Probabilités - Echantillonnage STI2D 1
Probabilités - Echantillonnage
I. Schéma de Bernoulli A. Epreuve de Bernoulli Définition
Une expérience aléatoire qui n’a que deux issues possibles (succès noté 𝑆 ou échec noté 𝐸) est appelée épreuve de Bernoulli.
La probabilité du succès est notée 𝒑 et celle de l’échec est notée 𝒒 = 𝟏 − 𝒑.
B. Schéma de Bernoulli Définition
Un schéma de Bernoulli est une expérience aléatoire qui consiste à répéter plusieurs fois et de manière indépendante la même épreuve de Bernoulli.
Exemple
Voir Activité p 196
C. Propriétés Propriétés
La somme des probabilités portées sur les branches issues d’un même nœud est égale à 𝟏.
Si 𝐴̅ est l’événement contraire de A alors 𝒑(𝑨̅) = 𝟏 − 𝒑(𝑨)
La probabilité d’un événement est le produit des probabilités portées sur les branches du chemin aboutissant à cet événement.
Voir exercice résolu 1 p 197 Applications n°1 – 2 p 197 Exercices n°1 à 11 p 208 – 209
II. Variables aléatoires ; loi de probabilité A. Variable aléatoire
On considère l’univers lié à une expérience aléatoire.
Définition
On appelle variable aléatoire définie sur toute fonction X de dans R.
Exemple
Dans l’activité p 198, X est la variable aléatoire donnant le gain algébrique (gain ou perte) d’Eloïse après les lancers. On a ainsi un nouvel univers (X)={−10; 5; 20}, composé des trois issues possibles
−10; 5 et 20.
La probabilité de gagner 5 € se note 𝑃(𝑋 = 5), celle de gagner au moins 10 € se note 𝑃(𝑋 ≥ 10).
Probabilités - Echantillonnage STI2D 2 B. Loi de probabilité
Soit ={𝑒1; 𝑒2; … ; 𝑒𝑛} l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. A chaque issue 𝑒𝑖, on associe un nombre 𝑥𝑖 à l’aide d’une variable aléatoire X.
Définition
Définir une loi de probabilité sur l’ensemble des 𝑛 valeurs 𝑥𝑖, c’est associer à chaque 𝑥𝑖 sa probabilité 𝑝𝑖. On synthétise ces résultats dans un tableau :
Valeurs prises par 𝑿 𝑥𝑖 𝑥𝑖 … 𝑥𝑖
𝑷(𝑿 = 𝒙𝒊) = 𝒑𝒊 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑛
On a 𝒑𝟏+ 𝒑𝟐+ ⋯ + 𝒑𝒏 = 𝟏
Voir exercice résolu 2 p 199 Applications n°1 – 2 p 199
III. Loi binomiale
A. Définition de la loi binomiale
Activité p 200 Définition
Un schéma de Bernoulli est constitué de 𝒏 épreuves pour lesquelles la probabilité du succès est 𝒑.
X est la variable aléatoire qui compte le nombre de succès lors de ces 𝒏 épreuves.
La loi de probabilité de la variable aléatoire X est appelée loi binomiale (ou loi du nombre de succès) de paramètres 𝒏 et 𝒑. on la note (𝒏 ;𝒑)
Exemple
Dans l’activité p 200, on reconnait un schéma de Bernoulli où le nombre d’épreuves est 𝑛 = 3 et la probabilité d’un succès est 𝑝 = 0,05. On a donc une loi binomiale (3 ; 0,05)
Voir exercice résolu 3 p 201 Application n°1 p 201 Exercices n°19 à 24 p 210 – 211 B. Espérance mathématique
Propriété (admise)
X est une variable aléatoire définie sur E qui prend les valeurs 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛. L’espérance de la variable aléatoire X est le nombre réel, noté E(X) , tel que :
𝑬(𝑿) = 𝒑𝟏𝒙𝟏+ 𝒑𝟐𝒙𝟐+ ⋯ + 𝒑𝒏𝒙𝒏 L’espérance mathématique est la moyenne espérée d’une variable aléatoire.
L’espérance de la loi binomiale (𝒏 ;𝒑) est égale à 𝑬(𝑿) =𝒏×𝒑 La variance de la loi binomiale (𝒏 ;𝒑) est égale à 𝑽(𝑿) =𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑) L’écart-type de la loi binomiale (𝒏 ;𝒑) est égale à 𝝈(𝑿) =√𝒏𝒑(𝟏 − 𝒑)
Voir exercice résolu 4 p 201 Application n°2 p 201 Exercices n°26 à 28 p 211
Probabilités - Echantillonnage STI2D 3 IV. Probabilités et informatique
Pour simuler un schéma de Bernoulli à l’aide d’un tableur :
On entre dans la colonne A les entiers correspondants au nombre de succès obtenus 𝑘.
On entre dans la colonne B = 𝑳𝑶𝑰. 𝑩𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬(𝒌; 𝒏; 𝒑; 𝑭𝑨𝑼𝑿) pour calculer la probabilité d’obtenir 𝒌 succès ; 𝑘 est le nombre de succès, 𝑛 le nombre d’épreuves réalisées, 𝑝 la probabilité de succès à chaque épreuve.
On entre dans la colonne C = 𝑳𝑶𝑰. 𝑩𝑰𝑵𝑶𝑴𝑰𝑨𝑳𝑬(𝒌; 𝒏; 𝒑; 𝑽𝑹𝑨𝑰) pour calculer la probabilité d’obtenir au plus 𝒌 succès. (on obtient les probabilités cumulées)
On peut surligner la colonne B et insérer alors un diagramme en bâtons pour représenter la loi.
Voir exercices résolus 5 – 6 p 202 – 203
Applications n°1 – 2 p 202 Exercices n°13 à 17 p 209
V. Echantillonnage et intervalle de fluctuation A. Intervalle de fluctuation
Activité p 204 Définition
L’intervalle de fluctuation à 95 % d’une fréquence correspondant à la réalisation, sur un échantillon aléatoire de taille 𝑛, d’une variable aléatoire X suivant la loi binomiale (𝑛 ; 𝑝)est l'intervalle[𝒂
𝒏;𝒃
𝒏]défini par :
𝒂 est le plus petit entier tel que 𝑷(𝑿 ≤ 𝒂) > 𝟎, 𝟎𝟐𝟓
𝒃 est le plus petit entier tel que 𝑷(𝑿 ≤ 𝒃) ≥ 𝟎, 𝟗𝟕𝟓
Voir exercice résolu 7 p 205
Application n°1 p 205 Exercices n°29 à 35 p 211 – 212
B. Règle de décision
Si la fréquence observée f appartient à l’intervalle de fluctuation à 95 % [𝒂
𝒏;𝒃
𝒏], on considère que l’hypothèse selon laquelle la proportion est p dans la population n’est pas remise en question et on l’accepte. Sinon on rejette l’hypothèse
Voir exercice résolu 8 p 205
Application n°2 p 205 Exercices n°36 à 38 p 212
QCM n°43 p 216 – 217 Problèmes n°45 – 46 – 48 – 54 - p 217 à 220 Fiche de synthèse p 206 - 207
