École Polytechnique Département des génies civil, géologique et des mines (CGM) GLQ3401-3651 - GÉOSTATISTIQUE et GÉOLOGIE MINIÈRES 2

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École Polytechnique

Département des génies civil, géologique et des mines (CGM) GLQ3401-3651 - GÉOSTATISTIQUE et GÉOLOGIE MINIÈRES

2^e contrôle périodique - Automne 2010 Date : 4 novembre 2010

Heure : 13h45 à 16h15

Note : Toute documentation permise; calculatrice, programmable ou non, permise;

tout autre appareil électronique interdit.

L’examen comprend 8 questions totalisant 100 points et réparties sur 12 pages.

Les questions 1, 2, 5 et 7 valent 12, 14, 14 et 20 points. Les autres questions valent 10 points.

Le professeur ne répond pas aux questions durant l’examen Vous répondez sur le questionnaire, utilisez le verso au besoin

Nom de l’étudiant : ________________________________________ Matricule : ____________

(lettres carrées)

Signature : _______________________________________________

Question 1 (12 points)

Le tableau suivant présente 8 modèles de variogramme. La figure de la page suivante montre les résultats d’un krigeage en 1D effectué avec les mêmes points échantillons et chacun des modèles du tableau. Les figures de gauche donnent la valeur estimée en fonction de la coordonnée x et les figures de droite donnent la variance de krigeage en fonction de la coordonnée x.

Associez une figure (de A à H) à chacun des modèles du tableau (répondez dans le tableau)

Modèle # Description Figure associée

(A à H) 1 Sphérique a = 100, C =10

2 Sphérique a = 30, C = 200 3 Gaussien a_effectif = 100, C = 200 4 Sphérique, a=100, C₀ = 100, C = 100 5 Gaussien a_effectif = 100, C₀ = 20, C = 180

(2)

Valeurs estimées par KO Variance de krigeage

0 5

A)

0 100 200

0 5

B)

0 10

0 5

C)

0 50 100

0 5

D)

0 2

0 5

E)

0 100 200

0 5

F)

0 100

0 5

G)

0 50

0 20 40 60 80 100

0 5

H)

0 20 40 60 80 100

0 0.2 0.4

(3)

Le tableau suivant donne les emplacements des observations servant à l’estimation de la teneur en Au au point de coordonnée x = 50 m, y = 39 m. Le variogramme est sphérique avec C₀= 25 ppm² , C = 65 ppm². On a une anisotropie géométrique, la meilleure continuité étant observée selon la direction 22^o (azimut).

Les portées principales sont de 35 m (selon 22^o) et 15 m (selon 112^o) respectivement. Le repère de coordonnées est orienté suivant :

Observation coordonnée x (m)

coordonnée y (m)

teneur (ppm)

1 45 30 7.1

2 53 29 3.7

3 38 43 1.2

4 55 45 5.4

a) Complétez le système de krigeage ordinaire suivant (A à F) :

(note : les équations sont placées dans le même ordre que les observations)

90 18.669 3.506 A 1 λ1 36.285

18.669 90 0 18.597 1 λ₂ 20.788

3.506 0 90 0 1 λ3 = 2.307

A B 0 C 1 λ₄ 39.722

1 1 1 D E µ F

On a trouvé comme solution :

λ1 0.366

λ₂ 0.138

λ3 = 0.080

λ₄ 0.416

µ -6.190

x

y N

(4)

Question 2 (suite)

b) Calculez la variance de krigeage.

c) Que deviendrait le système de krigeage si au lieu d’avoir observé la teneur 3.7 ppm au point 2, on avait obtenu plutôt 9.3 ppm ?

(5)

On réalise que les observations 1 et 2 sont obtenues par une méthode d’analyse moins précise que pour les observations 3 et 4. L’effet de pépite pour ces observations s’en trouve doublé.

d) Que doit-on modifier dans le système de krigeage ordinaire pour tenir compte de ce fait ?

e) Quel est l’effet anticipé sur les poids du krigeage ordinaire de la modification proposée en d) ?

(6)

Question 3 (10 points).

Une mine souterraine de Cu montre un variogramme sphérique isotrope en 3D avec a = 50 m, C₀= 0.5 %² et C = 5 %². La mine est exploitée simultanément à partir de 2 chantiers (A et B). Au cours d’une même semaine, on mine dans le chantier A un bloc de 10 m x 10 m x 50 m et dans le chantier B un bloc de 10 m x 30 m x 30 m. On suppose que les chantiers A et B sont tels que tout point de A est au moins à 50 m de tout point de B. De plus la mine est très grande par rapport aux portées du variogramme.

Sur une très longue période de temps quelle sera la variance de la teneur hebdomadaire moyenne de Cu provenant de ces deux chantiers ?

(7)

Une veine d’or est recoupée par des forages. La veine est de faible épaisseur presque constante. Les teneurs sont obtenues pour toute la longueur de l’intersection du forage avec la veine. On calcule le variogramme 2D avec ces teneurs et on retient un modèle de variogramme donné par la somme des 3 composantes décrites au tableau suivant :

Composante Portée C₀ ou C

Pépite - 5 ppm²

Sphérique 1 20 m 40 ppm²

Sphérique 2 80 m 20 ppm²

Les forages ne sont pas sur une grille régulière mais leur disposition est telle qu’on retrouve en moyenne un forage par cellule de 20 m x 10 m et qu’on peut considérer l’emplacement du forage dans chaque cellule comme étant choisi au hasard.

Quelle est la variance d’estimation pour la teneur moyenne sur la zone étudiée si on dispose de 57 forages?

(8)

Une mine de sel expédie le sel par bateau. Le bateau est chargé en 48 heures. Pour contrôler la qualité, un échantillon est pris sur la courroie amenant le sel au bateau à toutes les heures, débutant à t1 = 30 minutes.

L’échantillonnage est sans biais et le sel est chargé à débit constant. On analyse le % NaCl. Le variogramme ponctuel est sphérique, avec portée a= 10 heures, C= 4 %² et un effet de pépite C0 = 0.3 %².

a) Quelle est la variance de la teneur ponctuelle en NaCl ?

b) Quelle est la variance de la teneur ponctuelle en NaCl que l’on retrouve dans le bateau ?

c) Quelle est la variance de la teneur moyenne en NaCl de l’ensemble du chargement dans le bateau ?

d) On estime la teneur moyenne du bateau par la moyenne arithmétique des 48 échantillons pris lors du chargement. Quelle est la variance d’estimation correspondante

e) Si l’estimation de la teneur moyenne en NaCl du bateau donne 95.5 % NaCl, quelle est la probabilité que la cargaison de sel du bateau montre une teneur inférieure à la cible de 95 % NaCl ? Voir Table N(0,1) en annexe à la fin de l’examen.

(9)

Soit les variogrammes expérimentaux suivants obtenus selon 4 directions différentes.

0 50 100 150

0 2 4 6 8 10

h (m)

γ(h) %2

Azimut 0^o

0 50 100 150

0 2 4 6 8 10

h (m)

γ(h) %2

Azimut 45^o

0 50 100 150

0 2 4 6 8 10

h (m)

γ(h) %2

Azimut 135^o

0 50 100 150

0 2 4 6 8 10

h (m)

γ(h) %2

Azimut 90^o

Décrivez le modèle de variogramme 2D (en spécifiant tous les paramètres du modèle), permettant un ajustement adéquat de ces variogrammes expérimentaux.

(10)

Répondez par vrai ou faux (aucune justification requise, aucune pénalité pour mauvaise réponse). Dans tous les cas, supposez qu’un modèle admissible de variogramme est utilisé.

# Énoncé Vrai Faux

1 Dans une validation croisée (des résultats d’un krigeage), on peut toujours ajuster les paramètres du variogramme de façon à ce que l’écart-type des résidus normalisés soit exactement 1.

2 Si l’objectif est de minimiser la variance d’estimation globale d’une zone donnée, il vaut mieux utiliser, à nombre d’échantillons fixe, une grille régulière plutôt qu’une grille aléatoire stratifiée.

3 À cause de l’effet d’écran du krigeage, le choix exact du voisinage utilisé pour le krigeage n’a jamais beaucoup d’importance.

4 Les valeurs estimées par krigeage ordinaire ne peuvent pas montrer une variance supérieure au palier du variogramme.

5 On peut effectuer une estimation équivalente à la méthode polygonale par krigeage ordinaire en limitant le voisinage utilisé pour le krigeage à une seule observation.

6 On peut effectuer une estimation équivalente à une moyenne locale des données en effectuant un krigeage avec voisinage glissant et un variogramme effet de pépite pur.

7 La variance de krigeage ordinaire ne peut jamais être supérieure au palier du variogramme.

8 La variance de krigeage ordinaire n’est jamais nulle en raison de la présence du multiplicateur de Lagrange

9 Comme il peut y avoir des poids négatifs dans le krigeage, il est possible que l’on obtienne des teneurs estimées par krigeage qui soient négatives.

10 Comme il y a des poids négatifs dans le krigeage, il est possible que l’on obtienne des variances de krigeage négatives.

(11)

11 Comme le krigeage minimise la variance d’estimation, on est assuré que l’estimation obtenue par krigeage est plus précise que toute autre estimation linéaire (i.e. de la forme Zv*=

∑

= n i

i iZ a

1

), et ce, en tout point.

12 Le modèle gaussien de variogramme ne devrait pas être utilisé pour décrire le comportement de teneurs ponctuelles d’un gisement car il exprime une trop grande continuité spatiale pour ce type de variable.

13 Pour les modèles de covariance vus au cours, la variance de dispersion d’un bloc

« v » dans un bloc « V » (v<V ) est toujours inférieure à la variance de bloc de « v ».

14 La détermination précise du palier du variogramme est requise pour calculer correctement les variances de dispersion D²(v|V) lorsque « V » est grand par rapport à la portée du variogramme.

15 Toute autre chose étant égale, la variance de bloc augmente avec l’augmentation de l’effet de pépite.

16 La variance de dispersion d’un point dans un gisement, calculée à l’aide du variogramme, devrait approcher la variance expérimentale des teneurs ponctuelles observées dans le gisement lorsque l’échantillonnage est fait uniformément.

17 Avec un modèle sphérique de variogramme, plus l’effet de pépite est important, plus l’effet d’écran du krigeage est marqué.

18 Plus l’effet de pépite est important, plus le krigeage montre de fortes discontinuités aux points échantillons.

19 Le krigeage ordinaire est sans biais, et ce, indépendamment du fait que l’on ait, ou pas, le bon modèle de variogramme.

20 L’anisotropie identifiée sur les variogrammes expérimentaux calculés suivant différentes directions devrait, en raison de la tolérance angulaire appliquée, surestimer la véritable anisotropie.

(12)

Un gisement de Zn montre un variogramme sphérique avec C₀= 20 %² et C = 60 %². Le gisement présente une anisotropie géométrique avec des portées de 40 m dans la direction (azimut) 120⁰ et de 20 m dans la direction 30^o. Chaque semaine, la mine exploite un bloc de taille 20 m x 10 m. La mine veut minimiser la variance de la teneur hebdomadaire du minerai (i.e. on veut que la teneur d’une semaine à l’autre varie peu)

Utilisant l’abaque appropriée, déterminez s’il est préférable d’exploiter des blocs de 20 m x 10 m ou plutôt des blocs de 10 m x 20 m selon les directions 120^o et 30^o respectivement. Quel est le ratio des variances des teneurs hebdomadaires pour ces deux blocs ?

(13)

Annexe

Fonction de répartition N(0,1)

x 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09

0.0 0.5000 0.5040 0.5080 0.5120 0.5160 0.5199 0.5239 0.5279 0.5319 0.5359

0.1 0.5398 0.5438 0.5478 0.5517 0.5557 0.5596 0.5636 0.5675 0.5714 0.5753

0.2 0.5793 0.5832 0.5871 0.5910 0.5948 0.5987 0.6026 0.6064 0.6103 0.6141

0.3 0.6179 0.6217 0.6255 0.6293 0.6331 0.6368 0.6406 0.6443 0.6480 0.6517

0.4 0.6554 0.6591 0.6628 0.6664 0.6700 0.6736 0.6772 0.6808 0.6844 0.6879

0.5 0.6915 0.6950 0.6985 0.7019 0.7054 0.7088 0.7123 0.7157 0.7190 0.7224

0.6 0.7257 0.7291 0.7324 0.7357 0.7389 0.7422 0.7454 0.7486 0.7517 0.7549

0.7 0.7580 0.7611 0.7642 0.7673 0.7704 0.7734 0.7764 0.7794 0.7823 0.7852

0.8 0.7881 0.7910 0.7939 0.7967 0.7995 0.8023 0.8051 0.8078 0.8106 0.8133

0.9 0.8159 0.8186 0.8212 0.8238 0.8264 0.8289 0.8315 0.8340 0.8365 0.8389

1.0 0.8413 0.8438 0.8461 0.8485 0.8508 0.8531 0.8554 0.8577 0.8599 0.8621

1.1 0.8643 0.8665 0.8686 0.8708 0.8729 0.8749 0.8770 0.8790 0.8810 0.8830

1.2 0.8849 0.8869 0.8888 0.8907 0.8925 0.8944 0.8962 0.8980 0.8997 0.9015

1.3 0.9032 0.9049 0.9066 0.9082 0.9099 0.9115 0.9131 0.9147 0.9162 0.9177

1.4 0.9192 0.9207 0.9222 0.9236 0.9251 0.9265 0.9279 0.9292 0.9306 0.9319

1.5 0.9332 0.9345 0.9357 0.9370 0.9382 0.9394 0.9406 0.9418 0.9429 0.9441

1.6 0.9452 0.9463 0.9474 0.9484 0.9495 0.9505 0.9515 0.9525 0.9535 0.9545

1.7 0.9554 0.9564 0.9573 0.9582 0.9591 0.9599 0.9608 0.9616 0.9625 0.9633

1.8 0.9641 0.9649 0.9656 0.9664 0.9671 0.9678 0.9686 0.9693 0.9699 0.9706

1.9 0.9713 0.9719 0.9726 0.9732 0.9738 0.9744 0.9750 0.9756 0.9761 0.9767

2.0 0.9772 0.9778 0.9783 0.9788 0.9793 0.9798 0.9803 0.9808 0.9812 0.9817

2.1 0.9821 0.9826 0.9830 0.9834 0.9838 0.9842 0.9846 0.9850 0.9854 0.9857

2.2 0.9861 0.9864 0.9868 0.9871 0.9875 0.9878 0.9881 0.9884 0.9887 0.9890

2.3 0.9893 0.9896 0.9898 0.9901 0.9904 0.9906 0.9909 0.9911 0.9913 0.9916

2.4 0.9918 0.9920 0.9922 0.9925 0.9927 0.9929 0.9931 0.9932 0.9934 0.9936

2.5 0.9938 0.9940 0.9941 0.9943 0.9945 0.9946 0.9948 0.9949 0.9951 0.9952

2.6 0.9953 0.9955 0.9956 0.9957 0.9959 0.9960 0.9961 0.9962 0.9963 0.9964

2.7 0.9965 0.9966 0.9967 0.9968 0.9969 0.9970 0.9971 0.9972 0.9973 0.9974

2.8 0.9974 0.9975 0.9976 0.9977 0.9977 0.9978 0.9979 0.9979 0.9980 0.9981

2.9 0.9981 0.9982 0.9982 0.9983 0.9984 0.9984 0.9985 0.9985 0.9986 0.9986

3.0 0.9987 0.9987 0.9987 0.9988 0.9988 0.9989 0.9989 0.9989 0.9990 0.9990

3.1 0.9990 0.9991 0.9991 0.9991 0.9992 0.9992 0.9992 0.9992 0.9993 0.9993

3.2 0.9993 0.9993 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9994 0.9995 0.9995 0.9995

3.3 0.9995 0.9995 0.9995 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9996 0.9997

3.4 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9997 0.9998

3.5 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998 0.9998

(14)

Corrigé : Q1-

Associez une figure (de A à H) à chacun des modèles du tableau (répondez dans le tableau)

Modèle # Description Figure associée

(A à H)

1 Sphérique a = 100, C =10 D

2 Sphérique a = 30, C = 200 A

3 Gaussien aeffectif = 100, C = 200 H

4 Sphérique, a=100, C₀ = 100, C = 100 E

5 Gaussien a_effectif = 100, C₀ = 20, C = 180 G

6 Gaussien a_effectif = 30, C = 200 C

7 Effet de pépite pur avec C₀= 10 B

8 Effet de pépite pur avec C0 = 100 F

Q2-

a) h_1-4 = (100+225)^0.5 = 18 direction : atan (10/15) = 33.7^o

angle theta avec direction de meilleure continuité : 33.7-22=11.7^o portée selon theta : (35*15)/(cos(11.7)²15²+sin(11.7)²35²)^0.5 = 32.18 A = C(h1-4) = 65(1-(1.5 18/32.18 – 0.5 (18/32.18)³)) = 16.15

B=18.597 par symétrie C=90

D=1 E=0 F=1

b) 90 - (0.366*36.285 +0.138*20.788 + ...-6.190) = 63.33 c) rien ne change

d) Les termes diagonaux en (1,1) et (2,2) deviennent 65+2*25 = 115 ppm², tout le reste demeure inchangé e) Les poids de krigeage sur les points 1 et 2 devraient diminuer et ceux sur les points 3 et 4 devraient

augmenter.

Q3-

v_A = 10 x 10 x 50 => 5000 m³ v_B = 10 x 30 x 30 => 9000 m³

Var (Z_vA) = 5 (1- F(50/50, 10/50)) = 5 (1- 0.5) = 2.5 Var (Z_vB) = 5 (1- F(10/50, 30/50)) = 5 (1- 0.46) = 2.7

Var(5/14 Z_vA+9/14Z_vB) = (5/14)² 2.5 + (9/14)² 2.7 = 1.43 %² (les covariances s,annulant car les chantiers A et B sont espacés d’une distance supérieure à la portée.

(15)

Q4- La variance d,estimation globale est donnée par D²(.|v)/n

D²(.|v) = C₀ + C₁ F(20/20, 10/20) + C₂ F(20/80, 10/80) = 5 + 40*0.55 + 20*0.15 = 30 ppm² et σ_eg² = 30/57 = 0.526 ppm²

Q5-

a) Var(Z(x)) = 0.3 + 4 = 4.3 %²

b) D²(.|v) = C₀ + C F(48/10) = 0.3 + 4 * 0.85 = 3.7 %² c) σ_v² = 4.3 – 3.7 = 0.6 %²

d) σ_ei² = C₀ + C E(1/10) = 0.3 + 4 * 0.025 =0.4 %²

eg2

σ = 0.4%² / 48 = 0.008

e) P(Z_bateau< 95 ) = P((Z_bateau – 95.5)/0.008^0.5 < (95-95.5)/0.008^0.5) = P(N(0,1) < -5.59) ≈0

Q6-

Modèle sphérique avec anisotropie géométrique. Portées principales a_g = a₉₀ = 100 m et a_p = a₀ = 50 m. Effet de pépite de C = 1 %² et composante sphérique avec C = 5 %².

Q7-

1-V, 2-V, 3-F, 4-F, 5-V, 6-V, 7-F, 8-F, 9-V, 10-F, 11- F, 12-V, 13-V, 14-V, 15-F, 16-V, 17-F, 18-V, 19-V, 20-F.

Q8-

On sait que l’on doit inclure le plus de variation possible dans le bloc pour que celui-ci soit moins variable, donc il faut orienter le long côté du bloc dans la direction où la variation est la plus rapide.

Soit v1 = 20 m x 10 m et v₂= 10 m x 20 m,

On calcule Var(Z_v1) = 60*(1-F(20/40, 10/20)) = 60 (1 – 0.38) = 37.2

Var(Z_v2) = 60*(1 – F(10/40, 20/20)) = 60 (1 – 0.48)) = 31.2, ce qui confirme l’énoncé précédent.

Le ratio est 31.2/37.2 = 0.84, donc on réduit de 16% la variabilité en changeant l’orientation des blocs.

(16)

2^e contrôle périodique - Automne 2009 Date : 6 novembre 2009

Heure : 12h45 à 15h15

Note : Toute documentation permise; calculatrice, programmable ou non, permise;

tout autre appareil électronique interdit

L’examen comprend 7 questions totalisant 100 points et réparties sur 9 pages.

Les questions valent dans l’ordre : 16, 14, 14, 15, 15, 16, et 10 points Vous répondez sur le questionnaire, utilisez le verso au besoin

(lettres carrées)

Signature : _______________________________________________

On a échantillonné un gisement de Cu exploité par bancs (mine à ciel ouvert) suivant une grille régulière de maille 5 m x 5 m. Les teneurs moyennes obtenues dans chaque forage, sur une petite partie de la mine, sont données dans la figure suivante (les teneurs sont en %) :

N

2 2 4 13

6 8 5

2 4 1 4

4 12 6 2

5 m

0

(17)

a) Calculez le variogramme expérimental dans la direction (azimut) 45^o (sans tolérance angulaire) et pour une distance de 10 2 m exactement. Indiquez les paires utilisées dans le calcul.

b) Supposons que, pour ce même gisement, vous ayez finalement retenu pour modèle théorique (2D) un variogramme sphérique avec C0=2%², C=8%² et une anisotropie géométrique dont les axes principaux sont respectivement selon les directions (azimut) 20^o (ag =140m) et 110^o (ap

=60m). Quelle serait la valeur du variogramme théorique pour deux points espacés de 30 m dans la direction est-ouest (i.e. 90^o)?

(18)

c) La zone exploitée quotidiennement sur un banc correspond à un bloc de dimension 40 m (selon la direction 20^o) x 10 m (selon 110^o). En utilisant le variogramme 2D de la question b), calculez la variance théorique de ces blocs. Indiquez clairement l’abaque utilisé.

d) Aurait-on intérêt à miner un bloc carré de même surface 400 m²sachant que le taux de rendement du concentrateur diminue lorsque la variabilité des teneurs quotidiennes augmente?

Justifiez avec l’abaque.

(19)

On veut effectuer un relevé bathymétrique dans un chenal de 100 m de large emprunté par un bateau chargeant le minerai d’une mine. Le variogramme montre un palier de 0.3 m², aucun effet de pépite, et des portées de 120 m longitudinalement et 50 m transversalement au chenal.

Utilisez les abaques pour déterminer lequel des deux patrons d’échantillonnage suivant (en pointillé) est le plus précis pour estimer la profondeur moyenne du fonds marin sur le rectangle de 100 m x 200 m représenté sur la figure suivante. Fournissez la variance d’estimation globale pour chaque cas et indiquez clairement l’abaque utilisé.

Patron longitudinal Patron transveral

0 50 100

0 50 100 150 200

Transversalement

Longitudinalement

0 50 100

0 50 100 150 200

Transversalement

Longitudinalement

(20)

On veut estimer le point x0 avec les points x1 à x4 (voir figure). Le variogramme est sphérique avec C0=3%², C=8%² et a=10m.

-5 0 5 10 15 20 25

0 5 10 15 20 25

x1

x2

x3 x4

x0

coord x

coord y

Les valeurs qui suivent peuvent vous être utiles

h C(h)

5 2.5

(50)^1/2 0.93

10 0

Construisez le système de krigeage ordinaire pour ce problème. Exprimez les équations du krigeage sous leur forme matricielle (ne pas résoudre).

(21)

Une mine de Cu veut connaître la teneur quotidienne de son minerai à l’entrée du concentrateur. Elle échantillonne la courroie à intervalles réguliers de 1 h à compter de la 30^e minute. On suppose que globalement l’échantillonnage est sans biais. La courroie se déplace à une vitesse constante dans le temps.

Le variogramme ponctuel, à partir d’échantillons du minerai sur la courroie et en fonction de l’écart de temps entre deux prélèvements, comporte un effet de pépite avec C₀= 0.5%² et deux composantes sphériques s’additionnant. La première composante a C₁= 3%² et a₁=2 h et la seconde composante a C₂=6%² et a₂=10 h. La figure suivante illustre le variogramme correspondant.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

∆ t en h γ ( ∆ t ) en %2

Quelle variance d’estimation de la teneur quotidienne entrant au concentrateur obtient-on avec cette procédure ?

(22)

La figure suivante montre trois zones différentes de surface S₁, S₂ et S₃ dans une zone d’une mine de Cu.

Les observations sont localisées uniquement pour deuz zones. On a 31 observations dans S₁ et 38 observations dans S₂. L’échantillonnage pour la zone S₁ est aléatoire stratifié sur une maille de 10 m x 10 m alors qu’il est sur une grille régulière de 10 m x 10 m pour la zone S₂. La variance d’estimation pour la teneur moyenne de la zone S₃, estimée avec des données se retrouvant uniquement dans S₃, vaut 0.1%² (calculée avec un programme de krigeage). Le variogramme est sphérique avec C0=0.5%², C=6%² et a=50m.

0 20 40 60 80 100 120

-20 0 20 40 60 80 100 120

S₁=3100

S₂=3800

S₃=1900

N

Quelle est la variance d’estimation pour la teneur moyenne de l’ensemble constitué des 3 zones?

(23)

Une carrière est utilisée pour produire du ciment. La carrière est exploitée simultanément en deux zones distinctes considérées indépendantes. Chaque zone fournit à la cimenterie une quantité égale de roche. Le volume total de roche acheminé quotidiennement à la cimenterie est de 1000 m³ (soit deux blocs de 10 m x 10 m x 5 m (en x,y,z; z la profondeur). Le variogramme ponctuel 3D du C3S (le principal constituant du ciment) est sphérique, anisotrope avec C0=2 %², C=90 %² et ahorizontal = 100 m et az = 10 m. On a le même variogramme dans chaque zone.

a) Quelle est la variance, sur une très longue période de temps, de la teneur quotidienne en C3S entrant à la cimenterie avec l’exploitation actuelle ?

La compagnie considère que la variance calculée en a) est trop élevée, ce qui réduit la qualité de son ciment. Elle évalue la possibilité d’utiliser une pile de pré-homogénéisation d’une capacité de 50000 m³. La pile est approvisionnée par la carrière de la même façon qu’actuellement, i.e. en exploitant les deuz zones indépendantes. On peut considérer que le volume de la pile de pré-homogénéisation représente à la carrière deux blocs indépendants (un dans chaque zone) chacun de 50 m x 50 m x 10 m (en x, y et z).

b) Que devient la variance, sur une très longue période de temps, de la teneur quotidienne en C3S entrant à la cimenterie en provenance de la pile de pré-homogénéisation ? (Aide : Vous pouvez considérer que la pile homogénéise parfaitement la teneur tant que l’on exploite une même pile)

(24)

On a un gisement 2D dont la direction préférentielle de la minéralisation est 22^o (azimut). Soit les 4 variogrammes expérimentaux suivants.

Décrivez le modèle de variogramme 2D (en spécifiant tous les paramètres du modèle), permettant un ajustement adéquat de ces variogrammes expérimentaux.

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

variogramme exp., dir:22

h (m)

g(h) (ppm^2)

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

h (m)

g(h) (ppm^2)

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

h (m)

g(h) (ppm^2)

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

expe. variogram, dir:167

h (m)

g(h) (ppm^2)

(25)

Corrigé 1-

a) Paires (0,6), (,2), (2,1), (2,4) => 57/8=7.125

b) Angle avec ag : 70; La portée selon est-ouest : 140*60/(60²cos²(70)+140²sin²(70))^0.5=63.09 m Valeur de gamma : 2%²+8%²(1.5*30/63.09-0.5*(30/63.09)³)=7.28 %²

c) Var(Zv)=8*(1-F2(40/140,10/60))= 8*(1-F2(0.29,0.17))=8(1-0.17)=6.64 %²

d) Oui, la variance de bloc diminue car les ratios deviennent moins égaux en raison de l’anisotropie (on passe de (40/120, 10/50) à (20/120, 20/50)) si l’on considère un bloc carré. Plus les ratios sont égaux, moins le facteur F est élevé (à produit constant) et donc plus la variance de bloc est grande.

2- Patron longitudinal :

E6(20/50,200/120) =>0.01, Variance globale : 0.3*0.01/5 = 0.0006 Patron transversal :

E6(20/120,100/50) =>.002, Variance globale < 0.3*0.002/10 = 0.00006

On doit adopter le patron transversal puisqu’il est 10 fois plus précis (en termes de variance d’estimation)

3-

























=

















































1 0 5 . 2

0 93 . 0

0 1 1 1 1

1 11 0 0 0

1 0 11 0 5 . 2

1 0 0 11 0

1 0 5 . 2 0 11

4 3 2 1

µ λ λ λ λ

4-

Variance d’estimation pour une heure :

C0+C1E4(1/2)+C2E4(1/10)=0.5+3*0.13+6*0.025=1.04%² Pour la journée : 1.04/24=.043%²

5- Pour S1 : D²(.|v)/31 => (0.5+6F2(10/50,10/50))/31=(0.5+6*0.16)/31 = 1.46/31=.047 %² Pour S2 : (C0+C E4(10/50))/38 => (0.5+6*0.075)/38 = 0.94/38 = 0.025 %²

Combiné : (3100*0.047 + 3800 *0.025 + 1900 *0.1)/(3100+3800+1900)²= 0.0152%²

6-

a) C(1-F3(5/10,10/100))/2 = 90*0.73/2=32.8%² b) C(1-F3(10/10,50/100) = 90* 0.39/2 = 17.6%²

(26)

Heure : 9h30 à 12h00

La question 2 vaut 25 points, la question 6 vaut 15 points, les autres valent 12 points Vous répondez sur le questionnaire, utilisez le verso au besoin

(lettres carrées)

Signature : _______________________________________________

Une veine d’or est recoupée par des forages. La veine est de faible épaisseur presque constante.

Les teneurs sont obtenues pour toute la longueur de l’intersection du forage avec la veine (cas 2D). On calcule le variogramme avec ces teneurs et on retient un modèle sphérique isotrope ayant une portée de 30m, un effet de pépite de 50ppm², un C=125ppm². Les forages ne sont pas sur une grille régulière mais leur disposition est telle qu’on retrouve en moyenne un forage par cellule de 20m x 10m et qu’on peut considérer l’emplacement du forage dans chaque cellule comme étant choisi au hasard.

Quelle est la variance d’estimation pour la teneur moyenne sur la zone étudiée si l’on dispose de 57 forages ?

(27)

Dans un gisement d’or, l’on veut estimer la teneur d’un bloc de 10m x 10m x 5m, dont le centre est en (0m,0m,0m), à l’aide des carottes de forage situées aux coordonnées données dans le tableau suivant :

Point Coordonnée x (m) Coordonnée y (m) Coordonnée z (m) Teneur (ppm)

x1 10 -10 5 3.2

x₂ -10 10 0 7.1

x₃ -2 5 10 8.1

x4 3 0 -5 1.2

Le variogramme (3D) des teneurs d’or des carottes est sphérique avec C₀=10ppm², C=35ppm² et une portée isotrope de 50m. Le système de krigeage est donné ci-après, sous forme matricielle et en plaçant les données dans l’ordre x1 à x4.

Kλ=k_v

Soit :

45 A 15.253 18.9814 1 .1832 19.4374

A 45 20.9287 17.702 1 B 20.2616

15.253 20.9287 45 18.2262 1 .2230 = 22.6788

18.9814 17.702 18.2262 E 1 .4084 27.7286

1 1 1 1 C -1.4731 D

On a effectué le produit λ’k_v et trouvé 22.2259

a) Substituez aux lettres A à E les valeurs appropriées

b) Calculez la variance de krigeage (i.e. Var(Zv – Zv*

))

(28)

Question 2 (suite et fin) c) Que vaut Var(Zv*) ?

d) Quelle aurait été la variance d’estimation si l’on avait estimé le bloc Zv par krigeage ordinaire en utilisant uniquement le point le plus proche, soit x4?

e) Si la teneur observée au point x4 avait été 3.6 ppm au lieu de 1.2 ppm, quelle aurait été alors la variance d’estimation?

(29)

10 2. La figure suivante montre l’épaisseur d’une veine mesurée en certains points.

Quelle est la valeur du variogramme expérimental dans la direction 90^o (azimut) pour la distance h=20m(tolérance angulaire de 0 et tolérance sur la distance de 0)? Indiquez clairement toutes les paires considérées dans votre calcul ainsi que les unités du résultat.

-10 0 10 20 30 40 50

1

7

19 24

24

0 28

13

24 21

11

3

Épaisseur (m) d'une veine minéralisée

Coordonnée x (m)

Coordonnée y (m)

N

(30)

Un ingénieur géologue dispose de valeurs estimées de teneurs de Cu pour des blocs de 20m x 20m x 10m. La méthode par laquelle ces estimés ont été obtenus est inconnue mais il la croit précise et il n’exclut pas qu’il puisse s’agir de krigeage. Les statistiques élémentaires calculées sur cet estimateur ainsi que sur l’ensemble des données (ponctuelles) du gisement donnent les résultats suivants :

Statistique Données ponctuelles Valeurs estimées pour les blocs

Moyenne 1% 1%

Variance 5%² 3.8%²

Minimum 0% 0%

Maximum 9% 7%

Le gisement est grand et homogène, les données ponctuelles montrent un variogramme sphérique (3D) avec C0=1%², C=4%² et a=50m.

L’ingénieur géologue a-t-il raison d’utiliser les valeurs estimées pour sélectionner les blocs à traiter au concentrateur ? Justifiez par un argument de nature géostatistique. (Aide : Quelle est la variance des teneurs réelles des blocs? Comparez avec la variance des valeurs estimées.

Qu’est-ce que ceci implique?)

(31)

L’exploitant d’une carrière est préoccupé par la variabilité à petite échelle (temporelle) de la composition chimique du calcaire qu’il destine à la cimenterie. Plus spécifiquement, il trouve que les valeurs en C3S minées quotidiennement varient trop d’une journée à l’autre, au cours d’une même semaine. Durant cette semaine, il exploite un bloc de 27783t soit, à une densité de 3t/m3, un bloc de 147m x 21m x 3m (en x,y et z). Lorsque le roc est sauté on considère, pour simplifier le problème, que celui-ci reste approximativement en place. Le gisement montre un variogramme sphérique (3D; données quasi-ponctuelles) avec C0=500%², C=2000%²et une portée isotrope de 30m. La pelle peut charger les camions soit en se déplaçant perpendiculairement au tas de roche, soit en se déplaçant parallèlement. On suppose que le coût d’exploitation est le même dans les deux cas.

Schématiquement, vu en plan (l’épaisseur est de 3m):

Déplacement perpendiculaire :

Déplacement parallèle :

Quel déplacement de la pelle recommanderiez-vous pour minimiser la variabilité de la teneur quotidienne en C3S? Justifiez par un argument géostatistique et illustrez par un calcul approprié.

(Note : Les dessins précédents ne sont pas à l’échelle) 21 m

21 m

147 m

21 m

147 m 3 m

(32)

Soit un échantillonnage par cannelures effectué dans la face d’une galerie (voir figure) d’une mine d’or. Chaque cannelure fait 6 m de long et les cannelures sont espacées de 2 m. La face de la galerie fait 6 m x 6 m. Le variogramme ponctuel est sphérique avec C0=0 ppm² et C=70ppm². La portée est de 10 m.

0 2 4 6

0 1 2 3 4 5 6

x (m)

y (m)

a) Quelle est la variance d’estimation si l’on estime la teneur de la face par la moyenne des teneurs des trois cannelures?

b) Supposant la teneur de la face connue, quelle serait la variance d’estimation obtenue en étendant la teneur de la face à 5 m de part et d’autre de celle-ci?

(33)

On a un gisement 2D dont la direction préférentielle de la minéralisation est 22^o (azimut). Soit les 4 variogrammes expérimentaux suivants.

Décrivez le modèle de variogramme (en spécifiant tous les paramètres du modèle), permettant un ajustement adéquat de ces variogrammes expérimentaux.

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

h (m)

g(h) (ppm^2)

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

h (m)

g(h) (ppm^2)

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

h (m)

g(h) (ppm^2)

0 20 40 60 80 100

0 200 400 600 800 1000

expe. variogram, dir:167

h (m)

g(h) (ppm^2)

(34)

Corrigé

Q1- On utilise l’approximation de la variance d’estimation globale en se basant sur la variance de dispersion puisqu’on a un point par cellule placé de façon aléatoire.

D²(.|v)=c0+c*F(20/30,10/30)=50+125*(.375)=96.88

Comme on a 57 forages, la variance d’estimation globale sera : 96.88/57=1.7ppm².

Q2- a) A : h1-2=(20²+20²+5²)^0.5=28.7228

C(h12)=35*(1-(1.5*28.7228/50-0.5*(28.7228/50)³))=8.1585

A : 8.15853 B : 0.1854 C : 0 D : 1 E : 45

b) Variance de bloc : 35*(1-F(5/50,10/50))=35*(1-.165)=29.225 ppm² La variance de krigeage est donc : 29.225-λ’kv= 6.999ppm²

c) La variance de l’estimateur est : Var(Zv)-σk2-2µ=29.225-6.999+2*(1.4731)=25.1722 ppm² d) Var(Zv)+Var(Z4)-2Cov(Zv,Z4)=29.225+45-2*27.7286=18.768

e) Inchangée. La variance d’estimation ne dépend pas des valeurs observées.

Q3- 1/(2*4)[(0-28)²+(24-24)²+(19-24)²+(7-24)²]=137.25 m²

Q4- Non, il a tort. La variance de blocs est : 4*(1-F(10/50,20/50))=4*(1-0.33)=2.64%²

La variance des valeurs estimées est largement supérieure à la variance de blocs, ce qui implique que l’estimateur utilisé montre un biais conditionnel assez important (et que l’estimateur n’est pas un krigeage). La conséquence sera une surestimation des ressources par rapport au résultat réel de l’exploitation.

Q5- On cherche à minimiser D²(v|V) où v représente le bloc correspondant au chargement d’une journée et V représente le volume miné durant la semaine. Ce terme est fixe pour les 2 cas, on n’a donc pas besoin de le calculer.

Dans une journée, on mine :

(35)

Si la pelle se déplace perpendiculairement, on exploitera dans une journée un bloc de 21m x 21m x 3m. La variance de bloc est alors : 2000%²*(1-F(3/30,21/30))=2000*(1-.51)=980%²

Si la pelle se déplace parallèlement, on chargera un bloc de 147m *3m*3m alors : 2000%²*(1-F(147/30,3/30))=2000*(1-.86)=280%²

De toute évidence, il faut que la pelle se déplace parallèlement au tas de roche.

Q6- a) Pour un rectangle, on a : Abaque Fig. 6 à (2/10,6/10)=0.003; Var(e)=70*0.003/3=0.07ppm²

b) Cette situation correspond à l’estimation d’un bloc de 6m x 6m x 10m à l’aide de sa section centrale.

Abaque Fig. 7 à (10/10,6/10)=0.08*70=5.6ppm²

Q7- Modèle sphérique C0=200 ; C=600 ; anisotropie géométrique, ellipse orientée à 22^o, ag=80 ; ap=30

(36)

Heure : 14h45 à 17h15

La question 4 vaut 10 points, les autres 15 points Vous répondez sur le questionnaire, utilisez le verso au besoin

(lettres carrées)

Signature : _______________________________________________

Une mine de Cu veut connaître la teneur quotidienne de son minerai à l’entrée du concentrateur. Elle échantillonne la courroie à intervalles réguliers de 1 h à compter de la 30^e minute. On suppose que globalement l’échantillonnage est sans biais. Le variogramme ponctuel comporte un effet de pépite C₀=0.05%² et deux composantes sphériques s’additionnant, la première composante avec C₁=6%² et a1=10h et la seconde avec C2=3%² et a2=2h.

Quelle variance d’estimation de la teneur quotidienne entrant au concentrateur obtient-on avec cette procédure ?

(37)

On vous présente les six profils suivants obtenus par krigeage ordinaire avec des modèles différents et en utilisant les observations indiquées par des ∆.

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20A)

Z(x)

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20B)

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20C)

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20D)

Z(x)

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20E)

Coord. x

0 20 40 60 80 100

0 5 10 15 20F)

a) Associez à chaque modèle de variogramme le profil de krigeage correspondant (A à F).

Modèle Figure

Sphérique C₀/C = 0 , a=50 Sphérique C₀/C = 0.1 , a=50 Sphérique C₀/C = 1.0, a=50 Gaussien C₀/C = 0 , a_effectif =50 Gaussien C0/C = 0.1 , aeffectif=50 Gaussien C0/C = 1.0 , aeffectif=50

b) À la question précédente, seul le ratio C0/C est fourni au lieu des valeurs séparées de C0 et C. Qu’est- ce qui change dans le krigeage si le ratio C0/C=1 est obtenu avec C0=10,C=10 plutôt que C0=5 et C=5?

(38)

Soit le diagramme suivant montrant l’emplacement de quatre données (x₁ à x₄) où l’on a mesuré la teneur en Fe. On désire effectuer un krigeage ordinaire au point x0 situé en (0,0). Le variogramme est sphérique et isotrope. La portée est de 30m. L’effet de pépite est de 5%², le « C » du sphérique est de 50%² (palier total 55%²).

-40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40

-10 0 10 20

30

Plan de localisation

Coord. x (m)

C oo rd . y (m )

x

₁

x

₂

x

₃

x

₄

x

₀

a) Fournissez, sous forme matricielle, les équations du krigeage ordinaire du point x0 avec les points x1 à x4. Ne solutionnez pas ce système d’équations.

b) Quelle serait la covariance entre les teneurs aux points x3 et x0 si l’on avait plutôt un modèle sphérique anisotrope avec ax=30m et ay=50m (C0 et C inchangés) ?

(39)

c) Si l’on effectuait l’estimation uniquement avec le point x4, quelle serait la variance de krigeage obtenue?

d) Si l’on effectue le krigeage sur une grille très serrée en utilisant à chaque fois uniquement l’observation la plus proche, à quelle méthode d’estimation correspondrait alors la surface krigée ?

La figure suivante montre l’épaisseur d’une veine mesurée en certains points.

Quelle est la valeur du variogramme expérimental dans la direction 135^o (azimut) pour la distance h=20m* 2(tolérance angulaire de 0.1^o et tolérance sur la distance de ±1m)?

-10 0 10 20 30 40 50

1

7

19 24

24

0 28

13

24 21

11 3

Épaisseur (m) d'une veine minéralisée

Coordonnée x (m)

Coordonnée y (m)

N

(40)

La figure suivante montre trois zones différentes dans une portion de mine de Cu. Les observations sont indiquées uniquement pour les deuz zones à l’Ouest (31 observations dans S₁ et 38 observations dans S₂).

Les surfaces sont indiquées. Vous pouvez considérer que l’échantillonnage pour la zone S₁ est aléatoire stratifié sur une maille de 10 m alors qu’il est sur une grille régulière pour la zone S₂. La variance d’estimation pour la teneur moyenne de la zone S₃, estimée avec des données se retrouvant uniquement dans S3, vaut 0.1%² (calculée avec un programme de krigeage). Le variogramme est sphérique avec C₀=0.5%², C=6%² et a=50m.

0 20 40 60 80 100 120

-20 0 20 40 60 80 100 120

S

₁

=3100

S

₂

=3800

S

₃

=1900

N

Quelle est la variance d’estimation globale pour l’ensemble des trois zones?

(41)

Une carrière est utilisée pour produire du ciment. La carrière est exploitée simultanément en deux zones distinctes considérées indépendantes. Chaque zone nourrit simultanément la cimenterie en quantité égale de roche. Le volume total de roche acheminé quotidiennement à la cimenterie est de 1000 m³ (soit environ, à la carrière, deux blocs de 10m x10m x 5m (en x,y,z; z la profondeur). Le variogramme ponctuel du C3S (le principal constituant du ciment) est sphérique, anisotrope avec C₀=2%², C=90%² et a_horizontal=100m et avertical=10m. On a le même variogramme dans chaque zone.

a) Quelle est la variance, sur une très longue période de temps, de la teneur quotidienne en C3S entrant à la cimenterie avec l’exploitation actuelle ?

La compagnie considère que la variance calculée en a) est trop élevée, ce qui réduit la qualité de son ciment. Elle évalue la possibilité d’utiliser une pile de pré-homogénéisation d’une capacité de 25000 m³, la pile étant approvisionnée par la carrière de la même façon que la cimenterie l’est actuellement. On peut donc considérer que le volume de la pile de pré-homogénéisation représente à la carrière deux blocs indépendants de 50m x 50m x 5m.

b) Que devient la variance sur une très longue période de temps de la teneur quotidienne en C3S entrant à la cimenterie ?

(42)

. Un gisement de Cu est exploité à ciel ouvert. Chaque bloc de 10m x 10m x 10m du gisement est sélectionné selon la valeur krigée obtenue pour le bloc à partir des teneurs mesurées sur les trous de sautage. L’étude variographique a permis d’obtenir un modèle de la continuité spatiale des teneurs de Cu qui a été utilisé pour calculer la variance de dispersion des blocs (2%²) ainsi que la variance de krigeage des blocs (0.5%²), le multiplicateur de Lagrange est négligeable. On estime la teneur moyenne du gisement à 1.4% Cu. La distribution des teneurs est bien décrite par une loi lognormale. Le tonnage total (à une teneur de coupure nulle) du gisement est de 100Mt. Une analyse économique a permis de définir la teneur de coupure comme étant 0.9% Cu.

a) Quelle sera la teneur moyenne du minerai envoyé au concentrateur durant la durée de vie de la mine si la sélection se fait sur les teneurs krigées avec les trous de sautage ?

b) Quelle propriété du krigeage permet de répondre avec confiance à la question précédente ?