A RENDRE AVEC LA COPIE 1

E.C. P3 D.S. - 2 heures

A RENDRE AVEC LA COPIE 1

Jeudi 19 janvier 2017

ON REDIGERA LA PARTIE A SUR UNE COPIE, ET LA PARTIE B SUR UNE AUTRE.

SI UNE PARTIE N’EST PAS TRAITEE JOINDRE UNE COPIE BLANCHE A VOTRE NOM.

LE NON-RESPECT DE CES CONSIGNES ENTRAINERA UN RETRAIT DE 2 POINTS.

TOUTE APPLICATION NUMERIQUE EST PRECEDEE D’UN CALCUL LITTERAL ET EVENTUELLEMENT AFFECTEE D’UNE UNITE.

UNE CALCULATRICE NON PROGRAMMABLE, NON GRAPHIQUE EST AUTORISEE DOCUMENTS EN DERNIERES PAGES A VOTRE DISPOSITION POUR TOUT LE SUJET

COPIE I

Partie A - Filtre RLC (11 points)

On considère le circuit ci-contre alimenté par une tension sinusoïdale e(t) d’amplitude Emax et de pulsation ω. Dans tout l’exercice, on prendra Emax = 4 V,

C

L’inductance L de la bobine et la résistance R sont inconnues.

A1) Donner le modèle équivalent de Thévenin (eth, ZTh) du dipôle AB vu de la résistance R.

Faire l’analyse dimensionnelle des résultats.

A2) Déterminer l’expression de la tension u aux bornes de la résistance R en fonction de eth, ZTh et R, puis en fonction de e, C, L, ω et R.

A3) Montrer que la fonction de transfert de cet opérateur peut se mettre sous la forme canonique :

1

Avec x la pulsation réduite, A0 et Q deux réels

On déterminera les expressions de A0, Q et x en fonction de R, C, L et ω.

A4) Déterminer l’expression de |H| et de arg (H ) en fonction de A0, x et Q.

A5) On peut montrer que |H| passe par un maximum pour

1 1

2

On ne demande pas de démontrer ce résultat.

On supposera dans toute la suite de l’exercice que .

Déterminer les valeurs de Q pour lesquelles cette situation se produit. Montrer que cela correspond alors à la condition

.

En déduire la nature et l’ordre du filtre grâce aux diagrammes du formulaire reproduit en pages 5 et 6.

L’expérience a permis de mesurer les amplitudes Emax et Umax des tensions sinusoïdales e(t) et u(t) pour différentes valeurs de la pulsation ω et d’en déduire le graphique de |H| en fonction de la fréquence f de la tension e(t).

La courbe est représentée page 2.

NOM :

GROUPE : A RENDRE AVEC L

COPIE 1 Jeudi 19 janvier 2017

A6) Déterminer graphiquement la fréquence de résonance fr. En déduire l’expression de l’inductance L de la bobine en fonction de C et fr et réaliser l’application numérique.

A7) Donner la définition de la bande passante à -3 dB. Nommer les fréquences délimitant celle-ci. Déterminer graphiquement la largeur de la bande passante ∆f de cette résonance.

On exposera la méthode sur la courbe ci-dessous.

A8a) Déterminer l’expression analytique du maximum Hmax de |H| en fonction de Q et A0.

A8b) Déterminer la valeur numérique de Q, et en déduire la valeur numérique de la résistance R.

COPIE II

Partie B – Restitution d’un signal analogique (9 points)

Après lecture, les données numériques stockées sur un cédérom génèrent une tension électrique v1(t) dont le spectre est représenté ci-contre.

Le signal utile représentant les données est l’harmonique à 12 kHz, les deux autres harmoniques ayant été générées par le traitement.

B1.1) D’après le spectre, la tension v1(t) est-elle purement sinusoïdale ? Justifier.

B1.2) Indiquer dans le tableau en annexe page 3 les amplitudes des différentes raies du spectre de la tension v1(t).

B1.3) Il est par ailleurs précisé que les phases à l’origine des différentes composantes de v1(t) sont nulles. Ecrire l’équation horaire de v1(t).

B2 On se propose à présent de déterminer le filtre permettant de sélectionner le signal utile à 12 kHz et d’éliminer les autres harmoniques.

B2.1) Afin d’établir le gabarit de ce filtre, on s’impose le cahier des charges suivant :

• La fréquence de coupure à -3 dB est sensiblement plus grande que la fréquence du signal utile.

• Les harmoniques atténuées de plus de 10 dB sont considérées comme annulées.

Après avoir indiqué et justifié vos choix, tracer le gabarit du filtre à réaliser sur l’une des feuilles de papier semi-logarithmique fournies en page 4.

B2.2) En déduire la nature et l’ordre minimal du filtre résultant.

NOM : GROUPE :

A RENDRE AVEC LA COPIE 2 Jeudi 19 janvier 2017

-90 -75 -60 -45 -30 -15 0

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

0,1 1 10 100 1000 10000 100000

Déphasage(°) (trait pointillé) GdB(trait plein)

Fréquence (kHz)

B3 On représente ci-dessous le diagramme de Bode (gain et phase) du filtre intégré au lecteur de cédérom. La fonction de transfert est définie par

= , où v1 est la tension d’entrée et v2 la tension de sortie du filtre.

B3.1) A l’aide de ces courbes, déterminer (et justifier) :

● la nature et l’ordre du filtre ● sa fréquence de coupure à -3 dB

● sa bande passante

On exposera la méthode sur le diagramme de Bode donné ci-dessous.

B3.2)Ce filtre est-il compatible avec le gabarit déterminé en B2 ?

B3.3)A l’aide de ces courbes, on a déterminé pour les harmoniques H et H" de la tension v2(t) en sortie du filtre, leur amplitude et leur déphasage par rapport à v1(t). Voir le tableau en annexe ci-contre.

Achever de remplir ce tableau (cellules non grisées).

B3.4)Si on considère que les composantes atténuées d’au moins 10 dB ne sont pas transmises par le filtre, quel est le spectre d’amplitudes de v2(t) ? B3.5)Ecrire dans ces conditions l’équation horaire de v (t).

ANNEXE PARTIE B

Questions B.1.2) et B.3.3) On précisera les unités dans chaque ligne

Harmoniques H H’ H’’

Fréquences

( )

v₁

(

)

( )

v₂

(

)

(V)

4,5 0,12

Déphasage 2/1 (rad)

-0,58 -1,40

NOM : GROUPE :

GRAPHES SEMI-LOGARITHMIQUES A RENDRE AVEC LA COPIE 2

Jeudi 19 janvier 2017

2 3 4 5 6 7 8 9 2 3 4 5 6 7 8 9

1 1 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

E.C. P3 Diagrammes de Bode Chapitre 13-5 des fonctions de transfert du 1

et du 2

ordre

Légende :

Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes

-90,00 -75,00 -60,00 -45,00 -30,00 -15,00 0,00

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) GdB

x

0,00 15,00 30,00 45,00 60,00 75,00 90,00

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) G_dB

x

-180,00 -150,00 -120,00 -90,00 -60,00 -30,00 0,00

-120 -100 -80 -60 -40 -20 0 20 40

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) G_dB

x

1 1

!

!" fc

: fréquence de coupure

1

1 ¹

!

!" f_c

: fréquence de coupure

1 1

!

!# f₀

: fréquence propre

>_√^%

(trait plein double) :

présence d’un phénomène de résonance

<_√^%

(trait plein simple) :

pas de résonance

E.C. P3 Diagrammes de Bode Chapitre 13-5 des fonctions de transfert du 1

et du 2

ordre

Légende :

Traits pleins : Courbe de gain et ses asymptotes Traits pointillés : Courbe de phase et ses asymptotes

0 30 60 90 120 150 180

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) G_dB

x

-90 -60 -30 0 30 60 90

-60 -50 -40 -30 -20 -10 0

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) G_dB

x

-90 -75 -60 -45 -30 -15 0 15 30 45 60 75 90

-50 -45 -40 -35 -30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5 10

1,E-02 1,E-01 1,E+00 1,E+01 1,E+02 1,E+03

ArgH(°) G_dB

x

1

!

!# f0

: fréquence propre

>_√^%

(trait plein double) :

présence d’un phénomène de résonance

<_√^%

(trait plein simple) :

pas de résonance

1 ( ¹)

!

!# f0

: fréquence propre

Les asymptotes se coupent en

1

1 ¹

( 1)

!

!# f₀

: fréquence propre