2nde Correction DM n°10 Exercice 88 page 149-150 1. a. Les points d'intersection des deux courbes ont pour abscisses

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2nde Correction DM n°10

Exercice 88 page 149-150

1. a. Les points d'intersection des deux courbes ont pour abscisses –1 et 2.

b. Les solutions de l'équation gx= f x sont les abscisses des points

d'intersection des deux courbes donc d'après la réponse précédente : S={–1; 2}. Les solutions de l'inéquation f xgx sont les abscisses telles que les points de la courbe de f sont strictement au-dessus des points de la courbe de g.

Donc S=[−2;−1[∪] 2;3,5] .

c. Les solutions de l'équation gx=0 sont les abscisses des points d'intersection entre la courbe de g et la droite d'équation y=0 c'est-à-dire l'axe des abscisses.

Donc graphiquement les solutions de cette équation ont pour valeurs approchées –1,2 et 3,2.

2. Le point de la courbe de f ayant pour abscisse 0 a pour ordonnée 0, donc on doit avoir f 0=0 , et le point de la courbe de g ayant pour abscisse 0 a pour ordonnée 2, donc on doit avoir g0=2 .

Or en remplaçant x par 0 dans 0,5x², on obtient 0 et dans , on obtient 2.

Donc f x=0,5x² et gx=–0,5x²x2 .

3. a. On doit montrer l'égalité x²– x –2=x –2x1. Le plus rapide est de développer le membre de droite :

x –2x1=x²x−2x−2=x²−x−2 b. f x=gx ⇔ 0,5x²=–0,5x²x2

⇔ x²– x –2=0

⇔ x−2x1=0 (d'après 3.a.)

⇔ x−2=0 ou x1=0

⇔ x=2 ou x=−1

On retrouve donc le même ensemble-solution qu'à la question 1.b. : S={–1; 2}. c. f xgx ⇔ 0,5x²–0,5x²x2

⇔ x²– x –20

⇔ x−2x10 (d'après 3.a.)

On cherche le signe d'un produit, on fait donc un tableau de signes :

(2)

x –2 –1 2 3,5

x –2 – | – 0 +

x1 – 0 + | +

x−2x1 + 0 – 0 + On déduit de ce tableau S=[−2;−1[∪] 2;3,5] (comme à la question 1.b.)

4. a. On doit montrer l'égalité _−0,5x²x2=0,55−x−1². Le plus simple est de développer le membre de droite :

0,55–x –1² =0,55−x²−2x1=0,55−x²2x−1

=0,5– x²2x4=–0,5x²x2 b. gx=0 ⇔ −0,5x²x2=0

⇔ 0,55−x−1²=0 (d'après 4.a.)

⇔ 5−x−1²=0

⇔ 



^5²^−^x^−1²⁼⁰

⇔ 



⁵^−^x⁻¹^



⁵^^x⁻¹^=⁰

⇔ −x1



⁵^^x⁻¹^



⁵^=⁰

⇔ −x1



⁵⁼^{0 ou} ^x⁻¹^



⁵⁼⁰

⇔ x=1



^{5 ou} ^x⁼¹⁻



⁵

donc l'ensemble-solution est S={1−



^5;1^



⁵^}

c. gx0 ⇔ −0,5x²x20

⇔ 0,55−x−1²0 (d'après 4.a.)

⇔ 5−x−1²0

⇔ 



^5−^x−1^



^5^x−1^0

⇔ −x1



⁵^^x^−1



^50

On cherche le signe d'un produit, on fait donc un tableau de signes :

x –2 1–



⁵ ¹^



⁵ ^3,5

−x1



⁵ ⁺ ⁰ ^– ^| ^–

x−1



⁵ ^– ^| ^– ⁰ ⁺

−x1



⁵^^x⁻¹^



⁵^ ^– ⁰ ⁺ ⁰ ^–

On obtient l'ensemble-solution S=]1−



^5;1^



^5[