Exercice 2 – Soient A

Université Bordeaux 1 MHT631 – Licence

Mathématiques Année 2010–2011

FEUILLE D’EXERCICES n^o6 Pivot de Gauss – Décomposition LU

Exercice 1 – Soient A=





1 4 7 2 5 8 3 6 10



 etB =



 1 3 5



.

1) Résoudre AX=B.

2) Décomposer A sous formeLU. 3) Calculer detA et déterminer A⁻¹.

Exercice 2 – Soient A=





1 4 7 2 8 8 3 6 10



 etB =



 1 3 5



.

1) Résoudre AX=B.

2) Trouver une permutationσ ∈S₃ telle queP_σA se décompose sous formeLU. Expliciter cette décomposition.

3) Calculer detA et déterminer A⁻¹.

Exercice 3 – Soit A=









1 −1 2 −1 2 −2 3 −3 1 1 1 0 1 −1 4 3







 .

1) Trouver une permutationσ ∈S₄ telle queP_σA se décompose sous formeLU. Expliciter cette décomposition.

2) Calculer detA et déterminer A⁻¹.

Exercice 4–(Preuve du théorème principal) – SoitA∈GL_n(K). On veut prouver qu’il existe σ∈S_n,Ltriangulaire inférieure dont les éléments diagonaux valent 1 etU triangulaire supérieure telles que

PσA=LU.

1) Montrer que si a₁₁= 0 il existe i >1 tel que a_i1 6= 0.

2) En déduire qu’il existe une permutation σ1 ∈ Sn (en fait l’identité ou une transposition (1, i)avec 1< i6n) et une matrice triangulaire inférieure L⁰₁ dont les termes diagonaux valent 1 et dont les termes non diagonaux sont nuls s’ils n’appartiennent pas à la colonne1, telles queB₁ =L⁰₁P_σ1Aait tous les termes de sa colonne 1 nuls à l’exception du premier.

3) Montrer en notant B1 = B pour simplifier, que si b22 = 0, il existe i > 2 tel que b_i2 6= 0.

4) En déduire qu’il existe une permutation σ₂ ∈ S_n (en fait l’identité ou une transposition (2, i)avec 2< i6n) et une matrice triangulaire inférieure L⁰₂ dont les termes diagonaux valent 1 et dont les termes non diagonaux sont nuls s’ils n’appartiennent pas à la colonne 2, telles queB₂ =L⁰₂P_σ2B₁ ait tous les termes de sa colonne 1 nuls à l’exception du premier et tous les termes de sa colonne 2 nuls à l’exception du deuxième et éventuellement du premier.

5)Montrer qu’en poursuivant cette construction, on arrive une égalité de la forme L⁰_n−1Pσn−1L⁰_n−2Pσn−2· · ·L⁰₁Pσ1A=U,

où U est triangulaire supérieure à éléments diagonaux non nuls, où chaque σ_i et soit l’identité soit une transposition, et où chaque L⁰_i est une matrice triangu- laire inférieure dont les éléments diagonaux valent 1 et dont tous les termes non diagonaux sont nuls s’ils n’appartiennent pas à la colonne i.

6)Montrer que pour une telle matriceL⁰_i, siσ est l’identité ou une transposition, la matrice P_σL⁰_iP_σ est de la même forme que L⁰_i.

7) En déduire que

L⁰_n−1P_σn−1L⁰_n−2P_σn−2· · ·L⁰₁P_σ1 =L⁰⁰_n−1L⁰⁰_n−2· · ·L⁰⁰₁P_σ,

où σ ∈ S_n et où chaque L⁰⁰_i est une matrice triangulaire inférieure dont les élé- ments diagonaux valent 1 et dont tous les termes non diagonaux sont nuls s’ils n’appartiennent pas à la colonne i.

8) En déduire le théorème.

9) Montrer enfin que pour P_σ donnée, le couple(L, U) est unique.

Exercice 5 – (Décomposition LU pure) – Montrer que A ∈ GL_n(K) se décompose sous la forme LU si et seulement si toutes les sous-matrices A^(k) (matrice de M_k,k(K) obtenues en ne gardant de A que les coefficients a_ij avec 16i, j 6k) sont inversibles pour 16k6n et que dans ce cas, on a

U_kk = detA^(k) detA^(k−1) pour tout 16k 6n (avec la notation detA⁽⁰⁾ = 1).

Exercice 6 – (Matrices symétriques et décomposition LU) –

1) Montrer que si A ∈GL_n(R) est symétrique et si A admet une décomposition LU, alors il existe D matrice diagonale réelle telle que A=LDL^t.

2) Monter que A ∈ M_n,n(R) est symétrique définie positive si et seulement s’il existe D matrice diagonale réelle à termes diagonaux > 0et L triangulaire infé- rieure à éléments diagonaux valant 1, telles que A =LDL^t.