IIIIII... III... Pro. Benmoussa Med

- 1 -

I I. I . .

a. Définition :

Soit u un vecteur du plan

  ^P

  ^P

^{u  AB}

La distance entre A et B est notée par

AB

u ou AB

B. Produit scalaire de deux vecteurs : a. Définition :

u et v

u

AB

v

AC

u et v

u.v

 Si

v  0

u=0

u.v  0

 Si

u  0

v  0

H

  ^AB

^{A  B}

^{u  0}



u.v

AB.AC

AB AH



u.v

AB.AC

AB AH

 La projection orthogonale de

B

  ^AB

u.u

AB.AB

AB AB

AB

0

u.u ou AB.AB

u

AB

u



u

AB

 On a :

AB

 AB

 AB

u

u



u

 u

I II I I I . . .

a. Activité :



u et v

 et

H

  ^AB

^{A  B}

^{u  0}

 On considère l’angle( AB, AĈ )

et de mesures





^{ }

1.

AH

AC et cos 

- 2 - b. Propriété 1 :



u et v

u

AB

v

AC

   ^{u, v  AB, AC}  ^{  2   }

 La forme trigonométrique du produit scalaire de

u et v

AB.AC

AB ACcos

u.v

u

v cos

c. Remarque :

Le produit scalaire des vecteurs

v

CD et u

AB

le nombre réel

AB.CD

AB.C'D'

D' et C'

C et D

  ^AB

B. Orthogonalité de deux vecteurs : a. Activité :

u et v

u

AB

v

AC

1.

u.v

2^ième cas :

u.v  AB.AC 

AB AH 

On a :^cos

 

    AC

d’où AH

cos  AC











   

AH  AC cos      AC   cos 

Donc : u.vAB.ACABAHABAH cos  Conclusion :

 

u.vAB.ACAB AH AB AH cos AB, AC  1^er cas :

u.v  AB.AC  AB AH 

On a : AH

cos  AC d’où

AH  AC cos  

AB AH

AB AH cos

 

   

Conclusion :

 

u.v AB.AC AB AH AB AH cos AB, AC

  

  

- 3 -

2.

u et v

Soient

u et v et w

  ^P

Les vecteurs

u et v

u.v

0

u

v

a. Propriétés :

Soient

u et v et w

  ^P

1. Linéarité du produit scalaire :

 

       

u v .w u.w v.w w. u v w.u w.v

u .v u. v u.v

   

    

 

     



.

2. Positivité du produit scalaire :

u

0

3. produit scalaire est non dégénéré :

u.u

0 u 0

b. conséquences :

Soient

u et v

  ^P

1.

  ^{u v }

^{ u}

^{ 2u.v  v}

^{ u}

^{ 2u.v  v}

2.

  ^{u v }

^{ u}

^{ 2u.v  v}

^{ u}

^{ 2u.v  v}

3.

   ^{u v  u v   u}

^{ v}

^{ u}

^{ v}

4. u.v ¹ u v ² u ² v ² 2

 

     .

c. Démonstration ( pour la 1^ère propriété )

On a :

      ^{u v} 

 ^{u v . u v}    ^u

 ^2u.v  ^v

 ^u

 ^2u.v  v ; ( car u

 u )

  ^{u v }

^{ u}

^{ 2u.v  v}

^{ u}

^{ 2u.v  v}

d. Exemple :

u.v  7 et u  4 et v  7

1.

 

On a :

 

- 4 -

2

 u u.v 4² 7 23 Conclusion :

 

2.

 

On a :

 

2 2

2 2

u 2u.v v 4 2 7 7 79

  

   



Conclusion :

 

3.

  

On a :

  

^{ }

8 7 56

  

 

Conclusion :

  

I II I I I I I I . . .

A. Les relations métriques dans un triangle rectangle : a. Activité :

ABC

  ^BC

1.

ABC et ABH

2.

3.



AH

 AB

 HB

4.





5.





ABC

  ^BC

On a :

 BC² BA²AC² .

 BA²BH BC et CA ²CH CB .



AH

 HB HC  .

On les appelle les

- 5 - B. Théorème d’ El Kashi : ( يشاكلا يشمحلا نيدلا تايغ ) :

a. Théorème d’ El Kashi :

Dans tout triangle

ABC

AB  c et AC  b et BC  a

 BC² BA²AC²2AB AC cos A ou encore a² c²b² 2c bcosA .

 AC² AB²BC²2AB BC cos B ou encore b² c²a² 2c acosB .

 AB² AC²CB²2AC CB cosC ou encore c² b²a²2bacosC.

b. Démonstration :

On a : ^{BC2 }





2 2

2 2

cos

BA AC 2BC.CA

BA AC 2AB AC

  

   

Conclusion : BC² BA²AC²2AB AC cos A . c. Exemple :

On calcule

AC

BA  2 et BC

ABC 4

 

On a :

2 2 2

2 2

AC AB BC 2AB BCcos B 2 5 2 2 5cos

4 19

   

    



AC  19

a. Théorème :

Soit un segment

  ^AB

  ^P

  ^P

^MA

^MB

^2MI

^{1 AB}

   2 .

b. Démonstration :

On a : ^{MA2MB2 }



 



 

2 2 2 2

2 2

2

2 2

MI 2MI.IA IA MI 2MI.IB IB 2MI 2MI. IA IB 2IA

2MI 2IA 2MI 1 AB

2

     

   

 

 

Conclusion : ^{2 2 2}

1

MA MB 2MI AB

   2