EPFL
Probabilit´es et Statistique pour Informatique et Communications, 2010–2011, Semestre 2.
Probabilit´ es et statistique : Examen 27 juin 2011
Nom : Pr´enom : No. SCIPER :
Exercice Points 1
2 3 4 5 Total :
REMARQUES:
- Aucun document personnel n’est autoris´e.
- Les calculatrices simples sont permises.
- Merci d’´ecrire vos r´eponses directement sur les feuilles d’examens; si vous manquez de place, utiliser les feuilles vides se trouvant `a la fin de l’examen. Aucune feuille suppl´ementaire ne sera accept´ee!
1. (i) On dispose de 6 boules dont 3 sont rouges. On tire 4 boules sans remise. Quelle est la probabilit´e de tirer 2 boules rouges ?
(ii) Donner la m´ediane de la densit´e 3e−3x, x >0.
(iii) Donner la probabilit´e que toutes les faces sup´erieures montrent le mˆeme chiffre si je jette six d´es ´equilibr´es et ind´ependants.
(iv) Donnez la valeur de t telle que P(X < t) = 0.90 sachant que X est une variable al´eatoire de Student `a 20 degr´es de libert´e.
(v) Trouver la fonction de densit´e de Y = log(X) o`uX ∼exp(1).
(vi) SoientX1, X2, X3
iid∼ N(0,1), quelle est la loi de X1+X2−3X3?
(vii) Trouver la probabilit´e qu’une variable al´eatoire de loiN(1,2) se trouve entre ses 0.15 et 0.95 quantiles.
(viii) SoientX, Y iid∼ exp(λ). Trouver la loi de Z = min(X, Y) et la reconnaˆıtre.
(ix) SoientX1, X2
iid∼ exp(2), donner la fonction g´en´eratrice des moments deX1− 4X2.
(x) L’intervalle de confiance au niveau 95% de l’esp´erance d’une distribution est [−1.2,2.3]. Expliquer ce que cela signifie.
2. Quand un essai m´edical mesurant une certaine quantit´e biophysique est administr´e
`a la population, le r´esultat est une variable al´eatoire N(µ, σ2). Si votre mesure a un ´ecart de 2σ par rapport `a µ, vous ˆetes diagnostiqu´e en tant qu’anormal et ˆetes envoy´e pour d’autres analyses.
(a) Quelle est la probabilit´e qu’un essai indique que vous ˆetes anormal ?
(b) Supposez que vous subissez une suite denessais avec des r´esultats ind´ependants.
(i) Quelle est la probabilit´e que vous soyiez d´eclar´e anormal pour la premi`ere fois au ki`eme essai, pour k = 1,2, . . . , n?
(ii) Vous ˆetes d´eclar´e anormal si au moins un des n essais vous d´eclare anormal. Combien devrait valoir n pour que vous ayiez plus de 50% de chance d’ˆetre d´eclar´e anormal ?
3. Un message de longueur n bits est envoy´e par trois routes distinctes. Tout le message est envoy´e par chaque route, mais chaque bit est corrompu avec une probabilit´e de p > 0 : sa valeur b = 0 ou b = 1 devient 1−b avec probabilit´e p, ind´ependamment pour chaque route et chaque bit.
(a) Trouver la probabilit´e qu’au moins un des trois messages re¸cus soit erron´e.
(b) A sa destination, le message est reconstruit `a partir des trois messages re¸cus par votation par majorit´e : ind´ependamment pour chaque bit, on retient 0 si au moins deux des copies ont 0 pour ce bit, et sinon on retient 1. Par exemple,
`a partir des trois mots re¸cus 111, 011 et 110, on reconstruit la message 111 (qui n’est pas n´ecessairement le message envoy´e).
Trouver la probabilit´e Pn que le message soit reconstruit correctement.
(c) Trouver la limite dePn quand n → ∞et np→λ >0. Discuter.
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4. Soit X une variable al´eatoire de loi binomiale de param`etres n et θ : P(X =x) =
n x
θx(1−θ)n−x, x= 0,1, . . . , n, 0< θ <1.
(a) Montrer que l’estimateur de maximum de vraisemblance deθ obtenu `a partir d’un ´echantillon x1, . . . , xk est ˆθ= (nk)−1Pk
i=1xi.
(b) 100 ´etudiants passent un test compos´e de six questions, auxquelles ils r´epondent ind´ependamment. Il faut 3 points pour r´eussir l’examen. Une r´eponse correcte donne un point et une r´eponse incorrecte donne zero point. Pour chaque ques- tion, la r´eponse correcte est trouv´ee avec la probabilit´e θ. Les notes de 15
´etudiants sont
2 3 2 4 0 5 1 2 3 3 5 2 3 2 3
Donner l’estimation du maximum de vraisemblance deθbas´ee sur ces donn´ees et un intervalle de confiance `a 95% de θ.
(c) Utiliser votre estimateur de θ pour estimer, parmi les ´etudiants restants, combien ont r´eussi l’examen.
5. Chaque matin je prends le train pour aller au travail. Ces deux derni`eres semaines, le train est parti avec les retards (en secondes) suivants :
0 0 15 30 45 60 0 30 120 60
(a) Sous l’hypoth`ese de normalit´e, trouver un intervalle de confiance bilat´erale `a 95% pour le retard moyen.
(b) Le chef de gare aimerait dire qu’un depart `a l’heure est dans les normes. A-t-il raison, selon vous ?
(c) Il y a eu une erreur quand le dernier chiffre de 60 a ´et´e not´e : le vrai retard
´etait de 600 secondes. Avec ce changement, le chef de gare est satisfait car selon lui un delai de 0 seconde est dans l’intervalle de confiance `a 95%. A-t-il raison ? Discuter.
(d) Le mod`ele vous paraˆıt-il cr´edible ? Sinon sugg´erer en un meilleur.
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