

• Supposons qu’il existe une suite croissante (J_n)n∈N de parties finies de I dont la r´eunion est ´egale `aI.

PosonsK₀ =J₀ et, pour tout n ∈N^∗,K_n =J_n\J_n−1. On v´erifie que I = [

n∈N

J_n = [

n∈N

K_n par double inclusion : Pour tout n∈ N, K_n ⊂J_n, donc [

n∈N

K_n⊂ [

n∈N

J_n et r´eciproquement, si x∈ [

n∈N

J_n, il existe

p= min{n∈N / x∈J_n}, doncx∈J_p\Jp−1 =K_p (en convenant queK−1 =∅).

Si n > p, Kn∩Kp ⊂ (Jn\Jn−1)∩Jn−1 = ∅. Ainsi, les parties Kn sont deux `a deux disjointes. Ainsi,I = G

n∈N

K_n

Soit n∈N. Notons d_n le cardinal de K_n (notamment, d_n= 0 lorsque K_n=∅).

Il existe une bijection g_n deK_n dans l’intervalle d’entiers [

n−1

X

k=0

d_k,

n

X

k=0

d_k −1].

On note g l’application de I dans N dont les restrictions auxK_n co¨ıncident avec g_n. g est injective, car si i, j ∈ I avec i 6= j, on montre facilement que g(i) 6=g(j), donc c’est une bijection deI dans une partie de N.

Ainsi, I est fini ou d´enombrable.

Remarque. S’il existe une suite (J_n)n∈N de parties finies de I dont la r´eunion est

´

egale `a I, on a encore que I est fini ou d´enombrable, car en posant pour tout n ∈N,

K_n=

n

[

k=0

J_k, la suite (K_n) est adapt´ee `aI.

Remarque. Il faut savoir d´emontrer la partie “=⇒” de ce lemme technique, ce qui est facile. Par contre la partie “⇐=” ne sera pas utile pour les exercices, car elle se d´eduit simplement des propri´et´es qui suivent.

Corollaire. Z est d´enombrable.

D´emonstration.

Z= [

n∈N

([−n, n]∩Z).

Corollaire. N×N est d´enombrable.

D´emonstration.

N×N= [

n∈N

([0, n]²∩N²).

Corollaire. Q est d´enombrable.

D´emonstration.

Q= [

n∈N

{p

q/(p, q)∈([−n, n]∩Z)×([1, n]∩N)}.

Exercice. Montrer que Q[X] est d´enombrable.

R´esolution. Pour tout n∈N^∗, notons Jn ={

n

X

k=0

pk

q_kX^k/∀k∈ {0, . . . , n} pk ∈Z∩[−n, n] et qk∈N∩[1, n]}.

On v´erifie que Jn est adapt´ee `a Q[X].

Propri´et´e. Une r´eunion au plus d´enombrable d’ensembles au plus d´enombrables est au plus d´enombrable.

D´emonstration.

On suppose que A=[

i∈I

Ai, o`uI est fini ou d´enombrable et o`u, pour tout i∈I, Ai est fini ou d´enombrable.

Il existeϕ : N−→I surjective (mˆeme si I est fini).

Ainsi, A= [

n∈N

Bn, o`u Bn =A_ϕ(n).

Pour tout n∈N, notons (J_n,p)p∈N une suite adapt´ee `a B_n. Ainsi, A= [

n∈N

[

p∈N

Jn,p= [

(n,p)∈N²

Jn,p.

N² est d´enombrable, donc il existe une bijection Ψ :N−→N². AinsiA = [

n∈N

J_Ψ(n) et d’apr`es la remarque pr´ec´edente, A est fini ou d´enombrable.

Propri´et´e. Un produit cart´esien fini d’ensembles d´enombrables est d´enombrable.

´

Les s´eries 1 Ensembles d´enombrables D´emonstration.

Soit A₁, . . . , A_p p ensembles d´enombrables o`u p ∈ N^∗. Posons A = A₁ × · · · ×A_p et montrons que A est d´enombrable.

Pour tout k ∈ {1, . . . , p}, il existe d’apr`es le lemme technique une suite (J_n,k)n∈N

adapt´ee `a A_k.

Pour tout n∈N, posons Ln=Jn,1× · · · ×Jn,p.

L_n est un ensemble fini en tant que produit cart´esien fini d’ensembles finis etA = [

n∈N

L_n :

En effet, sia = (a₁, . . . , a_p)∈A, pour toutk ∈ {1, . . . , p}, il existen_ktel quea_k ∈J_nk,k. Posons alors n= sup

1≤k≤p

n_k. Pour toutk ∈ {1, . . . , p}, sachant que la suite (J_m,k)_m∈Nest croissante, a_k∈J_nk,k ⊂J_n,k, donc a∈L_n.

AinsiA ⊂ [

n∈N

Ln et l’inclusion r´eciproque est claire.

Alors, d’apr`es le lemme technique, A est fini ou d´enombrable.

De plusA est infini, car l’application f deA₁ dans A d´efinie par : pour tout a₁ ∈A₁, f(a₁) = (a₁, e₂, . . . , e_p) o`u e₂, . . . , e_p sont des ´el´ements fix´es dans A₂, . . . , A_p, est une injection.

Remarque. Notons p_n len^`eme nombre premier.

Notons ´egalement N^(N) l’ensemble des suites presque nulles d’entier, c’est-`a-dire l’en- semble des suites (n_i)i∈N d’entiers telle que : ∃N ∈N, ∀i≥N n_i = 0.

D’apr`es le th´eor`eme d’existence et d’unicit´e de la d´ecomposition d’un entier comme produit de nombres premiers, l’application

N^(N) −→ N (α_i)i∈N 7−→ Y

i∈N

p^α_iⁱ est une injection.

Ceci prouve directement que N^(N) est d´enombrable.

Propri´et´e. Rn’est pas d´enombrable.

D´emonstration.

Supposons que R est d´enombrable. Alors il existe une bijection ϕ de N dans R. Pour tout n ∈ N, posons ϕ(n) = b0,n+

+∞

X

k=1

bk,n10^−k, o`u b0,n est la partie enti`ere de ϕ(n) et o`u la suite (b_k,n)_k∈N^∗ est le d´eveloppement d´ecimal (dansV) de ϕ(n).

Pour tout n∈N, posons c_n=

0 si b_n,n 6= 0 1 si b_n,n = 0. Notons x=c₀+

+∞

X

k=1

c_k10^−k. xest un r´eel, donc il existen∈Ntel quex=ϕ(n). Alors, d’apr`es l’unicit´e de la partie enti`ere et du d´eveloppement d´ecimal d’un r´eel, c_n=b_n,n, ce qui est faux.

Remarque. Cette technique de d´emonstration s’appelle un “argument diagonal”. Il est repris dans la d´emonstration suivante.

Corollaire. R est un Q-espace vectoriel de dimension infinie.

D´emonstration.

Sinon, il existerait n∈Ntel que Rest en bijection avecQⁿ qui est d´enombrable, donc R serait d´enombrable.

Propri´et´e. Hors programme : P(N) n’est pas d´enombrable.

D´emonstration.

Sinon, il existe une bijectionϕ deN dans P(N).

Notons A={n∈N/n /∈ϕ(n)}. Il existe a∈N tel que A=ϕ(a).

Dans ces conditions, a∈ϕ(a)⇐⇒a ∈A ⇐⇒a /∈ϕ(a), ce qui est impossible.

Remarque. En adaptant cette d´emonstration, on voit que plus g´en´eralement, aucun ensemble I n’est en bijection avecP(I).

2 Le probl` eme des s´ eries semi-convergentes.

Dans le cours sur les s´eries de vecteurs, page 18, on a vu que, lorsque P

a_n est une s´erie semi-convergente de r´eels et σ est une bijection de R dans R telle que P

a_σ(n) converge, en g´en´eral,

+∞

X

n=0

a_n 6= X

n∈N

a_σ(n). Ainsi l’addition entre r´eels n’est plus com- mutative lorsqu’on l’´etend au cas d’une infinit´e de termes `a l’aide de la th´eorie des s´eries.

Nous allons voir une seconde mani`ere de d´efinir la somme d’une infinit´e de termes pour laquelle la propri´et´e de commutativit´e sera vraie, presque par construction, car cette nouvelle fa¸con de sommer les termes d’une suite ne tient pas compte de l’ordre dans lequel sont donn´es les ´el´ements de la suite. Il s’agit de la th´eorie de la sommabilit´e.

Cette th´eorie pr´esente l’avantage d’ˆetre g´en´eralisable au cas de la sommation des

´

el´ements d’une famille (ui)i∈I index´ee par un ensemble d´enombrable.

Cependant, lorsque I =N, il y aura moins de suites sommables que de s´eries conver- gentes. Plus pr´ecis´ement, on verra qu’une suite est sommable si et seulement si la s´erie associ´ee est absolument convergente.

3 Familles sommables de r´ eels positifs

Notation. Pour tout ce paragraphe, on fixe un ensemble I.

On fixe ´egalement une famille u= (u_i)i∈I ∈R^I+ de r´eels positifs index´ee par I.

Lorsque J est une partie finie de I, X

i∈J

u_i est une somme finie de r´eels : c’est bien d´efini. De plus l’ensemble n X

i∈J

ui / J ∈ P(I) avec J finie o

est une partie non vide de r´eels positifs, car il contient au moins 0, en tant que somme vide. Ceci justifie la d´efinition suivante :

´

Les s´eries 3 Familles sommables de r´eels positifs D´efinition. On pose

X

i∈I

u_i = sup

J∈P(I) J finie

X

i∈J

u_i ∈R+∪ {+∞} . Remarque. Ainsi, pour une famille (u_i)i∈Ide r´eels positifs,X

i∈I

u_i est toujours d´efinie.

D´efinition. La familleu est sommable si et seulement si X

i∈I

ui <+∞, c’est-`a-dire si et seulement si il existe M ≥0 tel que,

pour toute partie finie J de I, X

i∈J

u_i ≤M.

Propri´et´e. Si (u_i)i∈I est sommable, alors{i∈I/u_i 6= 0} est au plus d´enombrable.

D´emonstration.

On suppose qu’il existe M ∈R+ tel que, pour toute partie finie J deI, X

i∈J

u_i ≤M. {i∈I/u_i 6= 0}= [

n∈N^∗

{i∈I/u_i ≥ 1

n}. Posons J_n={i∈I/u_i ≥ ¹_n}.

Soit n ∈ N^∗. Si J est une partie finie de J_n, M ≥ X

i∈J

u_i ≥ X

i∈J

1

n = card(J) n , donc card(J)≤M n. Ceci prouve que J_n est de cardinal fini, donc {i∈I/u_i 6= 0}= [

n∈N^∗

J_n est d´enombrable.

Remarque. La contrapos´ee de cette propri´et´e affirme que lorsque {i ∈ I/u_i 6= 0}

n’est pas d´enombrable, X

i∈I

u_i = +∞. Il est donc naturel de se limiter au cas o`u I est au plus d´enombrable, ce que nous supposerons pour toute la suite.

Propri´et´e. Soient v = (v_i)i∈I etw= (w_i)i∈I deux familles de r´eels positifs telles que, pour tout i∈I,v_i ≤w_i.

Siw est sommable, alors v est ´egalement sommable et X

i∈I

v_i ≤X

i∈I

w_i

D´emonstration.

Pour toute partie finie J de I, X

j∈J

vj ≤ X

j∈J

wj ≤ X

i∈I

wi, donc v est sommable et X

i∈I

v_i ≤X

i∈I

w_i

Propri´et´e. Lorsque v = (v_i)i∈I et w = (w_i)i∈I sont deux familles de r´eels positifs telles que, pour tout i∈I v_i ≤w_i, on peut toujours ´ecrire que,

dans [0,+∞] , X

i∈I

v_i ≤X

i∈I

w_i. D´emonstration.

C’est ´evident lorsqueX

i∈I

w_i = +∞et lorsqueX

i∈I

w_i <+∞, c’est la propri´et´e pr´ec´edente.

Propri´et´e. Soit (J_n)n∈N une suite adapt´ee `a I, c’est-`a-dire une suite croissante de parties finies de I dont la r´eunion est ´egale `a I. Alors les propri´et´es suivantes sont

´

equivalentes :

— (u_i)i∈I est sommable.

— La suite X

i∈J_n

u_i

n∈N

est major´ee.

— La suite X

i∈Jn

u_i

n∈N

est convergente dans R+. De plus, dans ce cas, X

i∈I

u_i = sup

n∈N

X

i∈J_n

u_i = lim

n→+∞

X

i∈J_n

u_i. D´emonstration.

On remarque que la suite X

i∈Jn

u_i

n∈N

est croissante, donc elle converge dans R si et seulement si elle est major´ee et dans ce cas, sup

n∈N

X

i∈J_n

u_i = lim

n→+∞

X

i∈J_n

u_i. Ainsi, il suffit d’´etablir l’´equivalence entre les deux premi`eres assertions et de montrer qu’en cas de sommabilit´e,X

i∈I

u_i = sup

n∈N

X

i∈J_n

u_i.

• Supposons que la suiteX

i∈Jn

u_i

n∈N

est major´ee.

SoitJ une partie finie de I. Pour toutj ∈J il existenj ∈Ntel quej ∈Jnj. En posant N = max

j∈J n_j, J ⊂J_N, donc X

i∈J

u_i ≤ X

i∈JN

u_i ≤sup

n∈N

X

i∈Jn

u_i.

Ceci prouve que la famille (u_i) est sommable et que, dans ce cas, X

i∈I

u_i ≤sup

n∈N

X

i∈Jn

u_i.

• R´eciproquement, supposons que la famille (ui) est sommable.

Soit n ∈N. J_n est une partie finie de I, donc X

i∈Jn

u_i ≤X

i∈I

u_i. Ceci prouve que la suite X

i∈J_n

u_i

n∈N

est major´ee et que, dans ce cas, sup

n∈N

X

i∈Jn

u_i ≤X

i∈I

u_i.

Remarque. Ainsi, les sommes X

i∈J_n

u_i jouent un rˆole analogue aux sommes partielles utilis´ees en th´eorie des s´eries.

Exercice. Soit A une partie de N^∗ de densit´e α ∈]0,1], c’est-`a-dire telle que si l’on pose, pour tout n∈N^∗, a(n) = |A∩ {1, . . . , n}|, a(n)

n −→

n→+∞α.

Montrer que la famille1 a

a∈A n’est pas sommable.

Propri´et´e. Lorsque I =N,

une suite (u_n)∈R^N+ est sommable si et seulement si la s´erie P

u_n est convergente

´

Les s´eries 3 Familles sommables de r´eels positifs et dans ce cas, X

n∈N

u_n =

+∞

X

n=0

u_n. D´emonstration.

Pour tout n ∈N, posons Jn = [0, n]. Ainsi, (Jn)n∈N est une suite croissante de parties finies de N dont la r´eunion est ´egale `a N. D’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente, (u_n) est sommable si et seulement si la suite X

i∈Jn

ui

n∈N

= Xⁿ

i=0

ui

n∈N

est major´ee, c’est-`a- dire, dans le cadre des s´eries `a termes positifs, si et seulement si P

u_nest convergente.

De plus, dans ce cas, X

i∈N

u_i = lim

n→+∞

X

i∈Jn

u_i = lim

n→+∞

n

X

i=0

u_i =

+∞

X

i=0

u_i.

Th´eor`eme. Supposons que I est d´enombrable et soitϕ une bijection de N dans I.

La famille de r´eels positifs (u_i)i∈I est sommable si et seulement si la s´erie P

u_ϕ(n) est convergente et dans ce cas, X

i∈I

u_i =

+∞

X

n=0

u_ϕ(n). D´emonstration.

Pour tout n∈N, posonsJ_n={ϕ(0), . . . , ϕ(n)}. Ainsi, (J_n)_n∈Nest une suite croissante de parties finies de I dont la r´eunion est ´egale `a I. Alors (u_i)i∈I est sommable si et seulement si la suite X

i∈Jn

u_i

n∈N

= Xⁿ

k=0

u_ϕ(k)

n∈N

est major´ee, c’est-`a-dire, dans le cadre des s´eries `a termes positifs, si et seulement si P

u_ϕ(n) est convergente.

De plus, dans ce cas, X

i∈I

u_i = lim

n→+∞

X

i∈Jn

u_i = lim

n→+∞

n

X

k=0

u_ϕ(k)=

+∞

X

n=0

u_ϕ(n).

Propri´et´e de lin´earit´e : Si (vi)i∈I et (wi)i∈I sont deux familles sommables de r´eels positifs, alors pour tout α∈R+, (αv_i+w_i)i∈I est sommable.

Dans ce cas,X

i∈I

(αv_i+w_i) = αX

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i. D´emonstration.

Soit (J_n)n∈N une suite adapt´ee `a I. Par lin´earit´e des sommes finies, pour tout n ∈ N, X

i∈Jn

(αvi +wi) = αX

i∈Jn

vi+X

i∈Jn

wi, donc par lin´earit´e du passage `a la limite, X

i∈Jn

(αv_i +w_i) −→

n→+∞αX

i∈I

v_i +X

i∈I

w_i. Ainsi, (αv_i +w_i)i∈I est sommable et X

i∈I

(αv_i+w_i) =αX

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i.

Convention : Soit (u_i)i∈I une famille d’´el´ements de R+∪ {+∞}.

S’il existe i₀ ∈I tel que u_i0 = +∞, on convient que X

i∈I

u_i = +∞.

Propri´et´e. Soit (vi)i∈I et (wi)i∈I deux familles d’´el´ements de R⁺∪ {+∞}.

Alors, dans tous les cas, X

i∈I

(v_i+w_i) =X

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i. D´emonstration.

S’il existe i0 ∈I tel que vi0 = +∞ ouwi0 = +∞, alors X

i∈I

(v_i+w_i) = +∞=X

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i.

Sinon, (v_i)i∈I et (w_i)i∈I sont deux familles de r´eels positifs.

Si (v_i)_i∈I n’est pas sommable, commev_i+w_i ≥v_i, on obtient que X

i∈I

(v_i+w_i) = +∞=X

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i. On raisonne de mˆeme lorsque (w_i)i∈I n’est pas sommable.

Il reste le cas o`u (v<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> et (w<sub>i</sub>)<sub>i∈I</sub> sont deux familles sommables de r´eels positifs. Il correspond `a la propri´et´e pr´ec´edente.

Convention : lorsqu’on travaille dansR+∪ {+∞}, on utilise la convention suivante : 0×(+∞) = 0

On convient aussi, mais c’est plus universel, que pour tout x∈R^∗+, x×(+∞) = +∞.

Propri´et´e. Pour tout α ∈ R⁺ ∪ {+∞}, pour toute famille (a_i)_i∈I d’´el´ements de R+∪ {+∞}, α.X

i∈I

a_i =X

i∈I

α.a_i. D´emonstration.

Lorsque α= 0, avec la convention pr´ec´edente, α.X

i∈I

ai = 0 =X

i∈I

α.ai. On suppose maintenant que α >0.

S’il existe i₀ ∈I tel que a_i0 = +∞, alors α.X

i∈I

a_i = +∞=X

i∈I

α.a_i. On suppose maintenant que (a_i)i∈I est une famille de r´eels positifs.

Si cette famille n’est pas sommable, alors la famille (αa_i)i∈I ´egalement n’est pas som- mable, donc α.X

i∈I

a_i = +∞=X

i∈I

α.a_i.

Si cette famille est sommable, la propri´et´e a d´ej`a ´et´e d´emontr´ee.

Propri´et´e. Soit (v_i)i∈I et (w_i)i∈I deux familles d’´el´ements de R+ ∪ {+∞} et soit α∈R+∪ {+∞}. Alors, dans tous les cas, X

i∈I

(αv_i+w_i) =αX

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i. Exercice. Soitα∈R. Etudier la sommabilit´e de la famille 1

(p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

. R´esolution.

Pour tout n∈N, posons J_n={(p, q)∈N²/p+q≤n}.

(Jn)n∈Nest une suite croissante de parties finies deN² dont la r´eunion est ´egale `a N², donc la famille 1

(p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

est sommable si et seulement si la suite X

(p,q)∈J_n

1 (p+q+ 1)^α

est major´ee.

´

Les s´eries 4 Familles sommables de complexes Soit n ∈N.

X

(p,q)∈Jn

1

(p+q+ 1)^α =

n

X

k=0

X

p+q=k

1

(p+q+ 1)^α =

n

X

k=0

X

p+q=k

1 (k+ 1)^α =

n

X

k=0

k+ 1 (k+ 1)^α, donc la famille

1 (p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

est sommable si et seulement si la s´erie X 1

(k+ 1)^α−1 converge, or 1

(k+ 1)^α−1 ∼ 1

k^α−1, donc la famille

1 (p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

est sommable si et seulement si α >2.

4 Familles sommables de complexes

Notation. Id´esigne un ensemble au plus d´enombrable et (J_n)n∈Nest une suite adapt´ee

` a I.

On fixe une famille u= (u_i)_i∈I de complexes.

D´efinition. On dit que

la famille (u_i)i∈I est sommable si et seulement si la famille (|u_i|)i∈I est sommable.

Ainsi, (u_i)i∈I est sommable si et seulement si X

i∈I

|u_i|<+∞ .

Remarque. Pour le moment, lorsque (u_i)i∈I est une famille ”sommable” de complexes, sa somme n’est pas d´efinie. Heureusement, cet inconfort n’est que passager :

Propri´et´e. Supposons que tous lesu_i sont r´eels.

Pour tout i∈I, on pose u⁺_i = max(u_i,0) et u⁻_i = max(−u_i,0).

u⁺ = (u⁺_i )i∈I et u⁻= (u⁻_i )i∈I sont deux familles de r´eels positifs.

On v´erifie que, pour tout i∈I,u_i =u⁺_i −u⁻_i et|u_i|=u⁺_i +u⁻_i .

(u_i)_i∈I est sommable si et seulement si (u⁺_i )_i∈I et (u⁻_i )_i∈I sont sommables (selon la d´efinition du paragraphe pr´ec´edent) et dans ce cas,

on pose (1) : X

i∈I

u_i =X

i∈I

u⁺_i −X

i∈I

u⁻_i .

D´emonstration.

En discutant selon le signe de u_i, on montre que u_i =u⁺_i −u⁻_i et|u_i|=u⁺_i +u⁻_i . Si u est sommable, comme 0 ≤ u⁺_i ≤ |u_i| et 0 ≤ u⁻_i ≤ |u_i|, u⁺ = (u⁺_i ) et u⁻ = (u⁻_i ) sont sommables.

R´eciproquement, si u⁺ et u⁻ sont sommables sur I, comme |u_i| = u⁺_i +u⁻_i , u est sommable.

Propri´et´e. Supposons maintenant que u est `a valeurs complexes. Alors les familles Re(u) = (Re(u<sub>k</sub>))k∈I et Im(u) = (Im(u<sub>k</sub>))k∈I sont `a valeurs dans R.

u est sommable si et seulement si Re(u) et Im(u) sont sommables et dans ce cas, On pose (2) : X

k∈I

u_k =X

k∈I

Re(u_k) +iX

k∈I

Im(u_k),

o`u les sommes du membre droit de l’´egalit´e sont d´efinies dans la propri´et´e pr´ec´edente.

D´emonstration.

Siu est sommable, comme, pour tout i∈I, 0≤ |Re(u_i)| ≤ |u_i| et 0≤ |Im(u_i)| ≤ |u_i|, Re(u) et Im(u) sont sommables.

R´eciproquement, si Re(u) et Im(u) sont sommables surI, comme |u_i| ≤ |Re(u_i)|+|Im(u_i)|, u est sommable.

Propri´et´e. Lorsque (u_i)i∈I est une famille sommable de complexes, X

i∈I

u_i = lim

n→+∞

X

j∈Jn

u_j.

Cependant la r´eciproque est fausse : la suite X

j∈Jn

u_j

n∈N

peut converger sans que (u_i)_i∈I ne soit sommable.

D´emonstration.

Premier cas : Supposons que u= (u_i)i∈I est `a valeurs dans R. Pour tout n ∈ N, X

j∈Jn

u_j = X

j∈Jn

u⁺_j − X

j∈Jn

u⁻_j, donc d’apr`es une propri´et´e du para- graphe sur les r´eels positifs, X

j∈Jn

uj −→

n→+∞

X

i∈I

u⁺_i −X

i∈I

u⁻_i , donc d’apr`es la relation (1), X

j∈Jn

u_j −→

n→+∞

X

i∈I

u_i .

Second cas : Supposons que u est `a valeurs dans C. Pour tout n∈N, X

j∈J_n

u_j = X

j∈J_n

Re(u_j) +iX

j∈J_n

Im(u_j), donc par application du premier cas, X

j∈Jn

u_j −→

n→+∞

X

k∈I

Re(u_k) +iX

k∈I

Im(u_k).

Ainsi, d’apr`es la relation (2), X

j∈J_n

u_j −→

n→+∞

X

i∈I

u_i .

Pour montrer que la r´eciproque est fausse, il suffit de prendreI =Zavec, pour tout n∈N, Jn= [−n, n]∩Z, et pour tout k ∈Z,uk =k.

Pour tout n∈N, X

k∈Jn

|u_k|= 2

n

X

k=1

k=n(n+ 1) −→

n→+∞+∞, donc un’est pas sommable.

Pourtant, pour tout n∈N,

n

X

j=−n

u_j = 0 −→

n→+∞0.

Exercice. Soitθ∈R. Calculer la somme de la suite double

cos(p+q)θ p!q!

(p,q)∈N²

. Solution :Existence de la somme :Pour tout (p, q)∈N²,

cos(p+q)θ p!q!

≤ 1 p!

1 q!, donc pour montrer la sommabilit´e de la famille

cos(p+q)θ p!q!

(p,q)∈N²

, il suffit

´

Les s´eries 4 Familles sommables de complexes d’´etablir la sommabilit´e de la famille de r´eels positifs

1 p!

1 q!

(p,q)∈N²

. PosonsJ_n={0, . . . , n}² : la suite (J_n) est adapt´ee `a N².

Or X

(p,q)∈J_n

1 p!

1

q! =Xⁿ

k=0

1 k!

2

n→+∞−→ e², donc 1

p!

1 q!

(p,q)∈N²

est bien sommable.

Calcul de la somme : Notons S la somme de cette famille.

S = lim

n→+∞

X

0≤p≤n 0≤q≤n

cos(p+q)θ

p!q! = lim

n→+∞

X

0≤p≤n 0≤q≤n

Re(e^i(p+q)θ) p!q!

= Re





 lim

n→+∞

X

0≤p≤n 0≤q≤n

e^i(p+q)θ p!q!





,

car Re est une application continue. Ainsi,S = Re



 lim

n→+∞

n

X

p=0

(e^iθ)^p p!

!2

,

or

n

X

p=0

(e^iθ)^p p! −→

n→+∞

+∞

X

p=0

(e^iθ)^p

p! =e^(eiθ), donc

n

X

p=0

(e^iθ)^p p!

!2

n→+∞−→ e^2eiθ. Ainsi, S = Re

e^2(eiθ)

= Re(e^{2 cosθ+2isinθ}).

En conclusion, X

(p,q)∈N²

cos(p+q)θ

p!q! =e^{2 cosθ}cos(2 sinθ).

In´egalit´e triangulaire : si u est sommable, alors|X

i∈I

u_i| ≤X

i∈I

|u_i|.

D´emonstration.

Pour tout n∈N, |X

i∈J_n

u_i| ≤ X

i∈J_n

|u_i|et on fait tendre n vers +∞.

Propri´et´e. Lorsque I =N, une suite (u_n)n∈N est sommable si et seulement si la s´erie Pu_n est absolument convergente. Dans ce cas, X

n∈N

u_n=

+∞

X

n=0

u_n.

Propri´et´e. Lorsque I =Z, (u_n)_n∈Z est sommable si et seulement si les s´eries X

n≥0

u_n etX

n≥0

u−n sont absolument convergentes et dans ce cas

X

n∈Z

u_n =

+∞

X

n=1

u_−n+

+∞

X

n=0

u_n.

D´emonstration.

• Supposons que la famille (u_n)n∈Z est sommable. Soit N ∈ N^∗.

N

X

n=0

|u_n| ≤ X

n∈Z

|u_n|,

donc la s´erie P

|un| est convergente. De mˆeme,

N

X

n=0

|u−n| = X

n∈[−N,0]∩Z

|un| ≤ X

n∈Z

|un|, donc la s´erie P

|u−n| est convergente.

• R´eciproquement, supposons que les s´eries P

u_n etP

u−n sont absolument conver- gentes. Soit J une partie finie de Z.

X

i∈J

|u_i|= X

i∈J∩N

|u_i|+ X

i∈J∩Z^∗−

|u_i| ≤

+∞

X

n=1

|u−n|+

+∞

X

n=0

|u_n|, donc la famille (u_n) est sommable.

Dans ce cas,

+∞

X

n=1

u−n +

+∞

X

n=0

u_n = lim

N→+∞

N

X

n=1

u−n+

N

X

n=0

u_n

!

= lim

N→+∞

X

n∈[−N,N]∩Z

u_n = X

n∈Z

u_n, car ([−N, N]∩Z)N∈N est adapt´ee `aZ.

Exemple. X

n∈Z^∗

1

n³ = 0, et X

n∈Z^∗

1

n n’est pas d´efinie.

5 Propri´ et´ es des familles sommables

Notation.

I d´esigne un ensemble au plus d´enombrable et (J_n)n∈N est une suite adapt´ee `aI.

5.1 Lin´ earit´ e

Propri´et´e de lin´earit´e : soit a = (ai)i∈I et b = (bi)i∈I deux familles sommables de complexes et soit α ∈ C. Alors la famille αa+b = (αa_i +b_i)i∈I est sommable et X

i∈I

(αa_i+b_i) = αX

i∈I

a_i+X

i∈I

b_i. D´emonstration.

Pour tout i ∈ I, |αa_i +b_i| ≤ |α||a_i|+|b_i|, or d’apr`es le paragraphe 3, la famille de r´eels positifs (|α||a_i|+|b_i|)_i∈I est sommable, donc la famille (|αa_i+b_i|)_i∈I est ´egalement sommable.

Ainsi la famille de complexes (αa_i+b_i)i∈I est aussi sommable.

Pour toutn ∈N, X

i∈Jn

(αa_i+b_i) = αX

i∈Jn

a_i+X

i∈Jn

b_i et il suffit de faire tendren vers +∞

pour conclure.

Propri´et´e. Soit (u_i)_i∈I une famille de r´eels positifs et (v_i)_i∈I une famille de complexes.

On suppose que, pour touti∈I, |v_i| ≤u_i.

´

Les s´eries 5 Propri´et´es des familles sommables Si (u_i) est sommable, alors (v_i) est sommable et|X

i∈I

v_i| ≤X

i∈I

u_i. D´emonstration.

On suppose que (u_i) est sommable.

pour touti∈I,|v_i| ≤u_i, donc d’apr`es le paragraphe 3, la famille (|v_i|) est sommable.

Ainsi, la famille (v_i) est sommable.

Pour toutn ∈N,|X

i∈J_n

v_i| ≤ X

i∈J_n

|v_i| ≤ X

i∈J_n

u_i. On conclut en faisant tendren vers +∞.

Notation. K d´esigne R ouC.

Notons l^∞(I,K) l’ensemble des familles born´ees (u_i)i∈I ∈K^I. et pour p∈[1,+∞[, posons l^p(I,K) = n

(u_i)i∈I / X

i∈I

|u_i|^p <+∞o .

Propri´et´e. l¹(I,K), l²(I,K) et l^∞(I,K) sont des sous-espaces vectoriels de K^I. De plus si (a_i) et (b_i) sont dansl²(I,K), alors (a_ib_i) est un ´el´ement del¹(I,K).

D´emonstration.

On vient de montrer quel¹(I,K) est stable par combinaison lin´eaire. De plus il est non vide, donc c’est bien un sous-espace vectoriel de K^I.

Soit (a_i)i∈I et (b_i)i∈I deux ´el´ements de l²(I,K).

Soit i∈I. (|a_i| − |b_i|)² ≥0, donc |a_ib_i| ≤ ¹₂(|a_i|²+|b_i|²), ce qui prouve que (a_ib_i)i∈I est dans l¹(I,K).

De plus, (a_i+b_i)² =a²_i +b²_i + 2a_ib_i, donc (a_i+b_i)∈l²(I,K). On en d´eduit facilement que l²(I,K) est un sous-espace vectoriel de R^I.

Soit (ai)i∈I et (bi)i∈I deux familles born´ees de r´eels index´ees par I et soit α∈R. Pour tout i∈I, |αa_i+b_i| ≤ |α||a_i|+|b_i| ≤ |α|sup

j∈I

|a_j|+ sup

j∈I

|b_j|,

ainsiα(a_i)i∈I+(b_i)i∈I ∈l^∞(I). De plus,l^∞(I,K) est non vide, donc c’est un sous-espace vectoriel de R^I.

Propri´et´e. Pour tout (u_i),(v_i)∈l²(I,R), on pose ((u_i)|(v_i)) =X

i∈I

u_iv_i. l²(I,R) muni de (.|.) est un espace pr´ehilbertien.

D´emonstration.

Ce qui pr´ec`ede montre que (.|.) est correctement d´efini. De plus, il est clairement bilin´eaire, sym´etrique et positif.

Si ((u_i)|(u_i)) = 0. Pour toutj ∈I, 0≤u²_j ≤((u_i)|(u_i)) = 0, donc (u_i) = 0.

Propri´et´e.

— En posant k(ui)i∈Ik∞= sup

i∈I

|ui|, (l^∞(I),K) est un espace vectoriel norm´e ;

— En posant k(u_i)i∈Ik₁ =X

i∈I

|u_i|, (l¹(I),K) est un espace vectoriel norm´e ;

— En posant k(u_i)i∈Ik₂ = s

X

i∈I

|u_i|², (l²(I),K) est un espace vectoriel norm´e.

D´emonstration.

Exercice.

5.2 Commutativit´ e

Propri´et´e. Commutativit´e de la somme d’une famille sommable.

Soient (u_i)i∈I une famille sommable de complexes et ϕune bijection de I dansI. Alors (u_ϕ(i))i∈I est aussi sommable et X

i∈I

u_ϕ(i) =X

i∈I

ui. D´emonstration.

Montrons d’abord que (ϕ(J_n))n∈N est adapt´ee `a I.

Soit n ∈N : J_n est de cardinal fini, donc ϕ(J_n) est aussi finie.

De plus Jn⊂Jn+1, doncϕ(Jn)⊂ϕ(Jn+1).

Enfin, I =ϕ(I) = ϕ([

n∈N

J_n) = [

n∈N

ϕ(J_n).

Ainsi, pour tout n ∈N, X

i∈Jn

|u_ϕ(i)|= X

j∈ϕ(Jn)

|u_j| −→

n→+∞

X

j∈I

|u_j|, ce qui montre que la famille (u_ϕ(i)) est sommable.

Alors, X

i∈I

u_ϕ(i)= lim

n→+∞

X

i∈Jn

u_ϕ(i) = lim

n→+∞

X

j∈ϕ(J_n)

u_j =X

i∈I

u_i.

Remarque. Ainsi le symbole “

+∞

X

n=0

” n’est pas commutatif dans le cas des s´eries semi-convergentes de complexes, mais il le devient dans le cas des s´eries absolument convergentes. Plus g´en´eralement, on voit que la d´efinition d’une somme infinie prove- nant de la sommabilit´e est plus sˆure et plus robuste que celle provenant des s´eries.

Propri´et´e. Hors programme :

Soient (ui)i∈Iune famille sommable de complexes etϕune bijection deK dansI. Alors (u_ϕ(k))_k∈K est aussi sommable et X

k∈K

u_ϕ(k) =X

i∈I

u_i. D´emonstration.

On adapte la d´emonstration pr´ec´edente.K est au plus d´enombrable et il faut supposer ici que (J_n)n∈N est une suite adapt´ee `a K.

Montrons d’abord que (ϕ(J_n))_n∈N est adapt´ee `a I.

Soit n ∈N : J_n est de cardinal fini, donc ϕ(J_n) est aussi finie.

De plus J_n⊂J_n+1, doncϕ(J_n)⊂ϕ(J_n+1).

Enfin, I =ϕ(K) = ϕ([

n∈N

Jn) = [

n∈N

ϕ(Jn).

Ainsi, pour tout n∈N, X

k∈Jn

|u_ϕ(k)|= X

j∈ϕ(Jn)

|uj| −→

n→+∞

X

j∈I

|uj|, ce qui montre que la famille (u_ϕ(k))k∈K est sommable.

´

Les s´eries 5 Propri´et´es des familles sommables Alors, X

k∈K

u_ϕ(k) = lim

n→+∞

X

k∈Jn

u_ϕ(k)= lim

n→+∞

X

j∈ϕ(J_n)

u_j =X

i∈I

u_i.

Remarque. Lorsque (u_i)i∈I est une famille de r´eels positifs, pour toute bijection d’un ensemble K dans I, X

k∈K

u_ϕ(k) =X

i∈I

u_i.

Th´eor`eme. Sommation par paquets pour des familles de r´eels positifs.

Soit (I_q)q∈N une partition de I (on accepte que certains I_q soient vides).

On suppose que u= (u_i)_i∈I ∈R^I+.Alors u est sommable si et seulement si pour tout q∈N, la famille (u_i)i∈I_q est sommable et

la suite X

i∈Iq

u_i

q∈N

est sommable.

Dans ce cas,X

i∈I

ui =X

q∈N

X

i∈Iq

ui.

Remarque. En cas de non sommabilit´e, on a encore : X

i∈I

u_i =X

q∈N

X

i∈I_q

u_i = +∞.

Ainsi, on peut ´enoncer le th´eor`eme sous une forme plus concise : si (I_q)q∈N est une partition de I et si (u_i)i∈I ∈R^I+, alors X

i∈I

u_i =X

q∈N

X

i∈Iq

u_i. D´emonstration.

• Supposons que (u_i)i∈I est sommable.

Soit q∈N. SoitJ une partie finie de Iq. J est ´egalement une partie finie deI, donc X

i∈J

u_i ≤X

i∈I

u_i, ce qui prouve que (u_i)i∈Iq est sommable.

Soit q ∈N. I_q ⊂I et I est au plus d´enombrable, donc I_q est au plus d´enombrable.

Notons (J_q,N)_N∈N une suite adapt´ee `aI_q. Soit n ∈N.

n

X

q=0



 X

i∈Iq

u_i



=

n

X

q=0

N→+∞lim X

i∈J_q,N

u_i = lim

N→+∞

n

X

q=0

X

i∈J_q,N

u_i. Pour tout N ∈ N,

n

X

q=0

X

i∈J_q,N

u_i = X

i∈ ∪

0≤q≤nJ_q,N

u_i ≤ X

i∈I

u_i, car [

0≤q≤n

J_q,N est une partie

finie deI. On en d´eduit, en faisant tendreN vers +∞, que

n

X

q=0



 X

i∈I_q

u_i



≤X

i∈I

u_i.

Ceci prouve que



 X

i∈Iq

u_i





q∈N

est sommable et que X

i∈I

u_i ≥X

q∈N

X

i∈Iq

u_i.

• Supposons que pour tout q ∈ N, (ui)i∈Iq est sommable et que



 X

i∈Iq

ui





q∈N

est sommable.

Pour tout n∈N, posons J_n=

n

[

q=0

J_q,n. On v´erifie que la suite (J_n) est adapt´ee `aI. De plus, X

i∈Jn

u_i =

n

X

q=0

X

i∈Jq,n

u_i ≤

n

X

q=0

X

i∈Iq

u_i ≤

+∞

X

q=0

X

j∈Iq

u_j. Ceci prouve que (u_i)i∈I est sommable et queX

i∈I

u_i ≤X

q∈N

X

i∈Iq

u_i. Exemple. Pour tout α∈R,

X

p,q∈N

1

(p+q+ 1)^α =

+∞

X

n=0

X

p+q=n

1

(p+q+ 1)^α =

+∞

X

n=0

1

(n+ 1)^α−1, car

en posant I_n={(p, q)∈N²/p+q=n}, la famille (I_n)n∈N est une partition de N². Corollaire. Interversion de sommations pour des suites doubles de r´eels positifs (Fubini).

Soit (u_p,q)(p,q)∈N² une famille de r´eels positifs index´ee par N². Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

La famille (u_p,q)_(p,q)∈N² est sommable.

Pour toutq ∈N, (u_p,q)p∈N est sommable et la suite X

p∈N

u_p,q

!

q∈N

est sommable.

Pour toutp∈N, (u_p,q)_q∈N est sommable et la suite X

q∈N

u_p,q

!

p∈N

est sommable.

Lorque l’une de ces propri´et´es est v´erifi´ee, on dit que (up,q)(p,q)∈N² est une suite double sommable et on dispose des ´egalit´es suivantes.

X

(p,q)∈N²

up,q =

+∞

X

q=0 +∞

X

p=0

up,q

!

=

+∞

X

p=0 +∞

X

q=0

up,q

! .

D´emonstration.

Il suffit d’appliquer le th´eor`eme de sommation par paquets pour des familles de r´eels positifs en posant, pour tout q ∈N, I_q =N× {q}, ce qui constitue bien une partition deN².

Plus pr´ecis´ement, d’apr`es le th´eor`eme de sommation par paquets, X

(p,q)∈N²

u_p,q = X

p0∈N

X

(p,q)∈{p0}×N

u_p,q.

Soit p₀ ∈ N. L’application q 7−→ (p₀, q) est une bijection de N dans {p₀} ×N donc X

(p,q)∈{p₀}×N

u_p,q =X

q∈N

u_ϕ(q)=X

q∈N

u_p0,q. Ainsi, X

(p,q)∈N²

u_p,q=

+∞

X

p=0 +∞

X

q=0

u_p,q

! .

´