Devoir maison n°4 : 3

A C

Devoir maison n°4 : 3^ème

Le sujet est composé de 7 exercices indépendants les uns des autres. Vous pouvez les traiter dans l’ordre qu’il vous convient.

Exercice 1 :

Les points P,B,M et H,A,M sont alignés dans le même ordre

Les droites (BA) et (PH) sont parallèles ( (BA) et (PH) sont perpendiculaires à la même droite (HM) )

D’après le théorème de Thalès, on a : MB

MP = MA MH = BA

PH

On suppose que HM = 30 m (sa mesure minimum), on a : AM = HM – HA = 57 m MB

MP = 27 30 = x

0,6 d’où on a dans ce cas là : x = 0,54 m

On suppose maintenant que HM = 45 m ( sa mesure maximal), on a : AM = HM – HA = 42 m D’où MB

MP = 42 45 = x

0,6 dans ce cas là, on a : x = 0,56 m.

Pour que les consignes de sécurité soient respectées, il faut que x soit d’au moins 0,54 m et d’au plus 0,56 m.

Exercice 2 :

Les points O’,O,A et B,C,A sont alignés dans le même ordre Les droites ( O’B) et (OC) sont parallèles

D’après le théorème de Thalès, on a : AO

AO’ = AC AB = OC

O’B soit AO

AO+6 = AC AB = 3

12 Calcul de AO :

AO AO+6 = 3

12 12AO = 3×(AO + 6 ) 12AO = 3AO + 18 9AO = 18 AO = 2 cm On a donc : AO’ = AO + OO4 = 8 cm.

Volume du pot de glace = volume du grand cône – volume du petit cône Volume du pot de glace = π×O’B²×O’A

3 - π×OC²×OA 3 Volume du pot de glace = 384π - 6π

Volume du pot de glace = 382π cm³ ≈1 200,088 cm³

1 dm³ = 1 L soit 1 000 cm³ = 100 cL donc 1 200,088 cm³ = 120,088cL Le volume du pot de glace est donc de environ 120 cL.

Exercice 3 : ( 5 points ) Existe-t-il un triangle rectangle donc :

 Un des côtés de l’angle droit mesure 4 cm

 L’autre côté mesure 3 cm de moins que l’hypoténuse ?

Si un tel triangle existe on le note ABC et on suppose qu’il est rectangle en A.

D’après les hypothèses, si on note AB = x on a : AC = 4 cm et BC = x +4 ( 1 point )

Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore, on a : AB² + AC² = BC² Soit x² + 16 = (x +3)² ( 1 point ) x² + 16 = x² + 6x + 9 ( 1 point développement )

d’où 6x = 7 x = 7

6 cm. ( 1,5 points résolution )

Un tel triangle existe donc et ses dimensions sont les suivantes : Un côté de l’angle droit mesure 4 cm et l’autre 7

6 cm ; l’hypoténuse mesure 3+ 7 6 = 25

6 cm. ( 0,5 point )

B

Exercice 4 : La figure ci-contre est représentée à main levée.

Les points A,B et C sont-ils alignés ?

Dans le triangle ABE rectangle en A, on a : sin ABE = AE

BE sin ABE = 3 5 ABE ≈ 36,87° ( 1,5 point )

Dans le triangle DBC rectangle en C, on a : cos DBC = BC

BD cos DBC = 3 4,1 DBC≈ 42,98° ( 1,5 point )

Si les points A,B,C sont alignés l’angle ABC doit être un angle plat.

Or : ABC = ABE + EBD + DBC ≈ 181,85° ( 1 point ) : ABC n’est pas un angle plat donc les points A,B,C ne sont pas alignés. ( 1 point conclusion )

Exercice 5 : Le nombre (x -1) (x +1) peut-il être inférieur à -1 ?

(x -1) (x +1) < -1 soit x² - 1 < -1 x² < 0 : ce qui n’est pas possible car le carré d’un nombre est toujours positif.

Le nombre (x -1) (x +1) ne peut pas être inférieur à -1.

Exercice 6 : Un disque de rayon x est « dans » un rectangle ABCD de telle sorte qu’il soit tangent à deux côtés op posés de ce rectangle. Le rectangle et le disque ont le même centre.

L’aire du disque peut-elle être égale à l’aire de la partie hachurée ? On a : AB = 2x

Aire du disque = aire partie hachurée π x² = aire du rectangle – aire du disque π x² = 2x×6 – πx²

2πx² - 12x = 0 O est solution.

Si x ≠ 0 , on peut diviser les deux membres de l’équation par x : 2πx²

x - 12x x = 0

x donc 2πx – 12 = 0 2πx = 12 x = 12

2π ≈ 1,9 cm

L’aire du disque est égale à l’aire de la partie hachurée pour x = 0 ( sans intérêt) ou pour x = 12 2π cm.

Exercice 7 :

Noémie, Ali et Manon lisent l’histoire d’Harry, un apprenti sorcier. Voici cette histoire :

Un vieux sorcier à la mémoire défaillant retrouve dans un ancien grimoire quelques formules magiques dont il a oublié les effets. Il charge un jeune garçon nommé Harry, en stage chez lui, d’en étudier les effets en testant sur une souris. Harry teste la formule magique « bis » sur une souris :

 Il prononce « bis » une fois. Aussitôt, la souris disparait et se retrouve remplacée par deux souris identiques en tout point à la première.

 Il prononce la formule « bis » une deuxième fois, et chacune des petites souris se trouve remplacée par deux souris identiques à la première.

 Amusé, Harry continue : « bis » ; « bis », « bis » et le nombre de suris devant lui devient gigantesque.

On voudrait savoir combien de souris Harry obtient après avoir prononcé 20 fois la formule « bis ».

Voici les remarques de Noémie, d’Ali et de Manon :

Remarque de Noémie : c’est facile ! Après 20 fois « bis », il doit avoir 20×2 donc 40 souris.

Noémie n’a pas vu ce qui ce passait c’est le nombre précédent à chaque fois qui est multiplié par 2 et pas toujours le 2 du départ !

Remarque d’Ali : J’ai fait un dessin et c’est simple au début. Après 3 formules « bis », j’ai obtenu 8 souris. Après je m’embrouille.

Bonne analyse de la part d’Ali : avec le dessin cela permet de voir ce qui se passe au début.

Remarque de Manon : J’ai remarqué que chaque fois qu’on prononce le mot « bis » le nombre de souris est multiplié par 2. J’ai pris ma calculatrice et j’ai trouvé qu’après avoir prononcé la formule « bis » 20 fois, Harry a obtenu plus d’un million de souris.

Au bout de 20 fois, le nombre de souris est de : 2²⁰ = 1 048 576 donc Manon a raison.