O2 - Optimisation – Multiplicateur de Lagrange
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OPTIMISATION
1MULTIPLICATEUR DE LAGRANGE
Résolution par la méthode du lagrangien Optimiser , , = −− ²
Sous la contrainte ℎ, = 3 + 4 = 25 Formation du lagrangien
ℒ, , $ = −− − $3 + 4 − 25 ℒ, , $ = −− − 3$ − 4$ + 25$
Optimisation de ℒ, , $
On va alors chercher les points stationnaires ∗, ∗, $∗ tels que :
&ℒ∗, ∗, $∗ = 0,0,0
( ℒ′*∗, ∗, $∗ = −2∗ − 3$∗ = 0 ℒ′+∗, ∗, $∗ = −2∗ − 4$∗ = 0
ℒ′,∗, ∗, $∗ = −−3∗ + 4∗− 25 = 0 ⇔ .∗ = −3 2 $∗ ∗ = −4
2 $∗
Avec ∗ et ∗ dans la 3ème équation, on a :
− /3 0−3
2 $∗1 + 4 0−4
2 $∗1 − 252 = 0
⇔ − 0−9
2 $∗ − 8$∗ − 251 = 0
⇔ $∗ = −2
On reporte la valeur de $∗ dans les 2 premières expressions, on retrouve : ∗ = −3
2 × −2 = 3 ∗ = −4
2 × −2 = 4
Donc ∗, ∗, $∗ = 3, −4, −2 est le seul point stationnaire du lagrangien et donc ∗, ∗ = 3,4 est le seul point extrémal.
