Loi binomiale ES 1
Loi binomiale et problèmes
Vérifier les acquis n°1 à 5 p 200
I. Schéma de Bernouilli A. Epreuve de Bernoulli Définition
Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues : l’une appelée SUCCES est notée 𝑆 et l’autre appelée ECHEC est notée 𝑆̅.
Exemples :
1) Le jeu du pile ou face : On considère par exemple comme succès "obtenir pile" et comme échec "obtenir face".
2) On lance un dé et on considère par exemple comme succès "obtenir un six" et comme échec "ne pas obtenir un six".
3) Extraire une carte d’un jeu de 32 cartes et considérer comme succès « obtenir un as » et comme échec « obtenir une autre carte qu’un as ».
B. Loi de Bernoulli Définition
La loi de Bernoulli de paramètre p est la loi de probabilité associée à une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est p.
La loi de Bernoulli de paramètre p est donc définie par le tableau :
Issue 𝑺 𝑺̅
Probabilité 𝑝 1 − 𝑝
Exemples
1) A l’épreuve de Bernoulli du jeu du pile ou face est associée la loi de Bernoulli de paramètre 12
2) A l’épreuve de Bernoulli « obtenir un six » au lancer de dé est associée la loi de Bernoulli de paramètre 1
6 et on associe la probabilité 56 à l’échec.
3) A l’épreuve de Bernoulli « obtenir un as dans un jeu de 32 cartes » est associée la loi de Bernoulli de paramètre 324 =1
8. A l’échec, on associe donc la probabilité 78
C. Schéma de Bernoulli Définition
Un schéma de Bernoulli est la répétition d’une même épreuve de Bernoulli dans des conditions d’indépendance (c’est-à-dire que l’issue d’une épreuve ne dépend pas des issues des épreuves précédentes.) Illustration
Voir exercices résolus 1 – 2 p 203
Exercices n°10 à 18 p 210 – 211
Loi binomiale ES 2 II. Loi binomiale
Activité n°1 p 201
A. Loi binomiale Définition
Un schéma de Bernoulli est constitué de 𝒏 épreuves pour lesquelles la probabilité du succès est 𝒑.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès lors de ces 𝒏 épreuves.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale (ou loi du nombre de succès) de paramètres 𝒏 et 𝒑. on la note (𝒏 ;𝒑)
Exemple
On lance deux fois de suite une roue partagée en quatre secteurs identiques colorés : rouge, vert, bleu, jaune.
Les lancers sont indépendants. Chaque lancer est une épreuve de Bernoulli dont le succès est, par exemple, S : « Arrêt sur le secteur rouge ». Dans ce cas, 𝑝 = 𝑝(𝑆) =1
4.
A cette situation, on peut associer la loi binomiale de paramètres 𝑛 = 2 et 𝑝 =1
4
La probabilité d’obtenir un succès puis un échec est 𝑝(𝑆𝑆̅) =1
4×3
4
On note X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les 2 lancers.
La probabilité d’obtenir 1 succès est 𝑝(𝑋 = 1) = 𝑝(𝑆𝑆̅) + 𝑝(𝑆̅𝑆)= 1
4×3
4+3
4×1
4= 2 ×1
4×3
4
On en déduit la loi de probabilité suivante pour la variable aléatoire X
Nombre 𝒌 de succès 0 1 2 Total
Probabilité 𝑷(𝒙 = 𝒌) (3 4)
2
= 9
16 2 ×1 4×3
4= 6 16 (1
4)
2
= 1 16
9 16+ 6
16+ 1 16= 1
Remarque
Dans le cas de la loi binomiale (𝒏 ;𝒑), on a 𝒑(𝑿 = 𝟎) + 𝒑(𝑿 = 𝟏) + ⋯ + 𝒑(𝑿 = 𝒏) = 𝟏 B. Espérance d’une loi binomiale
Propriété (admise)
L’espérance de la loi binomiale de paramètres 𝒏 et 𝒑 est égale à 𝒏×𝒑 Exemple :
Dans l’exemple précédent, l’espérance est égale à 𝑛 × 𝑝 = 2 ×1
4= 0,5.
Cela signifie qu’en répétant un grand nombre de fois l’expérience de ces deux lancers de roue, on obtiendra en moyenne 0,5 fois le succès.
Voir exercice résolu 1 p 205
Exercices n°19 à 26 p 211 – 212
Loi binomiale ES 3 III. Coefficients binomiaux et loi binomiale
A. Coefficients binomiaux Définition
On dispose d’un arbre pondéré associé à un schéma de Bernoulli de paramètres 𝒏 et 𝒑. Le nombre de chemins correspondants à k succès sur les n épreuves est noté (𝒏𝑘) (lire « k parmi n »).
Ce nombre est appelé coefficient binomial.
Exemple
Il y a un seul chemin correspondant à 𝑘 = 0, donc (30) = 1 Il y a 3 chemins correspondants à 𝑘 = 1, donc (31) = 3 Il y a 3 chemins correspondants à 𝑘 = 2, donc (32) = 3 Il y a un seul chemin correspondant à 𝑘 = 3, donc (33) = 1
Remarque
En pratique pour connaitre la valeur de (𝒏𝑘) :
soit on a lit sur un arbre pondéré
soit on utilise la calculatrice (voir exercice résolu 2 p 207)
B. Lien avec la loi binomiale Propriété
X est une variable aléatoire qui suit la loi binomiale (𝒏 ;𝒑).
Pour tout entier naturel 𝑘 tel que 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑛,
