A rendre avec la copie

(1)

EXERCICE 4 (5 points ) (Commun à tous les candidats)

La feuille annexe donnée portera les constructions demandées au cours de l’exercice.

Cette feuille est à rendre avec la copie.

Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct(O,−→u ,→−v), le pointAa pour affixei.

On nommef l’application qui, à tout point M d’affixez avec z 6= iassocie le point M^′ d’affixe z^′ telle que :

z^′ = −z² z−i.

Le but de l’exercice est de construire géométriquement le pointM^′ connaissant le pointM.

1) Un exemple.

On considère un pointK d’affixe1 +i.

a) Placer le pointK.

b) Déterminer l’affixe du pointK^′ image deK parf. c) Placer le pointK^′.

2) Des points pour lesquels le problème ne se pose pas.

a) On considère le pointLd’affixe i

2. Déterminer son imageL^′parf. Que remarque-t-on ? b) Un point est dit invariant parf s’il est confondu avec son image.

Démontrer qu’il existe deux points invariants parf dont on déterminera les affixes.

3) Un procédé de construction.

On nommeGl’isobarycentre des pointsA,M, etM^′, etg l’affixe deG.

a) Vérifier l’égalitég = 1 3(z−i).

b) En déduire que siM est un point du cercle de centreAde rayonr, alorsGest un point du cercle de centreOde rayon 1

3r. c) Démontrer queargg =−

−

→u;−−→

AM .

d) Sur la feuille annexe, on a marqué un pointDsur le cercle de centreAet de rayon1 2.

On nommeD^′ l’image deDparf. Déduire des questions précédentes la construction du point D^′ et la réaliser sur la figure annexe à rendre avec la copie.

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(2)

ANNEXE

A rendre avec la copie

EXERCICE 4

Sur la figure ci-dessous le segment[OI]tel que−→u =−→

OIest partagé en six segments d’égale longueur.

+ + + + +

O

+

I A

×D

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(3)

EXERCICE 4 1) a)voir plus loin b)zK′ = −(1+i)²

(1+i) −i = −(1+2i−1) 1 = −2i.

zK′ = −2i.

a) et c)

1 2 3 4

−1

−2

−3

−4

1

−1

−2

b

K

K^′

2) a)zL′ =

− i

2 ²

i 2 −i

= 1/4

−i/2 = 1

−2i = 1 2 × i

(−i)i = i 2.

zL′ = i 2. En particulierL^′ =Let donc le pointL est invariant parf.

b)Soitz∈C\ {i}.

z^′=z⇔ −z²

z−i =z⇔−z²=z(z−i)⇔2z²−iz=0⇔z(2z−i) =0⇔z=0ouz= i 2. Comme0et i

2 appartiennent àC\ {i},

fadmet exactement deux points invariants, les pointsOetL d’affixes respectives0et i 2. 3) Un procédé de construction.

a)Soitz∈C\ {i}.

g= 1

3(zA+z+z^′) = 1 3

i+z− z² z−i

= (z+i)(z−i) −z²

3(z−i) = z²−i²−z²

3(z−i) = 1 3(z−i). Pour tout complexez∈C\ {i},g= 1

3(z−i).

b)Soientrun réel strictement positif etMun point du cercle de centreAet de rayonr. Alors|z−i|=ret en particulier, z6=i. De plus,

OG=|g|=

1 3(z−i)

= 1

3|z−i| = 1 3r. DoncGappartient au cercle de centreOet de rayon 1

3r.

(4)

c)Soitz∈C\ {i}.

arg(g) =arg

1

3(z−i)

= −arg(3(z−i)) = −arg(z−i) = −−→u ,−−AM→ .

arg(g) = −

−

→u ,−−→ AM

.

d) Ici r = 1

2. On construit alors G. G est sur le cercle de centre O et de rayon 1 3r = 2

3 = 4

6 ce qui correspond à 4 graduations. D’autre part,

−

→u ,−−OG→

= −

−

→u ,−−AD→ .

I A

Db

b b

b

G C B

D^′

Il reste à construire le pointD^′ tel queGsoit le centre de gravité du triangleADD^′. On noteBle milieu du segment[AD]

puisCle milieu du segment[BG]. On sait alors que −−→ BD^′= 3

2

−→

BGou encore−−→

GD^′=−CG→ ou enfinD^′ est le symétrique de Cpar rapport àG.