Nom de l’étudiant : ________________________________________ Matricule : ____________
(lettres carrées)
Signature : _______________________________________________
Question 1 (10 points)
Dans une mine 2D de Cu, un géologue vous dit qu’il a observé les faits suivants :
• Il a prélevé plusieurs échantillons de même taille côte à côte et il a obtenu, pour ces échantillons voisins, une différence carré des teneurs égale, en moyenne, à 2%2.
• Selon son expérience, la zone d’influence d’un échantillon est de l’ordre de 70m dans la direction est-ouest. Il affirme que cette zone d’influence est approximativement deux fois plus courte dans la direction nord-sud. La direction est-ouest correspond à l’orientation générale des fractures dans le gisement.
• Il a calculé une variance de 10%2 pour la teneur en Cu avec l’ensemble des échantillons couvrant une très grande surface par rapport à la zone d’influence d’un échantillon.
Suggérez un modèle de variogramme (type et paramètres) pouvant tenir compte de ces informations.
Question 2 (20 points)
Un gisement de Zn présente un variogramme sphérique (2D) avec effet de pépite de 4 %2, C=20%2 et des portées suivant les différentes directions décrites par un modèle d’anisotropie géométrique avec les axes principaux en « x » et « y » et ax=10m et ay=20m. On désire estimer la teneur au point x0 (situé en (0,0)) en se servant des teneurs mesurées aux points x1 à x3. Les coordonnées des points x1 à x3 sont respectivement (-10,0), (0,20) et (5,22). On a observé à ces points les teneurs respectivement Z1=2%, Z2=3.3% et Z3=3%.
a) Fournissez, sous forme matricielle, les équations permettant d’obtenir les poids pour les points x1 à x3
garantissant une variance d’estimation (théorique) minimale. Ne solutionnez pas ce système d’équations.
b) Toujours avec le même objectif qu’à la question a), si l’on avait observé 10% Zn au point x3 au lieu de 3% Zn, de quelle façon ceci affecterait-il les poids obtenus en a) ?
c) Si au lieu d’avoir C0=4%2 et C=20%2, on avait plutôt C0=8%2 et C=40%2, comment ceci affecterait-il les poids de krigeage et la variance de krigeage?
Question 3 (20 points)
Soit les deux modèles de variogramme présentés sur la figure suivante.
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
h (m) γ(h)
Modele A Modele B
Indiquez pour les questions a) à d) ci-contre si les deux modèles fournissent des réponses semblables ou non. Justifiez et discutez. Si vous prévoyez une différence, dans quel sens celle-ci devrait se manifester ? Répondez sans faire de calculs.
a) La variance d’un krigeage ponctuel où tous les points sont à l’intérieur d’un rayon de 40m du point que l’on cherche à estimer.
b) La variance de blocs pour un bloc de 20m x 20m ?
c) La variance de dispersion pour un bloc de 10m x 10m dans un bloc 40m x 40m ?
Question 4 (10 points)
Soit la disposition de points Zi et le modèle de covariance présenté à la figure suivante (deux points consécutifs sur une même ligne sont espacés de a/20.5) :
a
On forme une nouvelle variable aléatoire W avec l’expression suivante :
∑
=
« ic » sont respectivement les indices de ligne et de colonne décrivant la position de la iième donnée sur la figure précédente. On calcule la variance théorique de W avec ce modèle :
6074
Considérant ce dernier résultat, que peut-on dire du modèle de covariance?
Question 5 (20 points)
La figure suivante montre l’emplacement des échantillons pour une portion d’une mine de zinc. On distingue quatre zones et 3 patrons d’échantillonnage différents (pour les zones nord-ouest et sud-est, vous pouvez considérer que l’échantillonnage est aléatoire stratifié avec un échantillon par cellule). Les teneurs (%Zn) sont mesurées sur des épaisseurs constantes de 5m correspondant à l’épaisseur des bancs de la mine et servent à calculer le variogramme 2D des teneurs de Zn.
Quelle est la variance d’estimation de la teneur moyenne en Zn pour l’ensemble de la zone si le variogramme est sphérique isotrope avec C0=6%2, C=30%2 et a=25m ?
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90
100 Portion de la mine de Zn
Coordonnee x (m)
Coordonnee y (m)Coordonnée y (m)
Question 6 (10 points)
Dans un certain gisement d'or exploité à ciel ouvert, la teneur quotidienne varie beaucoup. Comme les ajustements majeurs au concentrateur sont faits à chaque semaine, la mine vit un problème de mauvaise récupération due à cette variabilité. Pour atténuer le problème, l’ingénieur suggère d’utiliser une pile de pré-homogénéisation (disposition en fines couches horizontales reprises verticalement). Le volume de la pile correspond à la capacité du concentrateur pour une semaine, soit 20Kt. Le bloc miné durant la semaine fait 35m x 35m x 5m. À chaque jour, on mine un bloc de 35m x 5m x 5m. Le variogramme 3D a été obtenu à partir de carottes de forage que l’on peut considérer comme ponctuelles. Le modèle choisi est isotrope et de type sphérique avec C0=100ppm2, C=500ppm2 et a=25m.
a) Quelle est la variance, sur une semaine, de la teneur quotidienne entrant au concentrateurlorsqu’on utilise la pile de pré-homogénéisation ?
b) Quelle est la variance de la teneur quotidienne sur une très longue période de temps (toujours avec la pile) ?
Question 7 (10 points)
Dans un krigeage ponctuel,
a) Est-il possible d’avoir les poids λi, i=1...n, de krigeage simple tous égaux à zéro? Si oui, indiquez dans quelle situation. Si non, dites pourquoi.
b) Est-il possible d’avoir les poids λi, i=1...n, de krigeage ordinaire tous égaux à zéro? Si oui, indiquez dans quelle situation. Si non, dites pourquoi.
Corrigé
1- Variogramme sphérique ou exponentiel avec anisotropie géométrique, portée principale selon est-ouest de 70m, portée la plus petite de 35m selon nord-sud, C0=0.5*2%2=1%2, C=10-1=9%2
2- a) Cov(Z1Z2)=0 car hx=ax
Cov(Z1,Z3)=0 car hy>ay
Cov(Z2,Z3) -> direction : azimut=atan((5-0)/(22-20))=68.20
portée dans cette direction : 20*10/((20sin68.2)2+(10*cos(68.2))2)0.5=10.56 h entre les deux points : (52+22)0.5=5.385
b) Rien ne change, les poids du KO ne dépendent pas es teneurs.
c) Les poids du KO demeurent inchangés car on a les mêmes portées et le même ratio C0/C. La variance de krigeage (et le multiplicateur de Lagrange) est multipliée par 2.
3- a) très semblable car jusqu’à 40m, les deux modèles fournissent les mêmes valeurs du variogramme. Ce sont les seules distances qui apparaîtront dans le krigeage.
b) Elle sera plus grande avec le modèle B que le A. Ce modèle indique une plus grande variance ponctuelle que l’on retrouvera aussi au niveau des blocs.
c) Les termes γ ne mettent en jeu que des distances inférieures à 40m, jusqu’à cette distance les deux modèles sont très semblables. On aura donc des résultats très semblables aussi pour les γ et donc pour les variances de dispersion.
d) Même réponse qu’en c)
4- Comme on vient de trouver une combinaison linéaire avec une variance théorique négative, on doit conclure que le modèle de covariance utilisé n’est pas un modèle admissible en 2D (cependant il l’est en 1D)
5- Il faut calculer la variance d’estimation pour chaque zone séparément puis les combiner en fonction du carré des surfaces.
pour une cellule pour la zone sud-ouest à 5/25
(abaque fig. 4)->
0.073
.073*30+6=8.19 8.19/64=0.13 1600m2
sud-est et nord-ouest
à (10/25, 10/25) (abaque fig.
2)->0.31
.31*30+6=15.3 15.3/48=0.319 2*2400m2
nord-est à 10/25
(abaque fig.
4)->0.13
.13*30+6=9.9 9.9/36=0.28 3600m2
Globalement :[ .13*16002+.319*48002+.28*36002] / (100002)=.113%2 6-
a) Presque nulle. Tant que l’on est dans la pile, on voit très peu de variabilité d’une tranche verticale à l’autre.
b) Il suffit de calculer la variance de bloc de la taille de la production hebdomadaire : Fig. 3, C(1-F(5/25,35/25))
=500*(1-0.8)= 100 ppm2
7- a) Oui, si tous les points disponibles sont à une distance supérieure à la portée du point à estimer.
(indépendamment de la distance des points données entre eux).
b) non. La contraint somme des poids =1 l’empêche.