Tabledesmati`eres Sommabilit´e

Sommabilit´e

Table des mati` eres

1 Le probl`eme des s´eries semi-convergentes. 2

2 Familles sommables de r´eels positifs 2

3 Familles sommables de complexes 7

4 Propri´et´es des familles sommables 10

4.1 Lin´earit´e . . . 10 4.2 Commutativit´e . . . 12

Sommabilit´e 2 Familles sommables de r´eels positifs

1 Le probl` eme des s´ eries semi-convergentes.

Dans le cours sur les s´eries de vecteurs, page 18, on a vu que, lorsque P

a_n est une s´erie semi-convergente de r´eels et σ est une bijection de N dans N telle que P

a_σ(n) converge, en g´en´eral,

+∞

X

n=0

a_n 6= X

n∈N

a_σ(n). Ainsi l’addition entre r´eels n’est plus com- mutative lorsqu’on l’´etend au cas d’une infinit´e de termes `a l’aide de la th´eorie des s´eries.

Nous allons voir une seconde mani`ere de d´efinir la somme d’une infinit´e de termes pour laquelle la propri´et´e de commutativit´e sera vraie, presque par construction, car cette nouvelle fa¸con de sommer les termes d’une suite ne tient pas compte de l’ordre dans lequel sont donn´es les ´el´ements de la suite. Il s’agit de la th´eorie de la sommabilit´e.

Cette th´eorie pr´esente l’avantage d’ˆetre g´en´eralisable au cas de la sommation des

´

el´ements d’une famille (u_i)i∈I index´ee par un ensemble d´enombrable.

Cependant, lorsque I =N, il y aura moins de suites sommables que de s´eries conver- gentes. Plus pr´ecis´ement, on verra qu’une suite est sommable si et seulement si la s´erie associ´ee est absolument convergente.

2 Familles sommables de r´ eels positifs

Notation. Pour tout ce paragraphe, on fixe un ensemble I.

On fixe ´egalement une famille u= (u_i)i∈I ∈R^I+ de r´eels positifs index´ee par I.

Lorsque J est une partie finie de I, X

i∈J

ui est une somme finie de r´eels : c’est bien d´efini. De plus l’ensemble n X

i∈J

u_i / J ∈ P(I) avec J finieo

est une partie non vide de r´eels positifs, car il contient au moins 0, en tant que somme vide. Ceci justifie la d´efinition suivante :

D´efinition. On pose X

i∈I

u_i = sup

J∈P(I) J finie

X

i∈J

u_i ∈R+∪ {+∞} . Remarque. Ainsi, pour une famille (u_i)_i∈Ide r´eels positifs,X

i∈I

u_i est toujours d´efinie.

D´efinition. La familleu est sommable si et seulement si X

i∈I

u_i <+∞, c’est-`a-dire si et seulement si il existe M ≥0 tel que,

pour toute partie finie J de I, X

i∈J

ui ≤M.

Propri´et´e. Si (u_i)i∈I est sommable, alors{i∈I/u_i 6= 0} est au plus d´enombrable.

Sommabilit´e 2 Familles sommables de r´eels positifs D´emonstration.

On suppose qu’il existe M ∈R+ tel que, pour toute partie finie J deI, X

i∈J

u_i ≤M. {i∈I/u_i 6= 0}= [

n∈N^∗

{i∈I/u_i ≥ 1

n}. Posons J_n={i∈I/u_i ≥ ¹_n}.

Soit n ∈ N^∗. Si J est une partie finie de J_n, M ≥ X

i∈J

u_i ≥ X

i∈J

1

n = card(J) n , donc card(J)≤M n. Ceci prouve que J_n est de cardinal fini, donc {i∈I/u_i 6= 0}= [

n∈N^∗

J_n est d´enombrable.

Remarque. La contrapos´ee de cette propri´et´e affirme que lorsque {i ∈ I/ui 6= 0}

n’est pas d´enombrable, X

i∈I

u_i = +∞. Il est donc naturel de se limiter au cas o`u I est au plus d´enombrable, ce que nous supposerons pour toute la suite.

Propri´et´e. Soient v = (v_i)_i∈I etw= (w_i)_i∈I deux familles de r´eels positifs telles que, pour tout i∈I,v_i ≤w_i.

Siw est sommable, alors v est ´egalement sommable et X

i∈I

v_i ≤X

i∈I

w_i

D´emonstration.

Pour toute partie finie J de I, X

j∈J

vj ≤ X

j∈J

wj ≤ X

i∈I

wi, donc v est sommable et X

i∈I

v_i ≤X

i∈I

w_i

Propri´et´e. Lorsque v = (vi)i∈I et w = (wi)i∈I sont deux familles de r´eels positifs telles que, pour tout i∈I v_i ≤w_i, on peut toujours ´ecrire que,

dans [0,+∞] , X

i∈I

v_i ≤X

i∈I

w_i. D´emonstration.

C’est ´evident lorsqueX

i∈I

w_i = +∞et lorsqueX

i∈I

w_i <+∞, c’est la propri´et´e pr´ec´edente.

Propri´et´e. Soit (J_n)n∈N une suite adapt´ee `a I, c’est-`a-dire une suite croissante de parties finies de I dont la r´eunion est ´egale `a I. Alors les propri´et´es suivantes sont

´

equivalentes :

— (u_i)i∈I est sommable.

— La suite X

i∈J_n

u_i

n∈N

est major´ee.

— La suite X

i∈Jn

u_i

n∈N

est convergente dans R+. De plus, dans ce cas, X

i∈I

u_i = sup

n∈N

X

i∈J_n

u_i = lim

n→+∞

X

i∈J_n

u_i.

Sommabilit´e 2 Familles sommables de r´eels positifs D´emonstration.

On remarque que la suite X

i∈J_n

u_i

n∈N

est croissante, donc elle converge dans R si et seulement si elle est major´ee et dans ce cas, sup

n∈N

X

i∈Jn

ui = lim

n→+∞

X

i∈Jn

ui. Ainsi, il suffit d’´etablir l’´equivalence entre les deux premi`eres assertions et de montrer qu’en cas de sommabilit´e,X

i∈I

ui = sup

n∈N

X

i∈Jn

ui.

• Supposons que la suiteX

i∈Jn

u_i

n∈N

est major´ee.

SoitJ une partie finie de I. Pour toutj ∈J il existen_j ∈Ntel quej ∈J_nj. En posant N = max

j∈J n_j, J ⊂J_N, donc X

i∈J

u_i ≤ X

i∈J_N

u_i ≤sup

n∈N

X

i∈J_n

u_i.

Ceci prouve que la famille (u_i) est sommable et que, dans ce cas, X

i∈I

u_i ≤sup

n∈N

X

i∈Jn

u_i.

• R´eciproquement, supposons que la famille (u_i) est sommable.

Soit n ∈N. J_n est une partie finie de I, donc X

i∈Jn

u_i ≤X

i∈I

u_i. Ceci prouve que la suite X

i∈Jn

ui

n∈N

est major´ee et que, dans ce cas, sup

n∈N

X

i∈Jn

u_i ≤X

i∈I

u_i.

Remarque. Ainsi, les sommes X

i∈J_n

u_i jouent un rˆole analogue aux sommes partielles utilis´ees en th´eorie des s´eries.

Exercice. Soit A une partie de N^∗ de densit´e α ∈]0,1], c’est-`a-dire telle que si l’on pose, pour tout n∈N^∗, a(n) = |A∩ {1, . . . , n}|, a(n)

n −→

n→+∞α.

Montrer que la famille1 a

a∈A n’est pas sommable.

Propri´et´e. Lorsque I =N,

une suite (un)∈R^N+ est sommable si et seulement si la s´erie P

un est convergente et dans ce cas, X

n∈N

u_n =

+∞

X

n=0

u_n. D´emonstration.

Pour tout n ∈N, posons Jn = [0, n]. Ainsi, (Jn)n∈N est une suite croissante de parties finies de N dont la r´eunion est ´egale `a N. D’apr`es la propri´et´e pr´ec´edente, (u_n) est sommable si et seulement si la suite X

i∈Jn

ui

n∈N

= Xⁿ

i=0

ui

n∈N

est major´ee, c’est-`a- dire, dans le cadre des s´eries `a termes positifs, si et seulement si P

u_nest convergente.

Sommabilit´e 2 Familles sommables de r´eels positifs De plus, dans ce cas, X

i∈N

u_i = lim

n→+∞

X

i∈J_n

u_i = lim

n→+∞

n

X

i=0

u_i =

+∞

X

i=0

u_i.

Th´eor`eme. Supposons que I est d´enombrable et soitϕ une bijection de N dans I.

La famille de r´eels positifs (u_i)_i∈I est sommable si et seulement si la s´erie P

u_ϕ(n) est convergente et dans ce cas, X

i∈I

u_i =

+∞

X

n=0

u_ϕ(n). D´emonstration.

Pour tout n∈N, posonsJ_n={ϕ(0), . . . , ϕ(n)}. Ainsi, (J_n)n∈Nest une suite croissante de parties finies de I dont la r´eunion est ´egale `a I. Alors (u_i)i∈I est sommable si et seulement si la suite X

i∈Jn

u_i

n∈N

= Xⁿ

k=0

u_ϕ(k)

n∈N

est major´ee, c’est-`a-dire, dans le cadre des s´eries `a termes positifs, si et seulement si P

u_ϕ(n) est convergente.

De plus, dans ce cas, X

i∈I

u_i = lim

n→+∞

X

i∈Jn

u_i = lim

n→+∞

n

X

k=0

u_ϕ(k)=

+∞

X

n=0

u_ϕ(n).

Propri´et´e de lin´earit´e : Si (v_i)i∈I et (w_i)i∈I sont deux familles sommables de r´eels positifs, alors pour tout α∈R⁺, (αvi+wi)i∈I est sommable.

Dans ce cas,X

i∈I

(αv_i+w_i) = αX

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i. D´emonstration.

Soit (J_n)_n∈N une suite adapt´ee `a I. Par lin´earit´e des sommes finies, pour tout n ∈ N, X

i∈Jn

(αv_i +w_i) = αX

i∈Jn

v_i+X

i∈Jn

w_i, donc par lin´earit´e du passage `a la limite, X

i∈J_n

(αv_i +w_i) −→

n→+∞αX

i∈I

v_i +X

i∈I

w_i. Ainsi, (αv_i +w_i)i∈I est sommable et X

i∈I

(αvi+wi) =αX

i∈I

vi+X

i∈I

wi.

Convention : Soit (u_i)i∈I une famille d’´el´ements de R+∪ {+∞}.

S’il existe i0 ∈I tel que ui0 = +∞, on convient que X

i∈I

ui = +∞.

Propri´et´e. Soit (v_i)i∈I et (w_i)i∈I deux familles d’´el´ements de R+∪ {+∞}.

Alors, dans tous les cas, X

i∈I

(v_i+w_i) =X

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i. D´emonstration.

S’il existe i0 ∈I tel que vi0 = +∞ ouwi0 = +∞, alors X

i∈I

(v_i+w_i) = +∞=X

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i.

Sinon, (v_i)i∈I et (w_i)i∈I sont deux familles de r´eels positifs.

Si (v_i)_i∈I n’est pas sommable, commev_i+w_i ≥v_i, on obtient que X

i∈I

(v_i+w_i) = +∞=X

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i.

Sommabilit´e 2 Familles sommables de r´eels positifs On raisonne de mˆeme lorsque (w_i)i∈I n’est pas sommable.

Il reste le cas o`u (v<sub>i</sub>)i∈I et (w<sub>i</sub>)i∈I sont deux familles sommables de r´eels positifs. Il correspond `a la propri´et´e pr´ec´edente.

Convention : lorsqu’on travaille dansR⁺∪ {+∞}, on utilise la convention suivante : 0×(+∞) = 0

On convient aussi, mais c’est plus universel, que pour tout x∈R^∗+, x×(+∞) = +∞.

Propri´et´e. Pour tout α ∈ R+ ∪ {+∞}, pour toute famille (a_i)i∈I d’´el´ements de R+∪ {+∞}, α.X

i∈I

a_i =X

i∈I

α.a_i. D´emonstration.

Lorsque α= 0, avec la convention pr´ec´edente, α.X

i∈I

a_i = 0 =X

i∈I

α.a_i.

Lorsque α= +∞, on v´erifie que la propri´et´e est vraie en distinguant le cas o`u

∀i∈I, a_i = 0 et le cas o`u il existe i₀ ∈I tel que a_i0 >0.

On suppose maintenant que α∈R^∗+.

S’il existe i₀ ∈I tel que a_i0 = +∞, alors α.X

i∈I

a_i = +∞=X

i∈I

α.a_i. On suppose maintenant que (a_i)i∈I est une famille de r´eels positifs.

Si cette famille n’est pas sommable, alors la famille (αa_i)i∈I ´egalement n’est pas som- mable, donc α.X

i∈I

a_i = +∞=X

i∈I

α.a_i.

Si cette famille est sommable, la propri´et´e a d´ej`a ´et´e d´emontr´ee.

Propri´et´e. Soit (v_i)i∈I et (w_i)i∈I deux familles d’´el´ements de R+ ∪ {+∞} et soit α∈R+∪ {+∞}. Alors, dans tous les cas, X

i∈I

(αv_i+w_i) =αX

i∈I

v_i+X

i∈I

w_i. Exercice. Soitα∈R. Etudier la sommabilit´e de la famille 1

(p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

. R´esolution.

Pour tout n∈N, posons J_n={(p, q)∈N²/p+q≤n}.

(Jn)n∈Nest une suite croissante de parties finies deN² dont la r´eunion est ´egale `a N², donc la famille 1

(p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

est sommable si et seulement si la suite X

(p,q)∈J_n

1 (p+q+ 1)^α

est major´ee.

Soit n ∈N. X

(p,q)∈J_n

1

(p+q+ 1)^α =

n

X

k=0

X

p+q=k

1

(p+q+ 1)^α =

n

X

k=0

X

p+q=k

1 (k+ 1)^α =

n

X

k=0

k+ 1 (k+ 1)^α, donc la famille 1

(p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

est sommable si et seulement si la s´erie X 1

(k+ 1)^α−1 converge, or 1

(k+ 1)^α−1 ∼ 1

k^α−1, donc

Sommabilit´e 3 Familles sommables de complexes la famille 1

(p+q+ 1)^α

(p,q)∈N²

est sommable si et seulement si α >2.

3 Familles sommables de complexes

Notation.

I d´esigne un ensemble au plus d´enombrable et (J_n)n∈N est une suite adapt´ee `aI. On fixe une famille u= (u_i)i∈I de complexes.

D´efinition. On dit que

la famille (u_i)i∈I est sommable si et seulement si la famille (|u_i|)i∈I est sommable.

Ainsi, (u_i)i∈I est sommable si et seulement si X

i∈I

|u_i|<+∞ . Propri´et´e. Si (ui)i∈I est sommable,

alors pour tout I⁰ ⊂I, la sous-famille (u_i)i∈I⁰ est encore sommable.

D´emonstration.

X

i∈I⁰

|u_i| ≤X

i∈I

|u_i|<+∞.

Remarque. Pour le moment, lorsque (ui)i∈I est une famille ”sommable” de complexes, sa somme n’est pas d´efinie. Heureusement, cet inconfort n’est que passager :

Propri´et´e. Supposons que tous lesu_i sont r´eels.

Pour tout i∈I, on pose u⁺_i = max(u_i,0) et u⁻_i = max(−u_i,0).

u⁺ = (u⁺_i )_i∈I et u⁻= (u⁻_i )_i∈I sont deux familles de r´eels positifs.

On v´erifie que, pour tout i∈I,u_i =u⁺_i −u⁻_i et|u_i|=u⁺_i +u⁻_i .

(u_i)i∈I est sommable si et seulement si (u⁺_i )i∈I et (u⁻_i )i∈I sont sommables (selon la d´efinition du paragraphe pr´ec´edent) et dans ce cas,

on pose (1) : X

i∈I

u_i =X

i∈I

u⁺_i −X

i∈I

u⁻_i .

D´emonstration.

En discutant selon le signe de ui, on montre que ui =u⁺_i −u⁻_i et|ui|=u⁺_i +u⁻_i . Si u est sommable, comme 0 ≤ u⁺_i ≤ |u_i| et 0 ≤ u⁻_i ≤ |u_i|, u⁺ = (u⁺_i ) et u⁻ = (u⁻_i ) sont sommables.

R´eciproquement, si u⁺ et u⁻ sont sommables sur I, comme |ui| = u⁺_i +u⁻_i , u est sommable.

Propri´et´e. Supposons maintenant que u est `a valeurs complexes. Alors les familles Re(u) = (Re(u<sub>k</sub>))k∈I et Im(u) = (Im(u<sub>k</sub>))k∈I sont `a valeurs dans R.

u est sommable si et seulement si Re(u) et Im(u) sont sommables et dans ce cas, On pose (2) : X

k∈I

u_k =X

k∈I

Re(u_k) +iX

k∈I

Im(u_k),

o`u les sommes du membre droit de l’´egalit´e sont d´efinies dans la propri´et´e pr´ec´edente.

Sommabilit´e 3 Familles sommables de complexes D´emonstration.

Siu est sommable, comme, pour tout i∈I, 0≤ |Re(u_i)| ≤ |u_i| et 0≤ |Im(ui)| ≤ |ui|, Re(u) et Im(u) sont sommables.

R´eciproquement, si Re(u) et Im(u) sont sommables surI, comme |u_i| ≤ |Re(u_i)|+|Im(u_i)|, u est sommable.

Propri´et´e. Lorsque (ui)i∈I est une famille sommable de complexes, X

i∈I

u_i = lim

n→+∞

X

j∈J_n

u_j.

Cependant la r´eciproque est fausse : la suite X

j∈Jn

u_j

n∈N

peut converger sans que (u_i)i∈I ne soit sommable.

D´emonstration.

Premier cas : Supposons que u= (ui)i∈I est `a valeurs dans R. Pour tout n ∈ N, X

j∈Jn

u_j = X

j∈Jn

u⁺_j − X

j∈Jn

u⁻_j, donc d’apr`es une propri´et´e du para- graphe sur les r´eels positifs, X

j∈J_n

u_j −→

n→+∞

X

i∈I

u⁺_i −X

i∈I

u⁻_i , donc d’apr`es la relation (1), X

j∈Jn

u_j −→

n→+∞

X

i∈I

u_i .

Second cas : Supposons que u est `a valeurs dans C. Pour tout n∈N, X

j∈Jn

u_j = X

j∈Jn

Re(u_j) +iX

j∈Jn

Im(u_j), donc par application du premier cas, X

j∈Jn

u_j −→

n→+∞

X

k∈I

Re(u_k) +iX

k∈I

Im(u_k).

Ainsi, d’apr`es la relation (2), X

j∈Jn

u_j −→

n→+∞

X

i∈I

u_i .

Pour montrer que la r´eciproque est fausse, il suffit de prendreI =Zavec, pour tout n∈N, J_n= [−n, n]∩Z, et pour tout k ∈Z,u_k =k.

Pour tout n∈N, X

k∈Jn

|u_k|= 2

n

X

k=1

k=n(n+ 1) −→

n→+∞+∞, donc un’est pas sommable.

Pourtant, pour tout n∈N,

n

X

j=−n

uj = 0 −→

n→+∞0.

Exercice. Soitθ∈R. Calculer la somme de la suite double

cos(p+q)θ p!q!

(p,q)∈N²

. Solution :Existence de la somme :Pour tout (p, q)∈N²,

cos(p+q)θ p!q!

≤ 1 p!

1 q!, donc pour montrer la sommabilit´e de la famille

cos(p+q)θ p!q!

(p,q)∈N²

, il suffit

Sommabilit´e 3 Familles sommables de complexes d’´etablir la sommabilit´e de la famille de r´eels positifs

1 p!

1 q!

(p,q)∈N²

. PosonsJ_n={0, . . . , n}² : la suite (J_n) est adapt´ee `a N².

Or X

(p,q)∈J_n

1 p!

1

q! =Xⁿ

k=0

1 k!

2

n→+∞−→ e², donc 1

p!

1 q!

(p,q)∈N²

est bien sommable.

Calcul de la somme : Notons S la somme de cette famille.

S = lim

n→+∞

X

0≤p≤n 0≤q≤n

cos(p+q)θ

p!q! = lim

n→+∞

X

0≤p≤n 0≤q≤n

Re(e^i(p+q)θ) p!q!

= Re





 lim

n→+∞

X

0≤p≤n 0≤q≤n

e^i(p+q)θ p!q!





,

car Re est une application continue. Ainsi,S = Re



 lim

n→+∞

n

X

p=0

(e^iθ)^p p!

!2

,

or

n

X

p=0

(e^iθ)^p p! −→

n→+∞

+∞

X

p=0

(e^iθ)^p

p! =e^(eiθ), donc

n

X

p=0

(e^iθ)^p p!

!2

n→+∞−→ e^2eiθ. Ainsi, S = Re

e^2(eiθ)

= Re(e^{2 cosθ+2isinθ}).

En conclusion, X

(p,q)∈N²

cos(p+q)θ

p!q! =e^{2 cosθ}cos(2 sinθ).

In´egalit´e triangulaire : si u est sommable, alors|X

i∈I

u_i| ≤X

i∈I

|u_i|.

D´emonstration.

Pour tout n∈N, |X

i∈J_n

u_i| ≤ X

i∈J_n

|u_i|et on fait tendre n vers +∞.

Propri´et´e. Lorsque I =N, une suite (u_n)n∈N est sommable si et seulement si la s´erie Pu_n est absolument convergente. Dans ce cas, X

n∈N

u_n=

+∞

X

n=0

u_n.

Propri´et´e. Lorsque I =Z, (u_n)_n∈Z est sommable si et seulement si les s´eries X

n≥0

u_n etX

n≥0

u−n sont absolument convergentes et dans ce cas

X

n∈Z

u_n =

+∞

X

n=1

u_−n+

+∞

X

n=0

u_n.

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables D´emonstration.

• Supposons que la famille (u_n)n∈Z est sommable. Soit N ∈ N^∗.

N

X

n=0

|u_n| ≤ X

n∈Z

|u_n|,

donc la s´erie P

|un| est convergente. De mˆeme,

N

X

n=0

|u−n| = X

n∈[−N,0]∩Z

|un| ≤ X

n∈Z

|un|, donc la s´erie P

|u−n| est convergente.

• R´eciproquement, supposons que les s´eries P

u_n etP

u−n sont absolument conver- gentes. Soit J une partie finie de Z.

X

i∈J

|u_i|= X

i∈J∩N

|u_i|+ X

i∈J∩Z^∗−

|u_i| ≤

+∞

X

n=1

|u−n|+

+∞

X

n=0

|u_n|, donc la famille (u_n) est sommable.

Dans ce cas,

+∞

X

n=1

u−n +

+∞

X

n=0

u_n = lim

N→+∞

N

X

n=1

u−n+

N

X

n=0

u_n

!

= lim

N→+∞

X

n∈[−N,N]∩Z

u_n = X

n∈Z

u_n, car ([−N, N]∩Z)N∈N est adapt´ee `aZ.

Exemple. X

n∈Z^∗

1

n³ = 0, et X

n∈Z^∗

1

n n’est pas d´efinie.

4 Propri´ et´ es des familles sommables

Notation.

I d´esigne un ensemble au plus d´enombrable et (J_n)n∈N est une suite adapt´ee `aI.

4.1 Lin´ earit´ e

Propri´et´e de lin´earit´e : soit a = (ai)i∈I et b = (bi)i∈I deux familles sommables de complexes et soit α ∈ C. Alors la famille αa+b = (αa_i +b_i)i∈I est sommable et X

i∈I

(αa_i+b_i) = αX

i∈I

a_i+X

i∈I

b_i. D´emonstration.

Pour tout i ∈ I, |αa_i +b_i| ≤ |α||a_i|+|b_i|, or d’apr`es le paragraphe 2, la famille de r´eels positifs (|α||a_i|+|b_i|)_i∈I est sommable, donc la famille (|αa_i+b_i|)_i∈I est ´egalement sommable.

Ainsi la famille de complexes (αa_i+b_i)i∈I est aussi sommable.

Pour toutn ∈N, X

i∈Jn

(αa_i+b_i) = αX

i∈Jn

a_i+X

i∈Jn

b_i et il suffit de faire tendren vers +∞

pour conclure.

Propri´et´e. Soit (u_i)_i∈I une famille de r´eels positifs et (v_i)_i∈I une famille de complexes.

On suppose que, pour touti∈I, |v_i| ≤u_i.

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables Si (u_i) est sommable, alors (v_i) est sommable et|X

i∈I

v_i| ≤X

i∈I

u_i. D´emonstration.

On suppose que (u_i) est sommable.

pour touti∈I,|v_i| ≤u_i, donc d’apr`es le paragraphe 2, la famille (|v_i|) est sommable.

Ainsi, la famille (v_i) est sommable.

Pour toutn ∈N,|X

i∈J_n

v_i| ≤ X

i∈J_n

|v_i| ≤ X

i∈J_n

u_i. On conclut en faisant tendren vers +∞.

Notation. K d´esigne R ouC.

Notons l^∞(I,K) l’ensemble des familles born´ees (u_i)i∈I ∈K^I. et pour p∈[1,+∞[, posons l^p(I,K) = n

(u_i)i∈I / X

i∈I

|u_i|^p <+∞o .

Propri´et´e. l¹(I,K), l²(I,K) et l^∞(I,K) sont des sous-espaces vectoriels de K^I. De plus si (a_i) et (b_i) sont dansl²(I,K), alors (a_ib_i) est un ´el´ement del¹(I,K).

D´emonstration.

On vient de montrer quel¹(I,K) est stable par combinaison lin´eaire. De plus il est non vide, donc c’est bien un sous-espace vectoriel de K^I.

Soit (a_i)i∈I et (b_i)i∈I deux ´el´ements de l²(I,K).

Soit i∈I. (|a_i| − |b_i|)² ≥0, donc |a_ib_i| ≤ ¹₂(|a_i|²+|b_i|²), ce qui prouve que (a_ib_i)i∈I est dans l¹(I,K).

De plus, (a_i+b_i)² =a²_i +b²_i + 2a_ib_i, donc (a_i+b_i)∈l²(I,K). On en d´eduit facilement que l²(I,K) est un sous-espace vectoriel de R^I.

Soit (ai)i∈I et (bi)i∈I deux familles born´ees de r´eels index´ees par I et soit α∈R. Pour tout i∈I, |αa_i+b_i| ≤ |α||a_i|+|b_i| ≤ |α|sup

j∈I

|a_j|+ sup

j∈I

|b_j|,

ainsiα(a_i)i∈I+(b_i)i∈I ∈l^∞(I). De plus,l^∞(I,K) est non vide, donc c’est un sous-espace vectoriel de R^I.

Propri´et´e. Pour tout (u_i),(v_i)∈l²(I,R), on pose ((u_i)|(v_i)) =X

i∈I

u_iv_i. l²(I,R) muni de (.|.) est un espace pr´ehilbertien.

D´emonstration.

Ce qui pr´ec`ede montre que (.|.) est correctement d´efini. De plus, il est clairement bilin´eaire, sym´etrique et positif.

Si ((u_i)|(u_i)) = 0. Pour toutj ∈I, 0≤u²_j ≤((u_i)|(u_i)) = 0, donc (u_i) = 0.

Propri´et´e.

— En posant k(ui)i∈Ik∞= sup

i∈I

|ui|, (l^∞(I),K) est un espace vectoriel norm´e ;

— En posant k(u_i)i∈Ik₁ =X

i∈I

|u_i|, (l¹(I),K) est un espace vectoriel norm´e ;

— En posant k(u_i)i∈Ik₂ = s

X

i∈I

|u_i|², (l²(I),K) est un espace vectoriel norm´e.

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables D´emonstration.

Exercice.

4.2 Commutativit´ e

Propri´et´e. Commutativit´e de la somme d’une famille sommable.

Soit ϕune bijection de I dans I et (u_i)i∈I une famille de complexes.

Alors (u_i)_i∈I est sommable si et seulement si (u_ϕ(i))_i∈I est aussi sommable et dans ce cas, X

i∈I

u_ϕ(i)=X

i∈I

ui. D´emonstration.

Montrons d’abord que (ϕ(J_n))n∈N est adapt´ee `a I.

Soit n ∈N : J_n est de cardinal fini, donc ϕ(J_n) est aussi finie.

De plus Jn⊂Jn+1, doncϕ(Jn)⊂ϕ(Jn+1).

Enfin, I =ϕ(I) = ϕ([

n∈N

J_n) = [

n∈N

ϕ(J_n).

Pour toutn ∈N, X

i∈Jn

|u_ϕ(i)|= X

j∈ϕ(Jn)

|u_j|.

(ϕ(J_n))n∈N est adapt´ee `a I, donc (u_i)i∈I est sommable si et seulement si X

j∈ϕ(Jn)

|u_j| converge lorsquen tend vers l’infini, donc si et seulement si X

i∈Jn

|u_ϕ(i)|converge lorsque n tend vers l’infini, c’est-`a-dire si et seulement si (u_ϕ(i))_i∈I est sommable.

De plus dans ce cas, X

i∈I

u_ϕ(i) = lim

n→+∞

X

i∈Jn

u_ϕ(i)= lim

n→+∞

X

j∈ϕ(Jn)

uj =X

i∈I

ui.

Remarque. Ainsi le symbole “

+∞

X

n=0

” n’est pas commutatif dans le cas des s´eries semi-convergentes de complexes, mais il le devient dans le cas des s´eries absolument convergentes. Plus g´en´eralement, on voit que la d´efinition d’une somme infinie prove- nant de la sommabilit´e est plus sˆure et plus robuste que celle provenant des s´eries.

Propri´et´e. Hors programme :

Soient (u_i)i∈Iune famille sommable de complexes etϕune bijection deK dansI. Alors (u_ϕ(k))k∈K est aussi sommable et X

k∈K

u_ϕ(k) =X

i∈I

u_i. D´emonstration.

On adapte la d´emonstration pr´ec´edente.K est au plus d´enombrable et il faut supposer ici que (J_n)_n∈N est une suite adapt´ee `a K.

Montrons d’abord que (ϕ(J_n))n∈N est adapt´ee `a I.

Soit n ∈N : J_n est de cardinal fini, donc ϕ(J_n) est aussi finie.

De plus J_n⊂J_n+1, doncϕ(J_n)⊂ϕ(J_n+1).

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables Enfin, I =ϕ(K) = ϕ([

n∈N

J_n) = [

n∈N

ϕ(J_n).

Ainsi, pour tout n∈N, X

k∈Jn

|u_ϕ(k)|= X

j∈ϕ(J_n)

|u_j| −→

n→+∞

X

j∈I

|u_j|, ce qui montre que la famille (u_ϕ(k))k∈K est sommable.

Alors, X

k∈K

u_ϕ(k) = lim

n→+∞

X

k∈J_n

u_ϕ(k)= lim

n→+∞

X

j∈ϕ(Jn)

u_j =X

i∈I

u_i.

Remarque. Lorsque (u_i)i∈I est une famille de r´eels positifs, pour toute bijection d’un ensemble K dans I, X

k∈K

u_ϕ(k) =X

i∈I

u_i.

Th´eor`eme. Sommation par paquets pour des familles de r´eels positifs.

Soit (I_q)_q∈N une partition de I (on accepte que certains I_q soient vides).

On suppose que u= (u_i)i∈I ∈R^I+.Alors u est sommable si et seulement si pour tout q∈N, la famille (u_i)i∈Iq est sommable et

la suite X

i∈Iq

u_i

q∈N

est sommable.

Dans ce cas,X

i∈I

u_i =X

q∈N

X

i∈Iq

u_i.

Remarque. En cas de non sommabilit´e, on a encore : X

i∈I

u_i =X

q∈N

X

i∈Iq

u_i = +∞.

Ainsi, on peut ´enoncer le th´eor`eme sous une forme plus concise : si (I_q)q∈N est une partition de I et si (u_i)i∈I ∈R^I+, alors X

i∈I

u_i =X

q∈N

X

i∈Iq

u_i. D´emonstration.

• Supposons que (u_i)_i∈I est sommable.

Soit q∈N. SoitJ une partie finie de I_q. J est ´egalement une partie finie deI, donc X

i∈J

u_i ≤X

i∈I

u_i, ce qui prouve que (u_i)_i∈Iq est sommable.

Soit q ∈N. I_q ⊂I et I est au plus d´enombrable, donc I_q est au plus d´enombrable.

Notons (Jq,N)N∈N une suite adapt´ee `aIq. Soit n ∈N.

n

X

q=0



 X

i∈I_q

u_i



=

n

X

q=0

N→+∞lim X

i∈J_q,N

u_i = lim

N→+∞

n

X

q=0

X

i∈J_q,N

u_i. Pour tout N ∈ N,

n

X

q=0

X

i∈J_q,N

ui = X

i∈ ∪

0≤q≤nJq,N

ui ≤ X

i∈I

ui, car [

0≤q≤n

Jq,N est une partie

finie deI. On en d´eduit, en faisant tendreN vers +∞, que

n

X

q=0



 X

i∈Iq

ui



≤X

i∈I

ui.

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables

Ceci prouve que



 X

i∈Iq

u_i





q∈N

est sommable et que X

i∈I

u_i ≥X

q∈N

X

i∈Iq

u_i.

• Supposons que pour tout q ∈ N, (u_i)i∈I_q est sommable et que



 X

i∈Iq

u_i





q∈N

est sommable.

Pour tout n∈N, posons J_n=

n

[

q=0

J_q,n. On v´erifie que la suite (J_n) est adapt´ee `aI. De plus, X

i∈Jn

ui =

n

X

q=0

X

i∈Jq,n

ui ≤

n

X

q=0

X

i∈Iq

ui ≤

+∞

X

q=0

X

j∈Iq

uj. Ceci prouve que (u_i)i∈I est sommable et queX

i∈I

u_i ≤X

q∈N

X

i∈I_q

u_i. Exemple. Pour tout α∈R,

X

p,q∈N

1

(p+q+ 1)^α =

+∞

X

n=0

X

p+q=n

1

(p+q+ 1)^α =

+∞

X

n=0

1

(n+ 1)^α−1, car

en posant I_n={(p, q)∈N²/p+q=n}, la famille (I_n)_n∈N est une partition de N². Corollaire. Interversion de sommations pour des suites doubles de r´eels positifs (Fubini).

Soit (u_p,q)_(p,q)∈N² une famille de r´eels positifs index´ee par N². Les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes.

La famille (u_p,q)(p,q)∈N² est sommable.

Pour toutq ∈N, (up,q)p∈N est sommable et la suite X

p∈N

up,q

!

q∈N

est sommable.

Pour toutp∈N, (u_p,q)q∈N est sommable et la suite X

q∈N

u_p,q

!

p∈N

est sommable.

Lorque l’une de ces propri´et´es est v´erifi´ee, on dit que (u_p,q)(p,q)∈N² est une suite double sommable et on dispose des ´egalit´es suivantes.

X

(p,q)∈N²

u_p,q =

+∞

X

q=0 +∞

X

p=0

u_p,q

!

=

+∞

X

p=0 +∞

X

q=0

u_p,q

! .

D´emonstration.

Il suffit d’appliquer le th´eor`eme de sommation par paquets pour des familles de r´eels positifs en posant, pour tout q ∈N, I_q =N× {q}, ce qui constitue bien une partition deN².

Plus pr´ecis´ement, d’apr`es le th´eor`eme de sommation par paquets, X

(p,q)∈N²

u_p,q = X

p0∈N

X

(p,q)∈{p₀}×N

u_p,q.

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables Soit p₀ ∈ N. L’application q 7−→ (p₀, q) est une bijection de N dans {p₀} ×N donc

X

(p,q)∈{p₀}×N

u_p,q =X

q∈N

u_ϕ(q)=X

q∈N

u_p0,q. Ainsi, X

(p,q)∈N²

up,q=

+∞

X

p=0 +∞

X

q=0

up,q

! .

Remarque. Comme pr´ec´edemment, si l’on accepte de travailler dansR+∪ {+∞}, on peut ´enoncer ce th´eor`eme sous la forme suivante :

Pour tout (u_p,q)_(p,q)∈N² ∈R^N

2

+ , X

(p,q)∈N²

u_p,q=

+∞

X

q=0 +∞

X

p=0

u_p,q

!

=

+∞

X

p=0 +∞

X

q=0

u_p,q

! . Exemple. Calculons X

(i,j)∈N2 i≥2 j≥2

i^−j. Solution : Soit i ≥ 2. X

j≥2

i^−j est une s´erie g´eom´etrique de raison i⁻¹ ∈ [0,1[, donc cette s´erie est convergente et S_i =

+∞

X

j=2

i^−j = i⁻²

1−i⁻¹ = 1 i²−i. S_i ∼ 1

i², donc la s´erie X

i≥2

S_i converge. Ainsi, d’apr`es le th´eor`eme pr´ec´edent, la suite double (i^−j)^i≥2

j≥2 est sommable et X

(i,j)∈N2 i≥2 j≥2

i^−j =

+∞

X

i=2

S_i =

+∞

X

i=2

( 1 i−1 − 1

i) = 1.

Th´eor`eme. Sommation par paquets pour des familles de complexes.

Soit (I_q)q∈N une partition de I.

On suppose ici que (ui)i∈I est une famille sommable de complexes.

Alors, pour tout q∈N, (u_i)i∈I_q est sommable, et la suite



 X

i∈Iq

u_i





q∈N

est sommable.

De plus, X

i∈I

u_i =X

q∈N

X

i∈Iq

u_i.

Remarque. Pour appliquer ce th´eor`eme, il faut d’abord v´erifier que (u<sub>i</sub>)i∈I est une famille sommable de complexes, c’est-`a-dire que (|u_i|)i∈I est une famille sommable de r´eels positifs. Souvent, on v´erifie ce dernier point `a l’aide du “th´eor`eme de sommation par paquets pour des familles de r´eels positifs”.

D´emonstration.

• Appliquons le th´eor`eme de sommation par paquets pour des r´eels positifs : (|u_i|)i∈I

est sommable, donc pour toutq ∈N, (|u_i|)i∈Iq est sommable et la suite



 X

i∈I_q

|u_i|





q∈N

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables

est sommable. Or pour tout q ∈ N,

X

i∈Iq

u_i

≤ X

i∈Iq

|u_i|, donc pour tout q ∈ N, (u_i)i∈I_q

est sommable et



 X

i∈Iq

u_i





q∈N

est sommable.

• Pour toutq ∈N, il existe une suite (J_q,N)N∈N adapt´ee `a I_q. Pour tout n ∈ N, posons J_n =

n

[

q=0

J_q,n. La suite (J_n) est constitu´ee de parties finies, elle est croissante et la r´eunion vaut I,

donc X

i∈I

u_i = lim

n→+∞

X

i∈J_n

u_i. Ainsi

n

X

q=0

X

i∈I_q

u_i−X

i∈J_n

u_i −→

n→+∞

X

q∈N

X

i∈I_q

u_i−X

i∈I

u_i. Soit q∈N. Montrons que X

i∈Iq

u_i = X

i∈Jq,n

u_i+ X

i∈Iq\Jq,n

u_i : X

i∈Iq

u_i = lim

N→+∞

N≥n

X

i∈Jq,N

u_i = lim

N→+∞

N≥n

X

i∈Jq,n

u_i+ X

i∈J_q,N\J_q,n

u_i , donc X

i∈I_q

u_i = X

i∈J_q,n

u_i + lim

N→+∞

N≥n

X

i∈J_q,N\Jq,n

u_i = X

i∈J_q,n

u_i+ X

i∈Iq\Jq,n

u_i, car on v´erifie que la suite (J_q,N\J_q,n)N≥n est adapt´ee `a I_q\J_q,n, et car (u_i)i∈I_q\J_q,n est sommable.

On en d´eduit que

n

X

q=0

X

i∈Iq

u_i−X

i∈Jn

u_i

=

n

X

q=0

X

i∈Iq\Jq,n

u_i

≤

n

X

q=0

X

i∈I_q\J_q,n

|u_i|

=

n

X

q=0

X

i∈Iq

|u_i| −X

i∈Jn

|u_i| −→

n→+∞0,

d’apr`es le th´eor`eme de sommation par paquets pour des r´eels positifs.

L’unicit´e de la limite permet alors de conclure.

Th´eor`eme de Fubini.

Interversion de sommations pour des suites doubles de complexes.

Soit (u_p,q)_(p,q)∈N² ∈C^N2 une suite double de complexes que l’on suppose sommable.

Alors pour tout q₀ ∈N, la suite (u_p,q0) est sommable, pour tout p₀ ∈N, la suite (u_p0,q) est sommable, et les suites X

p∈N

u_p,q

!

q∈N

et X

q∈N

u_p,q

!

p∈N

sont sommables.

De plus

X

(p,q)∈N²

u_p,q =

+∞

X

q=0 +∞

X

p=0

u_p,q

!

=

+∞

X

p=0 +∞

X

q=0

u_p,q

! .

Sommabilit´e 4 Propri´et´es des familles sommables Remarque. Pour appliquer ce th´eor`eme, il faut d’abord v´erifier que (u<sub>p,q</sub>)<sub>(p,q)∈N</sub><sup>2</sup> est une famille sommable de complexes, c’est-`a-dire que (|u_p,q|)(p,q)∈N² est une famille sommable de r´eels positifs. Souvent, on v´erifie ce dernier point `a l’aide du “th´eor`eme d’interversion de sommations pour des suites doubles de r´eels positifs”.

Exemple. SoientX

a_n etX

b_n deux s´eries absolument convergentes de complexes.

Alors la famille (a_pb_q)(p,q)∈N² est une suite double sommable et X

(p,q)∈N²

a_pb_q = X

p∈N

a_p

! X

q∈N

b_q

! .

D´emonstration.

En travaillant dans R⁺∪ {+∞}, d’apr`es le th´eor`eme de Fubini, X

p,q∈N

|a_pb_q|=

+∞

X

p=0

|a_p|

+∞

X

q=0

|b_q|

=X^+∞

p=0

|a_p| .X^+∞

q=0

|b_q|

<+∞, donc la famille (a_pb_q)p,q∈N

est sommable. Alors, d’apr`es le second th´eor`eme de Fubini, X

(p,q)∈N²

a_pb_q =X

q∈N

X

p∈N

a_pb_q

!

=X

q∈N

(T b_q), o`u T =

+∞

X

p=0

a_p. Ainsi X

(p,q)∈N²

a_pb_q =T

+∞

X

q=0

b_q = X

p∈N

a_p

! X

q∈N

b_q

! .

Exemple. On sait que X 1

p! converge et a pour somme e. Ainsi, 2^−q p!

(p,q)∈N²

est sommable et X

(p,q)∈N²

2^−q

p! =e× 1

1− ¹₂ = 2e.

D´efinition. Produit de Cauchy de deux s´eries.

Soient P

u_n et P

v_n deux s´eries de complexes.

Pour toutn ∈N, on posew_n= X

p+q=n

u_pv_q=

n

X

p=0

u_pvn−p. La s´erie P

wn est appel´ee le produit de Cauchy des deux s´eries P

un et P vn.

Propri´et´e. Le produit de Cauchy de deux s´eriesabsolument convergentes est abso- lument convergent. De plus, avec les notations de la d´efinition pr´ec´edente, si P

u_n et Pv_n sont absolument convergentes, alors

+∞

X

n=0

w_n=

+∞

X

n=0

u_n

! _+∞

X

n=0

v_n

! .

D´emonstration.

• D’apr`es l’exemple pr´ec´edent, la suite double (upvq) est sommable