Nom :
Classe : TS 5 Te st n°3
Résolutions d'équations dans C
le 20/12/2018
Note :
… / 10
Avis de l’élève Avis du professeur
Compétences évaluées Oui Non Oui Non
Résoudre des équations
Exercice 1 : Résoudre dans C les équations suivantes (en déterminant les solutions sous forme algébrique).
a) = b) =
c) = d) =
e) =
z¡5 3iz+ 10i z¯¡5 +i -2(z¡2¡3i)
4z2+ 9 0 z2¡4z+ 8 0
z4+ 2z2¡8 0
Exercice 2 : On considère le polynôme =
1. Déterminer trois réels , et tels que, pour tout nombre complexe on a : =
2. En déduire les solutions dans C de l'équation = .
z3+ (-6 +i)z2+ (13¡6i)z+ 13i P(z)
P(z) (z+i)(az2+bz+c)
a b c z
P(z) 0
Correction du Test n°3
Exercice 1 : Résoudre dans C les équations suivantes (en déterminant les solutions sous forme algébrique).
a) =
= = =
= = = = = +
b) =
=
En posant = et = , avec et dans R, on obtient :
= =
=
Or, deux nombres complexes sont égaux si et seulement s'ils ont les mêmes parties réelles et les mêmes parties imaginaires. On en déduit :
⇔ ⇔ Finalement : = =
c) =
=
= ou = -
d) =
∆ = = = - <
L'équation admet deux solutions complexes conjuguées.
= = = =
= =
e) =
On pose = et on résout =
∆ = = = >
L'équation admet deux solutions réelles.
= = = = -
= = = =
Or = donc : = - ou =
On en déduit : = ou = - ou = ou = -
z¡5 3iz+ 10i z¯¡5 +i -2(z¡2¡3i)
4z2+ 9 0 z2¡4z+ 8 0
z4+ 2z2¡8 0 5 + 10i z¡3iz
5 + 10i (1¡3i)z
z 5+10i1
¡3i
z (5+10i)(1+3i) (1¡3i)(1+3i)
z
z 5¡30+25i1+9 z -25+25i10
-5 2 5i
2
5+15i+10i+30i2 12¡(3i)2
z
¯
z¡5 +i -2z+ 4 + 6i
z x+iy z¯ x¡iy x¡iy¡5 +i -2(x+iy) + 4 + 6i x¡iy¡5 +i -2x¡2iy+ 4 + 6i (x¡5) +i(1¡y) (-2x+ 4) +i(6¡2y)
½ x¡5 =¡2x+ 4 1¡y = 6¡2y
½ 3x = 9 y = 5
½ x= 3
y= 5 z x+iy 3 + 5i
z2 -94
z 32i z 32i
b2¡4ac 16¡32 16 0
z1 4¡ip
16 2 -b¡i
p
j¢j 2a
4¡4i
2 2¡2i
¯ z1
z2 2 + 2i
z2
Z Z2+ 2Z ¡8 0
b2¡4ac 4 + 32 36 0 Z1 -b¡p
¢ 2a
-2¡p 36 2
-2¡6
2 4
Z2 -b+p
¢ 2a
-2+p 36 2
-2+6
2 2
Z z2 z2 4 z2 2
z 2i z 2i z p z
2 p
2
x y
Exercice 2 : On considère le polynôme =
1. Déterminer trois réels , et tels que, pour tout nombre complexe on a : =
∀ ∈ C, A = = A =
Or =
Donc, par identification, = si et seulement si :
⇔ ⇔
Finalement, =
2. En déduire les solutions dans C de l'équation = .
= ⇔ =
Un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc = ⇔ = ou = ⇔ = ou = On considère le trinôme
∆ = = = - <
Le trinôme admet deux racines complexes conjuguées.
= = = =
= =
Finalement, = ⇔ = ou = ou =
P(z) z3+ (-6 +i)z2+ (13¡6i)z+ 13i
a b c z
P(z) (z+i)(az2+bz+c)
P(z) 0
z (z +i)(az2+bz+c) az3+bz2+cz+iaz2+ibz+ic az3+ (b+ia)z2+ (c+ib)z+ic
P(z) z3+ (-6 +i)z2+ (13¡6i)z+ 13i
P(z) (z +i)(az2+bz+c) 8>
><
>>
:
a= 1
b+ia= -6 +i c+ib= 13¡6i c= 13
8>
><
>>
:
a= 1
b+i= -6 +i 13 +ib= 13¡6i c= 13
8<
:
a= 1 b= -6 c= 13 P(z) (z+i)(z2¡6z+ 13)
P(z) 0 (z+i)(z2¡6z+ 13) 0 0
z+i z2¡6z+ 13 0 z -i z2¡6z+ 13 0 P(z) 0
b2¡4ac 16 0
z2 z¯1
z1
-b¡i
p
j¢j 2a
36¡4£13 6¡ip
16 2
6¡4i
2 3¡2i 3 + 2i
z2¡6z+ 13
P(z) 0 z -i z 3¡2i z 3 + 2i
