Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Tronc commun, semestre 3
3. Matrices carr´ees
Exercice 1 — Les matrices suivantes sont-elles inversibles ? Si oui, calculer leur inverse.
A=
0 1 1 0
B =
5 −4 2 −1
C =
5 0 2
−3 2 0
7 0 3
D=
1 0 2
2 1 −1
3 2 1
E =
0 1 1 1 0 2 1 4 0
F =
3 4 2 0 2 1 0 0 1
G=
0 1 1 2
1 −1 1 2
0 3 1 3
1 0 −1 2
H=
1 2 3 4 4 8 1 3 2 4 7 1 3 6 8 9
Exercice 2 — Soit
A=
−9 6 −27
6 −4 −22
−27 −22 −1
, B =
4 −5 2
−5 6 3
2 3 0
.
Calculer AB,A−1 etB−1.
Exercice 3 — Pour quelles valeurs deα∈Rla matrice
α 1 0 1
1 α 1 0
0 1 α 1
1 1 1 1
est-elle inversible ?
Exercice 4 — SoitA=
1 3 5 7
etB =
1 1 1 1
. Comparer (A+B)2 etA2+ 2AB+B2.
Exercice 5 — On d´efinit latrace d’une matrice carr´eeA (et on la note trA) comme ´etant la somme de ses ´el´ements diagonaux.
(1) Montrer que tr(AB) = tr(BA).
(2) En d´eduire que pour toute matriceAet pour toute matrice inversibleBon a tr(B−1AB) = trA.
Exercice 6 — SoitA=
2 1 5 −2
.
(1) CalculerA2. En d´eduire que Aest inversible et calculer son inverse.
(2) CalculerAn pour n∈N.
* Exercice7 — On consid`ere l’ensemble E des matrices de la forme
a b
−b a
o`u aetbsont deux nombres r´eels.
(1) Montrer que la somme de deux ´el´ements de E est un ´el´ement de E (on dit que E est stable pour l’addition).
(2) Montrer que tout ´el´ementT deE peut s’´ecrire sous la formeT =aI2+bJ o`uJ est une matrice que l’on pr´ecisera.
(3) CalculerJ2.
(4) Montrer que le produit de deux ´el´ements de E est un ´el´ement de E.
(5) Montrer que pour tout ´el´ement non nul T de E il existe un ´el´ement U de E tel que T U = U T = I2.
1
* Exercice8 — L’exponentielle de matrices. On rappelle que pour tout r´eel x on a ex= expx=
+∞
X
k=0
xk
k! = lim
n→+∞
n
X
k=0
xk k!.
Soit Aune matrice carr´ee de taillen. On poseA0= In et pour n∈Non pose Sn=
n
X
k=0
Ak k!.
Si la suite matricielle (Sn)n∈Nadmet une limite quand ntend vers +∞ (c’est-`a-dire si tous les coeffi- cients admettent une limite), on pose
eA= expA=
+∞
X
k=0
Ak
k! = lim
n→+∞Sn.
(1) Premier exemple. On pose A= 13
1 1 1 1 1 1 1 1 1
. Pour tout k∈N, calculer Ak. Montrer que eA existe et la calculer.
(2) Deuxi`eme exemple. On pose A=
0 1 2 0 0 3 0 0 0
.
(a) CalculerA2 etA3. En d´eduireAk pour k>4. Montrer queeAexiste et la calculer.
(b) Montrer que e−A existe et la calculer.
(c) CalculereAe−A. En d´eduire que eA est inversible et en d´eduire (eA)−1. (3) Troisi`eme exemple. On poseA=
λ1 0 0 0 λ2 0 0 0 λ3
o`uλ1,λ2 etλ3 sont trois r´eels. Pour tout k∈N, calculerAk. Montrer queeA existe et la calculer.
