Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Tronc commun, semestre 3
2. Matrices
Exercice 1 — ´Ecrire la matrice A= (aij) sachant queA est de taille 3×5 etaij =i+j−1.
Exercice 2 — Soit A=
1 2 0 2 1 4 3 1 2
, B =
3 1 2 0 2 1
, C =
0 1 2 1 0 2 1 3 2
, D=
1 0 2 4 3 1
.
Effectuer tous les produits et sommes deux `a deux compatibles de ces matrices.
Exercice 3 — D´eterminer le rang des matrices suivantes.
4 3 2 1
1 2 0 0 2 4
2 1 −1 1 0 −1 3 2 −1
1 1 0 1
3 2 −1 3
a 3 −2 0
−1 0 −4 3
1 2 −1 2
5 1 2 3
−1 3 5 1
0 1 2 3
Exercice 4 — On consid`ere les matrices
A=
1 5 −3 2 3 −2 −1 −2
, B =
2 6
3 −1
4 5
2 7
, I2 =
1 0 0 1
.
(1) Comparer AB etBA.
(2) Quelles lignes et colonnes de A etB faut-il multiplier pour obtenir (a) la premi`ere ligne du produitAB ?
(b) la troisi`eme colonne du produitBA? (3) CalculerBI2. En d´eduireB
0 1
puisB 1
0
. (4) CalculerB
2 3
et enfinB
0 2 1 3
.
Exercice 5 — V´erifier sur les matrices A=
1 4 1 0 2 3 1 7 0
, B =
0 2 1
1 2 −1 3 3 −2
la r´eglet(AB) =tBtA.
Exercice 6 — SoitA=
1 −1 0 −3
3 −2 1 0
. CalculerAtA ettA A.
Exercice 7 —
(1) SoitAetB deux matrices. On suppose queAest de taillem×net que les produitsABetBA sont r´ealisables. Quelle est la taille de la matriceB ? Montrer queAB etBAsont carr´ees.
(2) Soit A et B deux matrices. On suppose que le produit AB est r´ealisable. On suppose que les colonnes 1 et 3 de B sont ´egales et que la ligne 1 de A est nulle. Que peut-on dire de la matriceAB ?
1
Exercice 8 — D´eterminer deux matrices AetB telles que A+B =
1 2 3 4
, A−B =
0 1 2 3
.
Exercice 9 — Trouver une matrice P telle que pour tout (x, y) dansR2 on aitP x
y
= x
y
.
Exercice10 — On dit que deux matrices carr´eesAetB de mˆeme taille commutentsiAB=BA. On pose
A=
1 1 0 1
. (1) Montrer qu’une matrice
B =
x1 x2
x3 x4
commute avecA si et seulement si ses coefficients x1,x2,x3 etx4 sont solution d’un syst`eme lin´eaire que l’on explicitera.
(2) R´esoudre ce syst`eme. En d´eduire l’ensemble des matrices qui commutent avec A.
(3) Donner un exemple de matrice 2×2 qui ne commute pas avec A.
* Exercice 11 — (Cet exercice n´ecessite la connaissance de la notion de produit scalaire.) Soit u = (u1, . . . , un) et v = (v1, . . . , vn). En disposant l’un en ligne et l’autre en colonne, montrer que le produit scalaire peut s’´ecrire comme un produit matriciel.
Pour n= 2, montrer qu’on ne change pas la valeur de ce produit en multipliant les deux vecteurs par la matrice
cosθ −sinθ sinθ cosθ
.
* Exercice12 — D´eterminer le rang de la matrice suivante.
a b c b c a c a b
Exercice 13 — Une entreprise peut fabriquer deux types d’ordinateurs, l’un dit bas de gamme not´e BG et l’un dit haut de gamme not´e HG. Pour produire un BG, il faut 3 unit´es de composants, 1 unit´e de travail d’assemblage et 1 unit´e de recherche et d´eveloppement ; pour produire un HG, il faut 9 unit´es de composants, 1 unit´e de travail d’assemblage et 3 unit´es de recherche et d´eveloppement.
(1) L’entreprise re¸coit une commande de 100 BG et 30 HG. Calculer matriciellement les quantit´es des trois facteurs (composants, travail, recherche) qu’elle devra utiliser pour cette fabrication.
(2) On noteC = 75 40 100
la matrice ligne des coˆuts unitaires (en euros) des trois facteurs, etP = pBG pHG
la matrice ligne des prix de revient des ordinateurs BG et HG. Calculer sous forme matricielleP en fonction de C, puis le coˆut global de la commande.
